第一章 §1.4 基本不等式（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§1.4　基本不等式

考试要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．

知识梳理

1．基本不等式：≥

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

(3)其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)＋≥2(a，b同号)．

(3)ab≤2 (a，b∈R)．

(4)≥2 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3．利用基本不等式求最值

已知x，y都为正数，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值，简记为：积定和最小，和定积最大．

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．(　×　)

(2)y＝x＋的最小值是2.(　×　)

(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　√　)

(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　×　)

 

教材改编题

1．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为(　　)

A．16  B．8  C．4  D．2

答案　A

解析　因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，

所以ab＝a＋4b≥2＝4，

所以ab≥16，

当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立．

2．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．

答案　1

解析　因为x≥0，所以x＋1>0，>0，

利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，

当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立．

所以函数y＝x＋(x≥0)的最小值为1.

3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.

答案　25

解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2，

则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，

其中0<x<10，

∴y＝x(10－x)≤2＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，

∴ymax＝25，

即矩形场地的最大面积是25 m2.

题型一　利用基本不等式求最值

命题点1　配凑法

例1　(1)已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　)

A．2  B．2＋2  C．2  D.＋2

答案　D

解析　由题意可知，x－2>0，

∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x＝2＋时，等号成立，

∴函数y＝x＋(x>2)的最小值为＋2.

(2)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．

答案　

解析　∵0<x<，∴3－2x>0，

y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

∵∈，

∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.

命题点2　常数代换法

例2　(2023·上饶模拟)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　)

A．3＋2   B．12

C．8＋4   D．6

答案　A