第一章 §1.1 集 合（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§1.1　集　合 考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 知识梳理 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉、表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋ Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：如果集合A的每个元素都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． (2)真子集：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作AB，读作“A真包含于B”． (3)集合相等：如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合相等，记作A＝B. (4)空集：没有元素的集合叫空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算　 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U且x∉A} ∁UA 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　) (4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(　√　) 教材改编题 1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于(　　) A．{－1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4} 答案　B 解析　由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故选B. 2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是(　　) A．(1,2 022) B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1} C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0} D．{(2 022,1)} 答案　C 解析　(1,2 022)表示一个点，不是集合，A不符合题意； 集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A不相等，B不符合题意； {x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C符合题意； 集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符合题意． 3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________. 答案　{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3} 解析　因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}， 所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}， ∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}. 题型一　集合的含义与表示 例1　(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点， 故集合A∩B有两个元素． (2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或0 C．0 D．－1或0 答案　C 解析　∵－1∈A， 若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性； 若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时， A＝{1，－2，－1}， 故a＝0. 思维升华　解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 跟踪训练1　(1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(　　) A．0∉M B．{0}∈M C．{1}⊆M D．1⊆M 答案　ABD 解析　对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误； 对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B错误； 对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C正确； 对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误． (2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A， 所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4， 故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}， 即集合B中含有4个元素． 题型二　集合间的基本关系 例2　(1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是(　　) A．A＝B B．A∩B＝∅ C．AB D．B⊆A 答案　C 解析　由题设，可得A＝{x|x>2}， 又B＝{x|x≥－3}， 所以A是B的真子集， 故A，B，D错误，C正确． (2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________． 答案　15　(－∞，－2)∪[－1,0] 解析　A＝{x|－2≤x≤1}， 若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}， 故集合A的真子集有24－1＝15(个)． 由B⊆A， 得①若B＝∅，则2m＋1<m－1，即m<－2， ②若B≠∅，则 解得－1≤m≤0， 综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1,0]． 思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 跟踪训练2　(1)设集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM 答案　A 解析　N＝{x|x2>4}＝{x|x>2或x<－2}， ∁RN＝{x|－2≤x≤2}，∁RM＝{x|x≤4}， ∴M⊆N. (2)函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________________． 答案　(－∞，－3]∪[5，＋∞) 解析　由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1， 即A＝{x|x≥3或x≤－1}． ∵B⊆A， 显然B≠∅， ∴4－a≤－1或－a≥3， 解得a≥5或a≤－3， 故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞)． 题型三　集合的基本运算 命题点1　集合的运算 例3　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于(　　) A．{x|0≤x<2} B. C．{x|3≤x<16} D. 答案　D 解析　因为M＝{x|<4}，所以M＝{x|0≤x<16}； 因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝. 所以M∩N＝，故选D. (2)如图所示，已知全集U＝R，集合A＝{1,3,5,7}，B＝{4,5,6,7,8}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{1,3} B．{5,7} C．{1,3,5} D．{1,3,7} 答案　A 解析　Venn图表示的集合为A∩(∁UB)， 所以A∩(∁UB)＝{1,3}． 命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围) 例4　已知集合A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x>m}，且(∁RA)∪B＝R，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥2 B．m<2 C．m≤2 D．m>2 答案　C 解析　∵A＝{x|2<x<3}， ∴∁RA＝(－∞，2]∪[3，＋∞)， ∵(∁RA)∪B＝R，∴m≤2. 思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 跟踪训练3　(1)(2022·兰州模拟)已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{－2,1,4,8}，则A∩B等于(　　) A．{－2,1} B．{1,8} C．{1,4} D．{4,8} 答案　C 解析　因为A＝{x|x2－5x－6<0}＝{x|－1<x<6}，B＝{－2,1,4,8}， 所以A∩B＝{1,4}． (2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　) A．[1,4) B．(1,4) C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 答案　A 解析　由题意可得A＝{x|1<x<4}． 因为A∪B＝{x|x>1}， 所以1≤a<4. 课时精练 1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 答案　A 解析　由题意知M＝{2,4,5}，故选A. 2. (2022·焦作模拟)设集合A＝{0,1,2}，B＝{x∈Z|－2<x<2}，则A∪B等于(　　) A．{0,1} B．{－1,0} C．{－1,0,1,2} D．{0,1,2} 答案　C 解析　因为B＝{－1,0,1}，A＝{0,1,2}， 所以A∪B＝{－1,0,1,2}． 3．(2022·娄底质检)集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N等于(　　) A．{(2，－1)} B．{2，－1} C．{(1,2)} D．{1,2} 答案　C 解析　联立 解得则M∩N＝{(1,2)}． 4. (2023·连云港质检)设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|0<x<2}，则集合A∩(∁UB)等于(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(2,4) D．[2,4) 答案　D 解析　由已知可得∁UB＝{x|x≤0或x≥2}， 因此，A∩(∁UB)＝{x|2≤x<4}＝[2,4)． 5．(2022·海南模拟)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，则B等于(　　) A．{－1,0,1} B．{－2，－1,0} C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2} 答案　B 解析　因为集合A＝{x|x2≤1}， 所以A＝{x|－1≤x≤1}， 在集合B中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，所以x＝－2，－1,0，即B＝{－2，－1,0}． 6．(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>m}，若A∩(∁RB)＝∅，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　A 解析　由题知A∩(∁RB)＝∅，得A⊆B，则m≤1. 7．(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　AD 解析　因为A∪B＝A，所以B⊆A. 因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}， 所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3. 当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意； 当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意． 综上，m＝0或3. 8．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∩B＝B C．A∪B＝U D．(∁UB)∪A＝A 答案　CD 解析　令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁UA)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确； 由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B， ∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U， 由∁UA⊆B，知∁UB⊆A， ∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确． 9．(2023·金华模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁UT)＝________，集合S共有________个子集． 答案　{1,5}　8 解析　由题意可得∁UT＝{1,4,5}， 则S∩(∁UT)＝{1,5}． 集合S的子集有23个，即8个． 10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则Venn图中阴影部分的集合为________． 答案　{－1,2,3} 解析　集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}， 则Venn图中阴影部分表示的集合是M∩(∁RN)＝{－1,2,3}． 11．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能是________． 答案　0，－， 解析　由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3， 所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，B⊆A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0； 当B≠∅时，得m≠0，则集合B＝{x|mx＋1＝0}＝， 因为B⊆A，所以－＝－3或－＝2， 解得m＝或m＝－， 综上，m＝0，m＝或m＝－. 12．已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}．当m＝－1时，则A∪B＝________；若A∩B＝B，则m的取值范围为________． 答案　[－5,3]　[0,2]∪(4，＋∞) 解析　A＝{x|－3≤x≤3}， 当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}， 此时A∪B＝[－5,3]． 由A∩B＝B可知B⊆A. 若B＝∅，则2m－3>m＋1解得m>4； 若B≠∅，则解得0≤m≤2， 综上所述，实数m的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞)． 13．(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(　　) A．{2,3,4} B．{3,4,5} C．{4,5,6} D．{3,5,6} 答案　BD 解析　由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确； 若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确； 若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确； 若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确． 14．某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人．第一天参加但第二天没参加活动的有________人，这三天参加活动的最少有________人． 答案　160　290 解析　根据题意画出Venn图，如图所示， a表示只参加第一天的人， b表示只参加第二天的人， c表示只参加第三天的人， d表示只参加第一天与第二天的人， e表示只参加第一天与第三天的人， f表示只参加第二天与第三天的人， g表示三天都参加的人， ∴要使总人数最少，则令g最大，其次d，e，f也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40， ∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160人， ∴gmax＝30，d＝0，f＝10，a＋d＋g＋e＝190， ∴c＋e＝140， ∴emax＝140，∴c＝0，a＝20， 则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人)． 15．设全集为U，有以下四个关系式： 甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：∁UA⊆∁UB；丁：(∁UA)∪(∁UB)＝∁UA. 如果有且只有一个关系式不成立，则该式是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　C 解析　由题意，甲：A∩B＝A⇔A⊆B， 乙：A∪B＝B⇔A⊆B， 丙：∁UA⊆∁UB⇔B⊆A， 丁：(∁UA)∪(∁UB)＝∁UA⇔∁UB⊆∁UA⇔A⊆B， 由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个关系式不成立，则该式是丙． 16．对于非空数集M，定义f(M)表示该集合中所有元素的和．给定集合S＝{2,3,4,5}，定义集合T＝{f(A)|A⊆S，A≠∅}，则集合T中的元素个数为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 答案　B 解析　当集合A含一个元素时，可取{2}，{3}，{4}，{5}，此时f(A)可取2,3,4,5； 当集合A含两个元素时，可取{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，此时f(A)可取5,6,7,8,9； 当集合A含三个元素时，可取{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，此时f(A)可取9,10,11,12， 当集合A含四个元素时，可取{2,3,4,5}，此时f(A)可取14， 综上可知f(A)可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14，共12个值，所以T中的元素个数为12. 学科网（北京）股份有限公司 $$