第一章 §1.2 常用逻辑用语（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§1.2　常用逻辑用语

考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．

知识梳理

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

 

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有”“任意”“每一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在某个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．

3．全称量词命题和存在量词命题

 

常用结论

1．充分、必要条件与对应集合之间的关系

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．

(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；

(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；

(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；

(4)若p是q的充要条件，则A＝B.

2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．

3．命题p与p的否定的真假性相反．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　)

(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　)

(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　)

(4)命题“∃x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　)

教材改编题

1．命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是(　　)

A．∃x∈R，ex－1≥x   B．∀x∈R，ex－1≤x

C．∃x∈R，ex－1<x   D．∀x∈R，ex－1<x

答案　C

解析　由题意得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1<x”．

2．(多选)下列命题中为真命题的是(　　)

A．∀x∈R，x2>0   B．∀x∈R，－1≤sin x≤1

C．∃x∈R，2x<0   D．∃x∈R，tan x＝2

答案　BD

解析　当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；

当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确；

因为2x>0，所以C选项错误；

因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确．

3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．

答案　(3，＋∞)

解析　因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，

所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，

由图可知m>3.

题型一　充分、必要条件的判定

例1　(1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“>1”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由a>b>0，得>1，反之不成立，

如a＝－2，b＝－1，满足>1，但是不满足a>b>0，

故“a>b>0”是“>1”的充分不必要条件．

(2)(2023·盐城、南京模拟)在等比数列{an}中，公比为q.已知a1＝1，则0<q<1是数列{an}单调递减的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　an＝qn－1，

当0<q<1时，0<＝q<1，

所以数列{an}单调递减，故充分性成立．

若数列{an}单调递减，则0<<1，即0<q<1，故必要性成立，

所以0<q<1是数列{an }单调递减的充要条件．

思维升华　充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围