第一章 §1.2 常用逻辑用语（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§1.2　常用逻辑用语 考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 知识梳理 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有”“任意”“每一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在某个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M的任一个元素x，有p(x)成立 存在M的某个元素x，使p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 常用结论 1．充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B； (2)若p是q的充分不必要条件，则AB； (3)若p是q的必要不充分条件，则BA； (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”． 3．命题p与p的否定的真假性相反． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　) (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　) (3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　) (4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　) 教材改编题 1．命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　) A．∃x∈R，ex－1≥x B．∀x∈R，ex－1≤x C．∃x∈R，ex－1<x D．∀x∈R，ex－1<x 答案　C 解析　由题意得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1<x”． 2．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1≤sin x≤1 C．∃x∈R，2x<0 D．∃x∈R，tan x＝2 答案　BD 解析　当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误； 当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确； 因为2x>0，所以C选项错误； 因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确． 3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________． 答案　(3，＋∞) 解析　因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件， 所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集， 由图可知m>3. 题型一　充分、必要条件的判定 例1　(1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“>1”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由a>b>0，得>1，反之不成立， 如a＝－2，b＝－1，满足>1，但是不满足a>b>0， 故“a>b>0”是“>1”的充分不必要条件． (2)(2023·盐城、南京模拟)在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0<q<1是数列{an}单调递减的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　an＝qn－1， 当0<q<1时，0<＝q<1， 所以数列{an}单调递减，故充分性成立． 若数列{an}单调递减，则0<<1，即0<q<1，故必要性成立， 所以0<q<1是数列{an }单调递减的充要条件． 思维升华　充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 跟踪训练1　(1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|， 所以cos〈a，b〉＝1， 因为〈a，b〉∈[0，π]， 所以〈a，b〉＝0， 所以a与b共线， 当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π， 所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|， 所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件． (2)(多选)下列各函数中，满足“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是(　　) A．f(x)＝2x B．f(x)＝3x－3－x C．f(x)＝x3 D．f(x)＝log3|x| 答案　BC 解析　依题意，x1＋x2＝0⇔f(x1)＋f(x2)＝0，即f(x)是奇函数，故B，C符合题意． 题型二　充分、必要条件的应用 例2　在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)由(x＋1)(x－3)<0， 解得－1<x<3， 所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|2≤x<3}． (2)若选①A∪B＝B，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)； 若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1， 即a∈(－1,1)； 若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1,1)． 思维升华　求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 跟踪训练2　若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数． (1)若A是B的充要条件，则b＝________； (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________． 答案　(1)　(2) 解析　(1)由已知可得A＝B， 则x＝2是方程bx＝1的解， 且有b>0，解得b＝. (2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立， 则b>对任意的x>2恒成立， 当x>2时，∈， 则b≥， 因为A是B的充分不必要条件， 故b的取值范围是. 题型三　全称量词与存在量词 命题点1　含量词命题的否定 例3　(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是(　　) A．∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解 B．∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解 C．∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解 D．∃a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解 答案　B 解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解”． 命题点2　含量词命题真假的判断 例4　(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是(　　) A．∃x∈R，≤1 B．对于∀x∈R，n∈N+且n>1，都有＝x C．∀x∈R，ln(x－1)2≥0 D．∃x∈R，ln x≥x－1 答案　AD 解析　当x≥0时，0<≤1，故A项是真命题； 当n为偶数，且x<0时，＝－x ，故B项是假命题； 当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题； 当x＝1时，ln x≥x－1，故D项是真命题． 命题点3　含量词命题的应用 例5　若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　D 解析　因为“∃x∈，sin x<m”是假命题， 所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题， 即m≤sin x对于∀x∈恒成立，所以m≤(sin x)min， 因为y＝sin x在上单调递增， 所以x＝－时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sin＝－sin ＝－， 所以m≤－，所以实数m的最大值为－. 思维升华　含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 跟踪训练3　(1)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　) A．∀n∈N，n2≥2n＋5 B．∃n∈N，n2≤2n＋5 C．∀n∈N，n2<2n＋5 D．∃n∈N，n2＝2n＋5 答案　C 解析　由存在量词命题的否定可知，綈p为∀n∈N，n2<2n＋5.所以C正确，A，B，D错误． (2)(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，－x2－1<0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得＝ 答案　ABC 解析　∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A项是真命题； 当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题； 任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题； 因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， 所以≤<，故D项是假命题． (3)若命题“∃x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　若命题“∃x∈R，x2－x＋a＝0”为假命题，则一元二次方程x2－x＋a＝0无实数解， ∴Δ＝1－4a<0⇒a>. ∴a的取值范围是. 课时精练 1．(2023·上饶模拟)“x2>2 021”是“x2>2 022”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若x2>2 022，因为2 022>2 021，故x2>2 021， 故“x2>2 022”可以推出“x2>2 021”， 取x2＝2 021.5，则满足x2>2 021，但x2>2 022不成立， 所以“x2>2 021”不能推出“x2>2 022”， 所以“x2>2 021”是“x2>2 022”的必要不充分条件． 2．已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则綈p为(　　) A．∀x∉Q，都有x∉N B．∃x∉Q，使得x∈N C．∀x∈Q，都有x∈N D．∃x∈Q，使得x∈N 答案　C 解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以由p：∃x∈Q，使得x∉N， 得綈p：∀x∈Q，都有x∈N. 3．已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a<4 B．a≤4 C．a>4 D．a≥4 答案　B 解析　“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题， 故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4. 4．(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足； 当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足． 故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件． 5．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≥5 C．a≤4 D．a≤5 答案　B 解析　因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题， 所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立， 所以a≥4， 结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 6．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．所有的素数都是奇数 B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0 C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件 D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0” 答案　CD 解析　2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题； 对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0， 所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题； 由α＝β⇒sin α＝sin β，但由sin α＝sin β不能得到α＝β，故“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件，所以C是真命题； 根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”，所以D是真命题． 7．(多选)若“∃x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．3 答案　AB 解析　由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题， 所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋， 当x∈(0,2)时，由基本不等式可得 2x＋≥2＝2， 当且仅当x＝时，等号成立， 所以λ≤2. 8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”． 根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为真，故是必要条件； 当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故是不充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件． 9．命题“∀x∈，sin x<cos x”的否定是________． 答案　∃x∈，sin x≥cos x 解析　因为“sin x<cos x”的否定是“sin x≥cos x”， 所以“∀x∈，sin x<cos x”的否定是“∃x∈，sin x≥cos x”， 10．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________． 答案　x<－1(答案不唯一) 解析　由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x， 解得x<0， 使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可． 11．已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是________． 答案　(－∞，－4]∪[6，＋∞) 解析　若原命题为真命题，则∃x∈{x|－2<x<3}， 使得m＝2x成立，则－4<m<6； 故若原命题为假命题， 则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞)． 12．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________． 答案　 解析　设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}， 若α是β的必要条件，则B⊆A， 当2m－1>－m，即m>时，此时A＝R，B⊆A成立； 当2m－1≤－m，即m≤时，若B⊆A，此时无解． 综上，m>. 13．(多选)若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　) A．(－∞，－5) B．(－3，－1] C．(3，＋∞) D．[0,3] 答案　AB 解析　∵∃x∈M，x>3为假命题， ∴∀x∈M，x≤3为真命题， 可得M⊆(－∞，3]， 又∀x∈M，|x|>x为真命题， 可得M⊆(－∞，0)， ∴M⊆(－∞，0)． 14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________． 答案　乙 解析　四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知罪犯是乙． 15．(2022·白银模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当k＝1时，an＋1＝an＋1，则{an}为等差数列，必要性成立； 若{an}为等差数列，由a1＝1，a2＝2k，a3＝2k2＋k， 有2k2＋k＋1＝4k，解得k＝1或. 当k＝时，an＋1＝an＋，此时an＝1，充分性不成立． 16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cos A>B＋cos B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B. 设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)， 则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x∈(0,1]， ∴f′(x)≥0， ∴f(x)在(0，π)上单调递增， ∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cos A>B＋cos B. 学科网（北京）股份有限公司 $$