第一章 §1.5 一元二次方程、不等式（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§1.5　一元二次方程、不等式

考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．

知识梳理

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系

 

2．分式不等式与整式不等式

(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；

(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

3．简单的绝对值不等式

|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　)

(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　)

(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)

 

 

教材改编题

1．不等式<0的解集为(　　)

A．∅   B．(2,3)

C．(－∞，2)∪(3，＋∞)   D．(－∞，＋∞)

答案　B

解析　<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3.

2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　)

A．1  B．2  C．－1  D．－2

答案　B

解析　因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，

所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，

所以k＋m＝2.

3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　[1,3]

解析　∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3.

题型一　一元二次不等式的解法

命题点1　不含参数的不等式

例1　(1)不等式(x＋1)2－x≥7的解集为(　　)

A．(－∞，－2]∪[3，＋∞)

B．[－2,3]

C．(－∞，－3]∪[2，＋∞)

D．[－3,2]

答案　C

解析　不等式(x＋1)2－x≥7整理得x2＋x－6≥0，

解得x≤－3或x≥2，

则不等式(x＋1)2－x≥7的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．

(2)已知p：|x－1|≤2，q：≤0，则p是q的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　|x－1|≤2，－2≤x－1≤2，－1≤x≤3⇒p：－1≤x≤3.

≤0，Error!－1≤x<3⇒q：－1≤x<3.

所以p是q的必要不充分条件．

命题点2　含参数的一元二次不等式

例2　已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．

(1)求实数a，b的值；

(2)求关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0(其中c为实数)的解集．

解　(1)依题意，不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，

所以a>0，且Error!解得a＝1，b＝2.

(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0，

即x2－(c＋2)x＋2c>0，(x－2)(x－c)>0.

当c<2时，不等式的解集为{x|x<c或x>2}，

当c＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}，

当c>2时，不等式的解集为{x|x<2或x>c}．

思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．

(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．

(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．

跟踪训练1　解关于x的不等式．

(1)>1；

(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.