第一章 §1.1 集 合（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§1.1　集　合

考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．

知识梳理

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉、表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法．

(4)常见数集的记法

 

2.集合的基本关系

(1)子集：如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．

(2)真子集：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作AB，读作“A真包含于B”．

(3)集合相等：如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等，记作A＝B.

(4)空集：没有元素的集合叫空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

 

常用结论

1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．

2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　)

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)

(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　)

(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　√　)

教材改编题

1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　)

A．{－1,2}   B．{1,2}

C．{1,4}   D．{－1,4}

答案　B

解析　由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B.

2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是(　　)

A．(1,2 022)

B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}

C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}

D．{(2 022,1)}

答案　C

解析　(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；

集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意；

{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意；

集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意．

3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________.

答案　{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3}

解析　因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，

所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，

∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.

题型一　集合的含义与表示

例1　(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，

故集合A∩B有两个元素．

(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　)

A．1   B．1或0

C．0   D．－1或0

答案　C

解析　∵－1∈A，

若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；

若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，

A＝{1，－2，－1}，

故a＝0.