第四章 §4.5 三角函数的图象与性质（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 苏教版（苏粤（梅州））

§4.5　三角函数的图象与性质 考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质． 知识梳理 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠kπ＋} 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 每个闭区间 每个闭区间[2kπ－π，2kπ] 每个开区间 递减区间 每个闭区间 每个闭区间[2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 常用结论 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)． (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝cos x在第一、二象限内单调递减．(　×　) (2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　√　) (3)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　×　) (4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　×　) 教材改编题 1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 答案　A 2．函数y＝－tan的单调递减区间为________． 答案　(k∈Z) 解析　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)， 得＋<x<＋(k∈Z)， 所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z)． 3．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________. 答案　5　＋2kπ(k∈Z) 解析　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z). 题型一　三角函数的定义域和值域 例1　(1)函数y＝的定义域为(　　) A. B.(k∈Z) C.(k∈Z) D．R 答案　C 解析　由cos x－≥0，得cos x≥， ∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. (2)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________． 答案　－4 解析　∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1＝－22＋，－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，f(x)有最小值－4. (3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________． 答案　 解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，∴sin xcos x＝， 且－≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]． 当t＝1时，ymax＝1； 当t＝－时，ymin＝－. ∴函数y的值域为. 思维升华　三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域． 跟踪训练1　(1)(2021·北京)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　) A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 答案　D 解析　由题意， f(－x)＝cos (－x)－cos (－2x) ＝cos x－cos 2x＝f(x)， 所以该函数为偶函数， 又f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cos x＋1＝－22＋， 所以当cos x＝时，f(x)取最大值. (2)函数y＝lg sin x＋的定义域为________________． 答案　 解析　要使函数有意义，则有 即解得(k∈Z)， 所以2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z.所以函数y的定义域为. 题型二　三角函数的周期性与对称性 例2　(1)(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝3sin，则下列说法正确的是(　　) A．图象关于点对称 B．图象关于点对称 C．图象关于直线x＝对称 D．图象关于直线x＝对称 答案　C 解析　由题可得，设2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)． 设2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)，通过对比选项可知，f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________． 答案　　，k∈Z 解析　若f(x)＝3sin＋1为偶函数， 则－＋φ＝kπ＋，k∈Z， 即φ＝＋kπ，k∈Z， 又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝. ∴f(x)＝3sin＋1＝3cos 2x＋1， 由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z， ∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z. 思维升华　(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式． (2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解． 跟踪训练2　(1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则 f 等于(　　) A．1 B. C. D．3 答案　A 解析　因为<T<π，所以<<π，解得2<ω<3. 因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)， 又2<ω<3，所以<ω＋<， 所以ω＋＝4π，解得ω＝， 所以f(x)＝sin＋2， 所以f ＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A. (2)(多选)(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的最大值为 B．f(x)的最小正周期为π C．f 为奇函数 D．f(x)的图象关于直线x＝对称 答案　ABD 解析　因为函数f(x)＝sin， 所以f(x)的最大值为，A正确； 最小正周期T＝＝π，B正确； f ＝sin＝sin＝－cos 2x为偶函数，C错误； f(x)的对称轴满足2x－＝＋kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝，故D正确． 题型三　三角函数的单调性 命题点1　求三角函数的单调区间 例3　函数f(x)＝sin的单调递减区间为________． 答案　，k∈Z 解析　f(x)＝sin的单调递减区间是f(x)＝sin的单调递增区间． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所给函数的单调递减区间为，k∈Z. 延伸探究　若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间． 解　令A＝，k∈Z， B＝[0，π]， ∴A∩B＝∪， ∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和. 命题点2　根据单调性求参数 例4　(1)(2022·淄博模拟)若函数f(x)＝cos在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为(　　) A. B. C. D. π 答案　A 解析　函数f(x)＝cos的单调递增区间为(k∈Z)，而函数f(x)又在[－a，a]上单调递增，所以⇒a≤，于是0<a≤，即a的最大值为. (2)(2023·晋中模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，且在上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________． 答案　 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ω>0)． 由2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得－≤x≤＋，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 由题知，⊆， ∴ ∴6k－≤ω≤4k＋，k∈Z.∵ω>0，∴当k＝0时，－≤ω≤， ∴0<ω≤； 当k＝1时，≤ω≤； 当k≥2，k∈Z时，ω∈∅， ∴ωmax＝. 思维升华　(1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练3　(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 答案　C 解析　依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x. 对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递增，所以A选项不正确； 对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以B选项不正确； 对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递减，所以C选项正确； 对于D选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以D选项不正确．故选C. (2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，则“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵x∈，∴ω－≤ωx－≤ω－， 由于函数f(x)在上单调递增， ∴(k∈Z)， 解得(k∈Z)， 故k只能取0，即0<ω≤1， ∴“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的充分不必要条件． 课时精练 1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)． 2．(2023·赣州模拟)已知f(x)＝sin2－，则f(x)是(　　) A．奇函数且最小正周期为π B．偶函数且最小正周期为π C．奇函数且最小正周期为2π D．偶函数且最小正周期为2π 答案　A 解析　f(x)＝sin2－＝－＝sin 2x，故f(x)为奇函数，且最小正周期为T＝＝π. 3．若函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，则ω等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　因为函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为， 所以＝，所以T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝1. 4．(2023·广州模拟)如果函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　根据题意，sin＝0， 即－＋φ＝kπ，k∈Z， 解得φ＝kπ＋，k∈Z， 当k＝－1时，|φ|取得最小值. 5．(多选)(2022·海口模拟)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的最大值为 B．f(x)在区间上单调递增 C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)的最小正周期为π 答案　AB 解析　f(x)＝sin x－cos x＝sin， 对于A，f(x)max＝，A正确； 对于B，当x∈时，x－∈， 由正弦函数在上单调递增可知f(x)在上单调递增，B正确； 对于C，当x＝时，x－＝，则f(x)关于直线x＝成轴对称，C错误； 对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误． 6．(多选)(2023·汕头模拟)对于函数f(x)＝|sin x|＋cos 2x，下列结论正确的是(　　) A．f(x)的值域为 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)的图象不关于直线x＝对称 D．π是f(x)的一个周期 答案　ACD 解析　f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos 2(x＋π)＝|sin x|＋cos 2x＝f(x)， 所以π是函数f(x)的一个周期，故D正确； 对于A，因为f(x)的一个周期为π，令x∈[0，π]，此时sin x≥0， 所以f(x)＝sin x＋1－2sin2x， 令t＝sin x，g(t)＝－2t2＋t＋1＝－22＋，t∈[0,1]，可知其值域为，故A正确； 对于B，由A可知，g(t)在上单调递增，在上单调递减， 因为t＝sin x，t∈[0,1]， 所以f(x)在上不单调，故B不正确； 对于C，因为f(0)＝1，f ＝0， 所以f(0)≠f ， 所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C正确． 7．(2022·汕头模拟)请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝________. 答案　tan x(答案不唯一) 解析　根据函数最小正周期为π，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在(0,1)上单调递增，构造即可， 如f(x)＝tan x满足题意． 8．(2023·吉林模拟)已知函数f(x)＝sin(0≤φ≤π)在上单调递减，则φ的取值范围是________． 答案　≤φ≤π 解析　当x∈时，x＋φ∈， 又函数f(x)＝sin(0≤φ≤π)在上单调递减， 所以x＋φ∈⊆， 所以解得≤φ≤π. 9．已知函数f(x)＝cos xsin x＋sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 解　(1)f(x)＝cos xsin x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， ∴函数f(x)的最小正周期为＝π， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)∵x∈，∴2x－∈， 则sin∈[－1,1]，∴f(x)∈， ∴函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. 10．(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定． (1)求f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f ，求g(x)在区间上的最大值． 条件①：f(x)的最小正周期为π； 条件②：f(x)为奇函数； 条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)选择条件①②： 由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2. 由条件②f(0)＝0，即sin φ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z)． 因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin 2x.经检验φ＝0符合题意． 选择条件①③： 由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2. 由条件③得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ(k∈Z)． 因为|φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin 2x. (2)由题意得g(x)＝sin 2x＋sin， 化简得g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 所以当2x＋＝， 即x＝时，g(x)取最大值. 11．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，在区间(0,1)上不可能(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值 答案　B 解析　当x∈(0,1)时，因为ω>0，所以0<ωx<ω， 因为－<φ<，所以－<ωx＋φ<＋ω， 令ωx＋φ＝t，所以y＝sin t， 当－＋2kπ≤t≤＋2kπ，k∈Z时，y＝sin t单调递增， 故f(x)在(0,1)上不可能单调递减． 12．(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间上单调递减 B．f(x)在区间上有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 答案　AD 解析　因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin. 对于A，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故A正确； 对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上只有一个极值点，故B不正确； 对于C，因为f ＝sin＝sin 3π＝0，所以直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确； 对于D，因为f′(x)＝2cos，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线， 则由2cos＝－1，得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)， 所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z)． 当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝， 则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0； 当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－， 方程－＝－kπ－(k∈Z)无解． 综上所述，直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，故D正确． 13．(2023·福州模拟)已知三角函数f(x)满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在上单调递减．写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)＝________________. 答案　2sin(答案不唯一) 解析　对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点中心对称； 对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称； 设f(x)＝2sin(ωx＋φ)，则T＝4×＝4，ω＝， 又f(x)的图象关于直线x＝对称，且函数f(x)在上单调递减， 则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z. 所以可令f(x)＝2sin，答案不唯一． 14．(2023·唐山模拟)已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为________． 答案　 解析　∵sin x＋cos y＝，sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝－cos y∈[－1,1]， ∴cos y∈， 即cos y∈， ∵sin x－sin2y＝－cos y－(1－cos2y) ＝cos2y－cos y－ ＝2－1， 又cos y∈， 利用二次函数的性质知，当cos y＝－时， (sin x－sin2y)max＝2－1＝. 15．已知函数f(x)＝＋3sin πx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为(　　) A．2 B．4 C．2π D．4π 答案　B 解析　令f(x)＝＋3sin πx＝0， 则＝－3sin πx， 所以f(x)的零点就是函数y＝与函数y＝－3sin πx图象交点的横坐标， 因为y＝的图象关于点(1,0)对称，函数y＝－3sin πx的周期为2，其图象关于点(1,0)对称，两函数图象如图所示， 共有4个交点，这4个点关于点(1,0)对称， 所以其横坐标的和为4， 所以函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为4. 16．(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋|cos x|，写出函数f(x)的一个单调递增区间________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是________． 答案　　 解析　当x∈，k∈Z时， f(x)＝sin x＋cos x＝2sin， 当x∈，k∈Z时， f(x)＝sin x－cos x＝2sin， 令－≤x＋≤，则－≤x≤， 所以函数f(x)的一个单调递增区间为. f(x)＝ 则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减， 则当x∈时，f(x)∈[1,2]，且f(0)＝，f ＝1， 令－≤x－≤，则－≤x≤， 所以函数f(x)在上单调递增，此时f(x)∈[1,2]． 令≤x－≤，则≤x≤， 所以函数f(x)在上单调递减， 当x∈时，令f(x)＝1，则x＝， 因为当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]， 所以≤a≤. 学科网（北京）股份有限公司 $$