第一章 §1.5 一元二次方程、不等式（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§1.5　一元二次方程、不等式 考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 知识梳理 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 2．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　) (3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　) (4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　) 教材改编题 1．不等式<0的解集为(　　) A．∅ B．(2,3) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞) 答案　B 解析　<0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3. 2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　B 解析　因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)， 所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根， 所以k＋m＝2. 3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案　[1,3] 解析　∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3. 题型一　一元二次不等式的解法 命题点1　不含参数的不等式 例1　(1)不等式(x＋1)2－x≥7的解集为(　　) A．(－∞，－2]∪[3，＋∞) B．[－2,3] C．(－∞，－3]∪[2，＋∞) D．[－3,2] 答案　C 解析　不等式(x＋1)2－x≥7整理得x2＋x－6≥0， 解得x≤－3或x≥2， 则不等式(x＋1)2－x≥7的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)． (2)已知p：|x－1|≤2，q：≤0，则p是q的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　|x－1|≤2，－2≤x－1≤2，－1≤x≤3⇒p：－1≤x≤3. ≤0，－1≤x<3⇒q：－1≤x<3. 所以p是q的必要不充分条件． 命题点2　含参数的一元二次不等式 例2　已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}． (1)求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0(其中c为实数)的解集． 解　(1)依题意，不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}， 所以a>0，且解得a＝1，b＝2. (2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0， 即x2－(c＋2)x＋2c>0，(x－2)(x－c)>0. 当c<2时，不等式的解集为{x|x<c或x>2}， 当c＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}， 当c>2时，不等式的解集为{x|x<2或x>c}． 思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1　解关于x的不等式． (1)>1； (2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3. 解　(1)移项得－1>0，合并得>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0， 即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－. 所以不等式的解集为. (2)移项得mx2－(m＋2)x＋2<0， 对应的方程(mx－2)(x－1)＝0的两根为和1， 当0<m<2时，>1，解得1<x<； 当m＝2时，＝1，原不等式无解； 当m>2时，<1，解得<x<1. 综上所述，当0<m<2时，原不等式的解集为； 当m＝2时，原不等式的解集为空集； 当m>2时，原不等式的解集为. 题型二　一元二次不等式恒成立问题 命题点1　在R上恒成立问题 例3　(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是(　　) A．0 B．－24 C．－20 D．－2 答案　ACD 解析　当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则⇒－24<k<0，于是－24<k≤0，故选ACD. 命题点2　在给定区间上恒成立问题 例4　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案　 解析　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立， 即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立． 方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 所以m<，所以0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0. 综上所述，m的取值范围是. 方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0， 又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立， 所以m<在x∈[1,3]上恒成立． 令y＝， 因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可． 所以m的取值范围是. 命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题 例5　(2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1,3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　不等式x2＋px>4x＋p－3 可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)， 令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得 解得x<－1或x>3. 思维升华　恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 跟踪训练2　(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2} C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2} 答案　C 解析　因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅， 所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R. 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意； 当a－2≠0，即a≠2时， 需满足 解得－2<a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|－2<a≤2}． (2)当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a≥2 C．a≤ D．a≥ 答案　D 解析　方法一　当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立， ∴当1≤x≤2时，a≥恒成立， 则a≥max， 由于＝x＋， 而y＝x＋在[1,2]上单调递增， 故当x＝2时，x＋取得最大值， 故a≥. 方法二　令f(x)＝x2－ax＋1， ∵当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立， ∴f(x)max≤0， ∴即解得a≥. 课时精练 1．(2023·青岛模拟)已知集合A＝{x∈Z|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于(　　) A．(－1,1) B．{－1,0} C．[－1,2] D．{－1,0,1,2} 答案　B 解析　由x2－x－2≤0⇒(x－2)(x＋1)≤0⇒x∈[－1,2]，故A＝{－1,0,1,2}，A∩B＝{－1,0}． 2．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a<2 答案　D 解析　当a＝－1时，3>0成立； 当a≠－1时，需满足 解得－1<a<2. 综上所述，－1≤a<2. 3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　) A. B. C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1} 答案　A 解析　因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}， 所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a＝－1，b＝1， 则不等式可化为2x2＋x－1<0，解得－1<x<，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为. 4．(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是(　　) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 答案　C 解析　∵α，β为方程y＝0的两个实数根， ∴α，β为函数y＝(x－m)(x－n)＋2 023的图象与x轴交点的横坐标， 令y1＝(x－m)(x－n)， ∴m，n为函数y1＝(x－m)(x－n)的图象与x轴交点的横坐标， 易知函数y＝(x－m)(x－n)＋2 023的图象可由y1＝(x－m)(x－n)的图象向上平移2 023个单位长度得到， ∴m<α<β<n. 5．(多选)已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　) A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞) C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．∅ 答案　BCD 解析　当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0， 解得a<x<1； 当a＝0时，不等式的解集是∅； 当0<a<1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0， 解得x>1或x<a； 当a＝1时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1； 当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0， 解得x>a或x<1. 6．(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　AB 解析　画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合， 由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得解得4≤m<6. 7．不等式>x的解集是________． 答案　(－∞，－1)∪(1,5) 解析　不等式>x化为以下两个不等式组或 解即解得x<－1， 解即解得1<x<5， 所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,5)． 8．(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________． 答案　－4 解析　∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立， ∴a≥－恒成立， 又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号． ∴－≤－4， ∴a≥－4，故a的最小值为－4. 9．已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题： (1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B； (2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解　(1)选①： >1，若x＋1>0，即x>－1时，>1，即4>x＋1，解得－1<x<3， 若x＋1<0，则<0，则>1无解，所以>1的解集为(－1,3)， 故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1， 故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)． 选②： x2－2x－3<0，解得－1<x<3， 故A＝(－1,3)， m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)， 则A－B＝(－1,0]∪[1,3)． 选③： |x－1|<2，－2<x－1<2，解得－1<x<3， 故A＝(－1,3)， m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1， 故B＝(0,1)， 则A－B＝(－1,0]∪[1,3)． (2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)． 由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0， 解得B＝(m，m＋1)， 因为p是q成立的必要不充分条件，所以BA，所以 或解得－1≤m≤2，故m的取值范围为[－1,2]． 10．已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. (1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若a<0，解关于x的不等式f(x)<a－1. 解　(1)∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0， 当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0， 此时必有 即解得a≥， 所以实数a的取值范围是. (2)依题意，因为a<0，则f(x)<a－1⇔ax2＋(1－a)x－1<0⇔(x－1)>0， 当a＝－1时，－＝1，解得x≠1； 当－1<a<0时，－>1，解得x<1或x>－； 当a<－1时，0<－<1，解得x<－或x>1， 所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0时，原不等式的解集为； 当a<－1时，原不等式的解集为. 11．(多选)已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1，∀x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．－3 答案　CD 解析　因为f(x)＝4ax2＋4x－1， 当x＝0时，f(0)＝－1<0成立． 当x∈(－1,0)∪(0,1)时， 由f(x)<0可得4ax2<－4x＋1， 所以4a<min， 因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 所以－＝2－4≥－4， 当且仅当＝2，即x＝时，等号成立， 所以4a<－4，解得a<－1. 12．(2023·常德模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________． 答案　9 解析　∵函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)， ∴f(x)＝x2＋ax＋b＝0只有一个根， 即Δ＝a2－4b＝0，则b＝， 不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)， 即为x2＋ax＋<c的解集为(m，m＋6)， 则x2＋ax＋－c＝0的两个根为m，m＋6， ∴|m＋6－m|＝＝＝6， 解得c＝9. 13．下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0.”的一种解法： 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，又不等式ax2－bx＋c>0可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－1<x<2.所以不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}． 参考上述解法，解答问题： 若关于x的不等式＋<0的解集为{x|－2<x<－1或1<x<3}．则关于x的不等式＋<0的解集为(　　) A.∪ B．(－1,1)∪(1,3) C．(－3，－1)∪(1,2) D.∪ 答案　A 解析　因为x＝0不是不等式＋<0的解， 所以不等式＋<0等价于＋<0， 所以－2<－<－1或1<－<3，解得－1<x<－或<x<1. 14．已知0<θ<，若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0恒成立，则实数m应满足的条件是________． 答案　m≥－ 解析　∵cos2θ＋2msin θ－2m－2<0， ∴1－sin2θ＋2msin θ－2m－2＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1<0. 设x＝sin θ(0<x<1)，f(x)＝－x2＋2mx－2m－1. 由题意可知，0<x<1时，f(x)<0恒成立． 当对称轴x＝m≤0时f(x)在x∈(0,1)上单调递减， 则f(x)<f(0)＝－2m－1≤0，即－≤m≤0， 当对称轴0<x＝m<1时，f(x)≤f(m)＝－m2＋2m2－2m－1＝m2－2m－1<0， 解得1－<m<1＋，即0<m<1， 当对称轴x＝m≥1时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增， 则f(x)<f(1)＝－1＋2m－2m－1＝－2<0，即m≥1. 综上所述，m≥－. 学科网（北京）股份有限公司 $$