训练7 函数与方程（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 苏教版（苏粤（梅州））

训练7　函数与方程 一、单选题 1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(2，e) C．(e,4) D．(3，＋∞) 答案　C 2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是(　　) 答案　D 解析　小明沿 走时，与O点的直线距离保持不变， 沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小， 沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确． 3．(2022·深圳六校联考)已知x1是ln x＋x＝5的根，x2是ln(4－x)－x＝1的根，则(　　) A．x1＋x2＝4 B．x1＋x2∈(5,6) C．x1＋x2∈(4,5) D．x1＋x2＝5 答案　A 解析　令t＝4－x2，则ln t－(4－t)＝1，即ln t＋t＝5，故t，x1都是ln x＋x＝5的根，显然y＝ln x＋x为增函数，故t＝x1，即4－x2＝x1，故x1＋x2＝4. 4．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声压的衰减过程可以用指数模型：P(s)＝P0e－Ks描述声压P(s)(单位：帕斯卡)随传播距离s(单位：米)的变化规律，其中P0为声压的初始值，常数K为试验参数．若试验中声压初始值为900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K的估计值约为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A．0.162 B．0.164 C．0.166 D．0.168 答案　B 解析　由题意知，400＝900e－5K， 两边取自然对数，则ln 4＝ln 9－5K， 所以K＝＝≈＝0.164. 二、多选题 5．下列命题中是真命题的为(　　) A．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)> B．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2) C．函数f(x)＝x2－1－log2x有两个零点 D．若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2] 答案　BD 解析　对于A，若幂函数y＝f(x)的图象过点，可得幂函数为f(x)＝x－1，则f(3)＝<，A不正确； 对于B，函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，B正确； 对于C，作出y＝x2－1和y＝log2x的图象，如图所示， 由函数的图象可知函数只有1个交点， 即函数f(x)＝x2－1－log2x只有一个零点，C不正确； 对于D，∵函数f(x)＝x2－2x＋4的对称轴为x＝1，此时函数取得最小值为3， 当x＝0或x＝2时，函数值等于4， 又函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3， ∴实数m的取值范围是[1,2]，D正确． 6.(2023·南京模拟)如图，函数f(x)的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，f(x)的零点为－，则(　　) A．函数g(x)＝f(x)－f(4)·lg 有3个零点 B．f(|x|)≥log84恒成立 C．函数h(x)＝|f(x)|－有4个零点 D．f ≥f(x)恒成立 答案　BCD 解析　对于A，当x≥1时，设f(x)＝m(x－2)2＋1(m>0)，因为f(1)＝m＋1＝2，所以m＝1.由此得f(4)＝5，又5lg ＝lg <1，所以g(x)只有1个零点，所以A错误； 对于B，由题可知射线经过点，(1,2)，则射线的方程为y＝x＋(x≤1)．由图可知f(|x|)≥f(0)＝＝log84，所以B正确； 对于C，因为＝∈(1,2)，所以h(x)有4个零点，所以C正确； 对于D，令f(x)＝t(1≤t≤2)，则该方程的解为x1＝，x2＝2－，x3＝2＋， x3－x1＝2＋－， 令＝l(0≤l≤1)， 则x3－x1＝2＋l－＝－2＋≤，故f ≥f(x)恒成立，所以D正确． 三、填空题 7．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文．现在加密密钥为y＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是________． 答案　 解析　由题可知，加密密钥为y＝kx3， 由已知可得，当x＝4时，y＝2， 所以2＝k×43，解得k＝＝， 故y＝x3，显然令y＝，即＝x3， 解得x3＝，即x＝. 8．(2022·岳阳模拟)已知函数f(x)＝若实数a，b，c，d互不相等且|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|，则abcd的取值范围为__________． 答案　(0,16) 解析　由题意，实数a，b，c，d互不相等且|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|， 设|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|＝m， 可得|f(x)|＝m有四个不同的根a，b，c，d，不妨设a<b<c<d， 作出函数y＝m与函数y＝|f(x)|的图象，如图所示， 则有a和b为y＝m与f(x)＝|x＋4|交点的横坐标， c和d为y＝m与f(x)＝|ln x|交点的横坐标， 可得－(a＋4)＝b＋4，即a＋b＝－8， 又由－ln c＝ln d，即ln cd＝0，可得cd＝1， 由图象可知，－4<b<0， 所以abcd＝(－b－8)b＝－b2－8b＝－(b＋4)2＋16∈(0,16)． 四、解答题 9．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围． 解　(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以f(x)＝ (2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解， 即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点． 作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示， 故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解， 只需－1<a<1， 故a的取值范围为(－1,1)． 10．声音通过空气的振动所产生的压强叫做声压强，简称声压，单位为帕(Pa)．把声压的有效数值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫做声压级．声压级以符号SPL表示，单位为分贝(dB)，公式为：SPL(声压级)＝20lg  (dB)，式中pe为待测声压的有效值，pref为参考声压，在空气中参考声压pref一般取值为2×10－5 Pa.根据上述材料，回答下列问题： (1)若某两人小声交谈时的声压有效值pe＝0.002 Pa，求其声压级； (2)已知某班开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90 dB，求此时该教室内声压的有效值． 解　(1)因为某两人小声交谈时的声压有效值pe＝0.002 Pa，在空气中参考声压pref一般取值为2×10－5 Pa，SPL(声压级)＝20lg  (dB)， 所以SPL(声压级)＝20lg  ＝20lg ＝20lg 102＝40(dB)． (2)因为开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90 dB， 所以90＝20lg ， 所以90＝20lg ＝20(lg pe－lg 2×10－5)＝20(lg pe－lg 2－lg 10－5)， 即lg pe＝lg 2－＝lg ， 所以pe＝＝(Pa)， 所以此时该教室内声压的有效值为 Pa. 学科网（北京）股份有限公司 $$