训练36 概率与统计的综合问题（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 苏教版（苏粤（梅州））

训练36　概率与统计的综合问题 一、单选题 1．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝mk(k＝1,2,3)，则m的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由概率分布的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×2＋m×3＝＝1， ∴m＝. 2．设0<P(A)<1,0<P(B)<1，则“P(A|B)＋P(|)＝1”是“A与B相互独立”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若P(A|B)＋P(|)＝1，则P(A|B)＝1－P(|)＝P(A|)，即B发生与否对A不影响，故A与B相互独立； 若A与B相互独立，则与相互独立，则P(A|B)＝P(A)，P(|)＝P()，所以P(A|B)＋P(|)＝1.所以“P(A|B)＋P(|)＝1”是“A与B相互独立”的充要条件． 3．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层)．国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x～N(0.937 2，0.013 92)．若生产状态正常，有如下命题： 甲：P(x≤0.9)<0.5； 乙：x的取值在(0.93,0.943 9)内的概率与在(0.937 2，0.951 1)内的概率相等； 丙：P(x<0.9)＝P(x>0.974 4)； 丁：记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率不小于μ＋2σ的数量，则P(ξ≥1)>0.6. (参考数据：若x～N(μ，σ2) (σ>0)，则P(μ－σ<x<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<x<μ＋2σ)≈0.954, P(μ－3σ<x<μ＋3σ)≈0.997；0.9850≈0.364) 其中假命题是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　B 解析　由x～N(0.937 2，0.013 92)知，μ＝0.937 2，σ＝0.013 9， 对于甲，由正态密度曲线，可得P(x≤0.9)<P(x<0.937 2)＝0.5，故甲为真命题； 对于乙，0.943 9－0.93＝0.013 9,0.951 1－0.937 2＝0.013 9两个区间长度均为1个σ，但μ>0.93，由正态分布性质知，落在(0.93,0.943 9)内的概率大于落在(0.937 2,0.951 1)内的概率，故乙是假命题； 对于丙，由＝0.937 2知，丙是真命题； 对于丁，1只口罩的的过滤率不小于μ＋2σ的概率p≈＝0.023，ξ～B(50，p)，所以P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)50>1－(1－0.02)50， 1－(1－0.02)50＝1－0.9850≈1－0.364＝0.636>0.6，故丁是真命题． 4．设a∈，随机变量X的概率分布如表所示，随机变量Y满足Y＝3X＋2，则当a在上增大时，关于D(Y)的表述，下列正确的是(　　) X －2 －1 0 P 2b b－a a A.D(Y)增大 B．D(Y)减小 C．D(Y)先增大后减小 D．D(Y)先减小后增大 答案　A 解析　由概率分布的性质得，2b＋(b－a)＋a＝1，可得b＝， ∴E(X)＝－2×＋(－1)×＝a－， E(X2)＝4×＋1×＝3－a, ∴D(X)＝E(X2)－E2(X)＝3－a－2＝－2＋， 又D(Y)＝9D(X)＝－92＋， ∴a在上增大时，D(Y)增大． 二、多选题 5．设A，B是两个事件，且B发生A必定发生，0<P(A)<1,0<P(B)<1，给出下列各式，其中正确的是(　　) A．P(A＋B)＝P(B) B．P(B|A)＝ C．P(A|B)＝1 D．P(AB)＝P(A) 答案　BC 解析　∵B发生A必定发生，∴B⊆A，P(A＋B)＝P(A)，P(AB)＝P(B)，故A，D不正确；P(B|A)＝＝，故B正确；P(A|B)＝＝1，故C正确． 6．(2022·烟台模拟)骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6，现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷六面骰n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n＋n，则算闯过第n关，n＝1,2,3,4，假定每次闯关互不影响，则(　　) A．直接挑战第2关并过关的概率为 B．连续挑战前两关并过关的概率为 C．若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则P(A|B)＝ D．若直接挑战第4关，则过关的概率是 答案　ACD 解析　A选项，总的样本点为36，点数之和大于6的总共有21种，∴P＝＝，A正确； B选项，挑战第1关并过关的概率P1＝，连续挑战前两关并过关的概率P＝×＝， ∴B错误； C选项，事件B包含的样本点有C×C×C＋C×C＋1＝91(个)，事件AB包含的样本点有A＋1＝7(个)，P(A|B)＝＝，C正确； D选项，直接挑战第四关，总的样本点数为64＝1 296，点数之和超过20的有以下几类：(5,5,5,6)，4个；(5,5,6,6)，6个；(5,6,6,6)，4个；(6,6,6,6)，1个；(4,6,6,6)，4个；(3,6,6,6)，4个；(4,5,6,6)，12个，总计35个，P＝，D正确． 三、填空题 7．已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是______． 答案　 解析　设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况： ①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中， 此时的概率为P( A)＝××＝； ②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中， 此时的概率为P( B)＝×××＝. 故停止射击时，甲射击了两次的概率是＋＝. 8．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.954)． 答案　32 解析　根据正态密度曲线的对称性知，要使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954， 则(μ－2σ，μ＋2σ)⊆(－0.5,0.5)，且μ＝0，σ＝，所以0.5≥2⇒n≥32. 四、解答题 9．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径(单位：mm)后，整理得到下表： 直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 个数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本直径的平均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值． (1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一个，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)：①P(μ－σ<X<μ＋σ)≥0.683；②P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≥0.954；③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≥0.997.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个不等式，则设备等级为乙；若仅满足其中一个不等式，则设备等级为丙；若全部都不满足，则设备等级为丁，试判断设备M的性能等级； (2)将直径小于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品． ①从设备M的生产流水线上随机抽取2个零件，计算其中次品个数Y的均值E(Y)； ②从样本中随机抽取2个零件，计算其中次品个数Z的概率分布和均值E(Z)． 解　(1)由题意可得，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝P(62.8<X<67.2)＝0.8>0.683， P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(60.6<X<69.4)＝0.94<0.954， P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝P(58.4<X<71.6)＝0.98<0.997， 因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙． (2)样本中次品共有6个，可估计设备M生产零件的次品率约为0.06. ①由题意可得，Y～B，所以E(Y)＝2×＝. ②由题意可知，Z的概率分布为 Z 0 1 2 P 所以E(Z)＝0×＋1×＋2×＝. 10．(2022·唐山模拟)两会期间，国家对学生学业与未来发展以及身体素质重要性的阐述引起了全社会的共鸣．某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率直方图(引体向上个数只记整数)．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组． (1)第一小组决定从单次完成1～15个引体向上的男生中，采用分层抽样的方法抽取22人进行全面的体能测试． ①在单次完成6～10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？ ②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1～5个”的人数为随机变量X，求X的概率分布和均值； (2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的2×2列联表. 体育成绩 学业成绩 合计 优秀 不优秀 不优秀 200 400 600 优秀 100 100 200 合计 300 500 800 判断能否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？ 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 临界值表： P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)①单次完成1～5个引体向上的有0.020×5×800＝80(人)， 单次完成6～10个引体向上的有0.030×5×800＝120(人)， 单次完成11～15个引体向上的有0.060×5×800＝240(人)， 则单次完成1～15个引体向上的男生共440人， 采用分层抽样的方法抽取22人，则有＝＝＝， 所以a＝4，b＝6，c＝12， 即从单次完成1～5个的人中选4人，6～10个的人中选6人，11～15个的人中选12人， 又因为单次完成6～10个引体向上的共有120人， 记“单次完成6～10个引体向上的学生中，男生甲被抽中”为事件A， 则P(A)＝＝. ②X的所有可能取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. (2)提出假设H0：体育锻炼与学业成绩无关， 由列联表中数据得，χ2＝≈17.778， 因为当H0成立时，χ2≥7.879的概率大于0.005， 所以我们有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关． 学科网（北京）股份有限公司 $$