训练25 空间向量及其应用（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 苏教版（苏粤（梅州））

训练25　空间向量及其应用 一、单选题 1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵线面角的范围是. 〈a，n〉＝， ∴l与α所成的角为. 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1＝1，则AN与BM所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， ∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，N，M， ∴＝，＝， ∴cos〈，〉＝ ＝＝＝， ∴AN与BM所成角的余弦值为. 3．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，点P(1,2，－2)在α外，则点P到平面α的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，点A(－1,2,1)在α内，点P(1,2，－2)在α外， 所以＝(2,0，－3)， 又向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量， 所以点P到平面α的距离为 d＝＝＝. 4．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E满足＝2，点F在平面BC1D内，则A1F＋EF的最小值为(　　) A. B．6 C. D．7 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(3,0,3)，E(3,2,3)，C(0,3,0)， 因为BD⊥AC，BD⊥A1A，且AC∩A1A＝A，则BD⊥平面A1AC， 所以BD⊥A1C，同理得BC1⊥平面A1B1C，所以BC1⊥A1C， 而BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面BC1D， 记A1C与平面BC1D交于点H，连接A1C1，C1O，AC，且AC∩BD＝O， 则＝＝，易得A1H＝2HC，H(1,2,1)， 从而得点A1(3,0,3)关于平面BC1D对称的点为G(－1,4，－1)， 所以A1F＋EF的最小值为 EG＝＝6. 二、多选题 5．下列命题中正确的是(　　) A．已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量 B．一个平面的法向量有无数个，任意两个都是共线向量 C．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行 D．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直 答案　BCD 解析　选项A中，当a＝0时，也满足向量a与l平行，但a不是平面α的法向量，故A错误； 设向量n是平面α的一个法向量，则n是一个非零向量，向量n与平面α垂直．平面α的法向量有无数个，它们都与向量n平行，方向相同或相反，知选项B正确；C，D显然正确． 6．(2023·日照模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为平面ABCD上一动点，则下列命题正确的是(　　) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 答案　ACD 解析　如图， 对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角， 所以∠MND＝，所以DN＝DM＝DD1＝×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆，故A正确； 对于B，在Rt△MDN中，DN＝＝＝2，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PE∥DN，且PE＝DN＝，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝，所以点P的轨迹为以为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B不正确； 对于C，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(4,0,0)，B(4,4,0)，D1(0,0,4)，设N(x，y，0)， 则＝(0,4,0)，＝(x，y，－4)， 因为D1N与AB所成的角为， 所以|cos〈，〉|＝cos ， 所以＝，整理得－＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确． 三、填空题 7．若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为－，则实数x的值为________． 答案　－3 解析　根据题意得cos〈a，b〉＝＝＝－， 即＝－，且x<2，解得x＝11(舍去)或x＝－3. 8.在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，平面ABEF为矩形，且BE＝3AB＝3，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且2FN＝BN，活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当·取最小值时，的值为________． 答案　 解析　因为四边形ABCD为正方形，则AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BC⊂平面ABCD， 于是得BC⊥平面ABEF，又四边形ABEF为矩形，即BE⊥AB， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,0,1)，E(0,3,0)，F(1,3,0)， 因为点N在BF上，且2FN＝BN，则N， 又M在线段AC上移动， 则有＝t＝(t，0，－t)，t∈[0,1]， 于是得点M(t，0,1－t)， ＝(－t，3，t－1)，＝. ·＝t＋6＋(t－1)2＝2t2－t＋7＝22＋， 因此，当t＝时，·取最小值， 此时，＝， 所以＝. 四、解答题 9．(2022·新高考全国Ⅰ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值． 解　(1)设点A到平面A1BC的距离为h， 因为直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4， 所以＝S△ABC·AA1＝＝， 又△A1BC的面积为2， ＝＝×2h＝， 所以h＝， 即点A到平面A1BC的距离为. (2)取A1B的中点E，连接AE， 则AE⊥A1B. 因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE⊂平面ABB1A1， 所以AE⊥平面A1BC， 又BC⊂平面A1BC，所以AE⊥BC. 又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以AA1⊥BC. 因为AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1， 又AB⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB. 以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz， 由(1)知，AE＝， 所以AA1＝AB＝2，A1B＝2. 因为△A1BC的面积为2， 所以2＝·A1B·BC，所以BC＝2， 所以A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(2,0,0)，A1(0，2,2)，D(1,1,1)，E(0,1,1)， 则＝(1,1,1)，＝(0,2,0)． 设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得n＝(1,0，－1)． 又平面BDC的一个法向量为＝(0，－1，1)， 所以cos〈，n〉＝＝＝－. 设二面角A－BD－C的平面角为θ， 则sin θ＝＝， 所以二面角A－BD－C的正弦值为. 10.(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． (1)证明　因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE. 在△ADB和△CDB中， 因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB， 所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC. 因为E为AC的中点，所以AC⊥BE. 又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED， 所以AC⊥平面BED， 又AC⊂平面ACD， 所以平面BED⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知AB＝BC， 又∠ACB＝60°，AB＝2， 所以△ABC是边长为2的正三角形， 则AC＝2，BE＝，AE＝1. 因为AD＝CD，AD⊥CD， 所以△ADC为等腰直角三角形， 所以DE＝1. 所以DE2＋BE2＝BD2，则DE⊥BE. 由(1)可知，AC⊥平面BED. 连接EF，因为EF⊂平面BED， 所以AC⊥EF， 当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小， 即EF的长度最小． 在Rt△BED中，当EF的长度最小时， EF⊥BD，EF＝＝. 方法一　由(1)可知，DE⊥AC，BE⊥AC， 所以EA，EB，ED两两垂直， 以E为坐标原点，EA，EB，ED所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0，，0)，D(0,0,1)，C(－1,0,0)， ＝(－1，，0)，＝(0，，－1)． 易得DF＝，FB＝，所以3＝. 设F(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)， ＝(0，－y，－z)， 所以3(0，y，z－1)＝(0，－y，－z)， 得y＝，z＝，即F， 所以＝. 设平面ABD的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则 不妨取y1＝1，则x1＝，z1＝， n＝(，1，)． 记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α＝|cos〈，n〉|＝＝. 所以CF与平面ABD所成角的正弦值为. 方法二　因为E为AC的中点，所以点C到平面ABD的距离等于点E到平面ABD的距离的2倍． 因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 因为VD－AEB＝VE－ADB， 所以·AE·BE·DE＝·S△ABD·，其中d为点C到平面ABD的距离． 在△ABD中，BA＝BD＝2，AD＝， 所以S△ABD＝，所以d＝. 由(1)知AC⊥平面BED，EF⊂平面BED， 所以AC⊥EF， 所以FC＝＝. 记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α＝＝. 所以CF与平面ABD所成角的正弦值为. 方法三　如图，过点E作EM⊥AB交AB于点M，连接DM，过点E作EG⊥DM交DM于点G. 因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以DE⊥AB， 又EM∩DE＝E，EM，DE⊂平面DEM，所以AB⊥平面DEM， 又EG⊂平面DEM，所以AB⊥EG， 又AB∩DM＝M，AB，DM⊂平面ABD， 所以EG⊥平面ABD，则EG的长度等于点E到平面ABD的距离． 因为E为AC的中点，所以EG的长度等于点C到平面ABD的距离的. 因为EM＝AE·sin 60°＝， 所以EG＝＝＝， 所以点C到平面ABD的距离d＝. FC＝＝. 记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α＝＝. 所以CF与平面ABD所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$