第十章 §10.3 二项式定理（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 苏教版（苏粤（梅州））

§10.3　二项式定理 考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识梳理 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tr＋1＝Can－rbr，它表示展开式的第r＋1项 二项式系数 C(r＝0,1，…，n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n. 常用结论 1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 2．C＝C＋C. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(　×　) (2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(　√　) (3)通项公式Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换．(　√　) (4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(　×　) 教材改编题 1.10的展开式中x2的系数等于(　　) A．45 B．20 C．－30 D．－90 答案　A 解析　因为展开式的通项为Tr＋1＝·x－(10－r)＝，令－10＋r＝2，得r＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×C＝45. 2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．31 B．32 C．15 D．16 答案　A 解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243， 即3n＝35，所以n＝5， 所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31. 3．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________． 答案　20 解析　因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则Tr＋1＝C·x6－r·r＝Cx6－2r，当6－2r＝0，即r＝3时为常数项，T4＝C＝20. 题型一　通项公式的应用 命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项 例1　(1)二项式10的展开式中的常数项是(　　) A．－45 B．－10 C．45 D．65 答案　C 解析　由二项式定理得Tr＋1＝C10－r(－x2)r＝，令－5＝0得r＝2，所以常数项为(－1)2C＝45. (2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________. 答案　±1 解析　5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－r·r＝.由5－r＝5，得r＝0，由5－r＝2，得r＝2，所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1. 命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题 例2　(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 答案　D 解析　在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168. (2)在(2x＋a)6的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为(　　) A．3 204 B．－160 C．160 D．－320 答案　D 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C·x6－r·r＝C·2r·x6－2r， 2xTr＋1＝C·2r＋1·x7－2r，由r∈N，得7－2r≠2，故不成立， aTr＋1＝aC·2r·x6－2r，令6－2r＝2，解得r＝2， 则aC·22＝60a＝－120，解得a＝－2， ∵7－2r≠0，在－2Tr＋1 中，令6－2r＝0，解得r＝3， ∴展开式中的常数项为－2C·23＝－320. 思维升华　(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项即可． (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 跟踪训练1　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为____(用数字作答)． 答案　－28 解析　(x＋y)8展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－ryr，r＝0,1，…，7,8.令r＝6，得T6＋1＝Cx2y6；令r＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28. (2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________． 答案　16　5 解析　由题意得，(＋x)9的通项公式为Tr＋1＝C()9－r·xr(r＝0,1,2，…，9)．当r＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则r＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个． 题型二　二项式系数与项的系数问题 命题点1　二项式系数和与系数和 例3　(1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　) A．二项式系数和为32 B．各项系数和为128 C．常数项为－135 D．常数项为135 答案　D 解析　令x＝1，得各项系数和为2n，又二项式系数和为2n， 则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B不正确； 6的展开式的通项为Tr＋1＝C·(3x)6－r·r＝C·(－1)r36－r·，令6－r＝0，得r＝4，因此展开式中的常数项为T5＝C·(－1)4·32＝135，故C不正确，D正确． (2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________. 答案　300　5 120 解析　①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数． 故a2＋a6＋a8＝C＋C＋C＝300. ②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9. 令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120. 命题点2　系数与二项式系数的最值问题 例4　(多选)(2023·唐山模拟)下列关于6的展开式的说法中正确的是(　　) A．常数项为－160 B．第4项的系数最大 C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1 答案　ACD 解析　6展开式的通项为Tr＋1＝C·6－r·(－2x)r＝(－2)rC·x2r－6. 对于A，令2r－6＝0，解得r＝3，∴常数项为(－2)3C＝－8×20＝－160，A正确； 对于B，由通项公式知，若要系数最大，r所有可能的取值为0,2,4,6， ∴T1＝x－6，T3＝4Cx－2＝60x－2，T5＝(－2)4Cx2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6， ∴展开式第5项的系数最大，B错误； 对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确； 对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确． 思维升华　赋值法的应用 一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． 跟踪训练2　(1)(多选)对于6的展开式，下列说法正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64 C．常数项为1 215 D．系数最大的项为第3项 答案　ABC 解析　6的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A正确； 在6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故B正确； 展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝(－3)rCx12－3r(0≤r≤6，r∈N)， 令12－3r＝0，得r＝4，所以常数项为(－3)4C＝1 215，故C正确； 由C的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1， 第3项系数为(－3)2C＝135，第5项系数为(－3)4C＝1 215， 第7项系数为(－3)6C＝729，则系数最大的项为第5项，故D不正确． (2)设10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________． 答案　1 解析　令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(＋1)10，令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(－1)10， 故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(＋1)10(－1)10＝1. 题型三　二项式定理的综合应用 例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 答案　B 解析　因为a∈Z，且0≤a≤13， 所以512 023＋a＝(52－1)2 023＋a ＝C522 023－C522 022＋C522 021－…＋C52－C＋a， 因为512 023＋a能被13整除， 所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，结合选项， 所以a＝1. (2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　) A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34 答案　D 解析　1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34. 思维升华　二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 跟踪训练3　(1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　) A．－3 B．2 C．10 D．11 答案　C 解析　11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1＝C·11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11＋C－2＝(11＋1)n－2 ＝12n－2＝(13－1)n－2 ＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13＋(－1)n·C－2， 因为n为奇数，则上式＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－3＝[C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－13]＋10， 所以11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是10. (2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　) A．0.940 B．0.941 C．0.942 D．0.943 答案　B 解析　0.996＝(1－0.01)6＝C×1－C×0.01＋C×0.012－C×0.013＋…＋C×0.016 ＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941. 课时精练 1.5的展开式中x4的系数为(　 　) A．10 B．20 C．40 D．80 答案　C 解析　由题意可得Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝(－1)rC·2r·x10－3r， 令10－3r＝4，则r＝2， 所以所求系数为(－1)2C·22＝40. 2．(多选)若6的展开式中的常数项为，则实数a的值可能为(　　) A．2 B. C．－2 D．－ 答案　AC 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝Crx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4.故C·4＝，即4＝，解得a＝±2. 3．在6(x＋3)的展开式中，常数项为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　A 解析　原式＝x6＋36，① 而6的通项公式为Tr＋1＝rCx6－2r.当6－2r＝－1时，r＝∉Z，故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2r＝0，即r＝3时，可得①式中的后一项即为所求， 此时原式常数项为3×3×C＝－. 4．在24的展开式中，x的指数是整数的项数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　因为24的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()24－rr＝，所以当r＝0,6,12,18,24时，x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项． 5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　) A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680 答案　C 解析　根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120. 6．设a＝3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3，则当n＝2 023时，a除以15所得余数为(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 答案　A 解析　∵C3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C30＝(3＋1)n＝4n， ∴a＝4n－1，当n＝2 023时，a＝42 023－1＝4×161 011－1＝4×[(15＋1)1 011－1]＋3， 而(15＋1)1 011－1＝C151 011＋C151 010＋…＋C15，故此时a除以15所得余数为3. 7．(多选)在二项式6的展开式中，正确的说法是(　　) A．常数项是第3项 B．各项的系数和是 C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为32 答案　BCD 解析　二项式6的展开式通项为Tr＋1＝C·()6－r·r＝C·r·. 对于A选项，令＝0，可得r＝3，故常数项是第4项，A错误； 对于B选项，各项的系数和是6＝，B正确； 对于C选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确； 对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确． 8．(多选)(2023·沧州模拟)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则(　　) A．展开式中所有项的二项式系数和为22 023 B．展开式中系数最大项为第1 350项 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝ D.＋＋＋…＋＝－1 答案　AD 解析　易知(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数和为22 023，故A正确； 由二项式通项，知Tr＋1＝C(－2x)r＝(－2)rCxr，所以第1 350项的系数为(－2)1 349C<0，所以第1 350项不是系数最大项，故B错误； 当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，① 当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023＝32 023，② ①－②，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝－，故C错误； 当x＝0时，a0＝1，当x＝时，a0＋＋＋＋…＋＝0， 所以＋＋＋…＋＝－a0＝－1，故D正确． 9．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a1＝________，a1＋a2＋…＋a5＝________. 答案　80　211 解析　因为x5＝[2＋(x－2)]5，则a1＝C·24＝80. 令x＝3，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35＝243； 令x＝2，得a0＝25＝32， 故a1＋a2＋…＋a5＝243－32＝211. 10．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________________． 答案　1 120x4　1 792x5和1 792x6 解析　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6， 依题意有C·25＝C·26，得n＝8. ∴在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝C·(2x)4＝1 120x4， 设第r＋1项系数最大，则有 解得5≤r≤6.又r∈N， ∴r＝5或r＝6， ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 11．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　) A．120 B．－120 C．60 D．30 答案　A 解析　由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5， 展开式的第r＋1项为C(x＋y)5－r(－2z)r， 令r＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2， (x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym， 令m＝2，可得第3项为Cxy2， 所以(x＋y－2z)5的展开式中， xy2z2的系数是(－2)2CC＝120. 12．(2023·浙江名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________. 答案　－4　31 解析　因为x·C·23·x0－C·22·x1＝－4x， 所以a1＝－4， 对所给等式，两边对x求导， 可得(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3， 令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4， 所以2a2＋3a3＋4a4＝31. 13．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan等于(　　) A．405 B．810 C．243 D．64 答案　B 解析　(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1. 令x＝1，则2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan. 又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243， 令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5. 所以a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810. 14．已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1－2x)2 023＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2 023x2 023，数列{an}的首项a1＝＋＋…＋，an＋1＝Sn·Sn＋1，则S2 023等于(　　) A．－ B. C．2 023 D．－2 023 答案　A 解析　令x＝，得 2 023＝b0＋＋＋…＋＝0. 令x＝0，得b0＝1， 所以a1＝＋＋…＋＝－1. 由an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn， 得＝－＝1， 所以－＝－1， 所以数列是首项为＝－1， 公差为－1的等差数列， 所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n， 所以Sn＝－，所以S2 023＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$