第一章 §1.3 等式与不等式（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§1.3　等式与不等式

考试要求　1.了解等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．

知识梳理

1．两个实数比较大小的方法

作差法Error! (a，b∈R)

2．等式的性质

性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；

性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.

3．不等式的性质

 

常用结论

1．若ab>0，且a>b⇔<.

2．若a>b>0，m>0⇒<；

若b>a>0，m>0⇒>.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　)

(2)若>1，则b>a.(　×　)

(3)若x>y，则x2>y2.(　×　)

(4)若>，则b<a.(　×　)

教材改编题

1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　)

A．ac2>bc2   B．a>b

C．a＋c>b＋c   D.>

答案　D

解析　若c<0，则a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均错；

因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则>，即>，故D正确．

2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．

答案　M>N

解析　∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)

＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，

∴M>N.

3．若1<a<2,2<b<3，则的取值范围是________．

答案　

解析　由2<b<3，

得<<，

又1<a<2，

∴1×<a×<2×，

即<<1.

题型一　数(式)的大小比较

例1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　)

A．M<N   B．M>N

C．M≤N   D．M≥N

答案　B

解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.

(2)若a＝，b＝，则a________b．(填“>”或“<”)

答案　<

解析　方法一　易知a，b都是正数，＝＝＝＝log89>1，故b>a.

方法二　令f(x)＝，

∴f′(x)＝，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，

∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减，

∴f(4)<f(3)，即<，

又＝＝，

∴a<b.

思维升华　比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．