第八章 §8.7 抛物线（教师用书word）【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教B版 鲁京辽贵（遵义））

§8.7　抛物线 考试要求　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用． 知识梳理 1．抛物线的概念 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 常用结论 1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　) (2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(　×　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　) (4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　√　) 教材改编题 1．抛物线x2＝y的准线方程为(　　) A．y＝－ B．x＝－ C．y＝ D．x＝ 答案　A 解析　由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－. 2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　B 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得， |PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1 ＝x1＋x2＋2＝8. 3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 答案　B 解析　由题意可得|MF|＝xM＋， 则3＋＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x. 题型一　抛物线的定义及应用 例1　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 答案　B 解析　方法一　由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1. 设A， 则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1. 因为|BF|＝3－1＝2， 所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2， 解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)． 不妨取A(1,2)， 则|AB|＝＝＝2. 方法二　由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2， 所以|AF|＝2. 因为抛物线的通径长为2p＝4， 所以AF的长为通径长的一半， 所以AF⊥x轴， 所以|AB|＝＝＝2. (2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________． 答案　42或22 解析　当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D， 则|PF|＝|PD|， |PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 当点M，P，D三点共线时， |PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42. 当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小． 由最小值为41，得＝41， 解得p＝22或p＝58. 当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去． 综上，p＝42或p＝22. 　　　　 ①　　　　　　　　② 思维升华　“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径． 跟踪训练1　(1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(　　) A．4 B．3 C. D. 答案　D 解析　由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－， 根据抛物线的定义，可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离， 可得2＋＝，解得m＝. (2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________． 答案　－4 解析　圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3,3)，半径r＝2， 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)， 因为P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2， 所以要使d1＋d2最小，即P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小， 如图，连接PF，FC，则d1＋d2的最小值为|FC|减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离， 即－2－2＝－4， 所以d1＋d2的最小值为－4. 题型二　抛物线的标准方程 例2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 解　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)． 又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， 则2p＝，2p1＝. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 思维升华　求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法． (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论． 跟踪训练2　(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x 答案　D 解析　如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D， 设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°， ∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|， ∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a， ∴3＋3a＝6，解得a＝1， ∵BD∥FG，∴＝， ∴p＝， 因此抛物线的方程为y2＝3x. (2)(2022·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝－ B．x＝－1 C．x＝－2 D．x＝－4 答案　B 解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F， 将点P的横坐标代入抛物线得y2＝16p，可得y＝±4，不妨令P(8,4)， 则S△OFP＝××4＝p＝2，解得p＝2， 则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. 题型三　抛物线的几何性质 例3　(1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于(　　) A．6 B．8 C．9 D．12 答案　D 解析　由题意得，F为△ABC的重心， 故＝×(＋)＝(＋)， 设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)， ∵抛物线y2＝8x，F为其焦点，∴F(2,0)， ∴＝(2－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)， ＝(x3－x1，y3－y1)， ∵＝(＋)， ∴2－x1＝(x2－x1＋x3－x1)， ∴x1＋x2＋x3＝6， ∴||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋6＝12. (2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　) A．p＝4 B.＝ C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4 答案　ABC 解析　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°， 则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4， 故A正确； 因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE， 所以F为AD的中点，则＝，故B正确； 因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°， 所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确； 因为|BD|＝2|BF|， 所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误． 思维升华　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 跟踪训练3　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______． 答案　x＝－ 解析　方法一　(解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF， 所以tan∠OPF＝tan∠PQF， 所以＝，即＝， 解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的准线方程为x＝－. 方法二　(应用射影定理法)由题易得|OF|＝， |PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|， 即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)， 所以C的准线方程为x＝－. (2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3＝2，则|FN|＝________. 答案　16 解析　易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图， 抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C， AF∥MB∥NC，则＝， 由3＝2， 得＝， 又|CN|＝4，|OF|＝4， 所以＝，|BM|＝，|MF|＝|BM|＝，＝， 所以|FN|＝16. 课时精练 1．(2022·桂林模拟)抛物线C：y2＝－x的准线方程为(　　) A．x＝ B．x＝－ C．y＝ D．y＝－ 答案　A 解析　y2＝－x的准线方程为x＝. 2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 答案　D 解析　由题可知，抛物线准线为y＝－，可得1＋＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2. 3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝－4x D．y2＝－8x 答案　D 解析　由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等， 由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线， 所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x. 4．(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于(　　) A．3 B．4 C. D. 答案　B 解析　过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示， 因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°， 由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°， 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°， 易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4. 5．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　) A．p＝4 B．抛物线方程为y2＝16x C．直线l的方程为y＝2x－4 D．|AB|＝10 答案　ACD 解析　由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确； 则抛物线的方程为y2＝8x， 焦点F(2,0)，故B错误； 则y＝8x1，y＝8x2， 若M(m,2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4， ∴y－y＝8x1－8x2， 即＝＝＝2， ∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确； 又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确． 6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是(　　) A．C的准线方程为x＝ B．b＝ C.·＝2 D.＋＝ 答案　BD 解析　点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上， 则解得 则抛物线C：y2＝x，A，B(，)， 抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确； ·＝×＋1×＝1＋，故C错误； 抛物线C的焦点F， 则|AF|＝＝， |BF|＝＝， 则＋＝＋＝，故D正确． 7. 如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米． 答案　2 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米． 8．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________. 答案　5　4 解析　因为抛物线的方程为y2＝4x， 故p＝2且F(1,0)， 因为|FM|＝6，所以xM＋＝6， 解得xM＝5， 故yM＝±2， 所以S△FMN＝×(5－1)×2＝4. 9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程． 解　(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，焦点为F. 当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2， ∴1＋＝2，解得p＝2， ∴抛物线C的方程为x2＝4y. (2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上， ∴y0＝＝1，M坐标为(－2,1)． 又直线l过点F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1. 由 得x2－4kx－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， ＝(x1＋2，y1－1)， ＝(x2＋2，y2－1)． ∵MA⊥MB， ∴·＝0， ∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， ∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0. 当k＝0时，l过点M，不符合题意，∴k＝2， ∴直线l的方程为y＝2x＋1. 10．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程和点P的坐标； (2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长． 解　(1)由1＋＝2，可得p＝2， 故抛物线的方程为x2＝4y， 当y＝1时，x2＝4， 又因为x>0，所以x＝2， 所以点P的坐标为(2,1)． (2)由题意可得直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－4kx－4k－2＝0， 所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2， 因为∠APB的角平分线与y轴垂直， 所以kPA＋kPB＝0， 所以kPA＋kPB＝＋＝0， 即＋＝0， 即x1＋x2＋4＝0， 所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2， 所以|AB|＝|x1－x2|＝＝4. 11．(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论正确的是(　　) A．y1y2＝－1 B．|AB|＝ C．PB平分∠ABQ D．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线 答案　BCD 解析　设抛物线的焦点为F，如图所示， 则F. 因为P，且l1∥x轴，故A(1,1)， 故直线AF：y＝＝x－. 由可得y2－y－＝0， 故y1y2＝－，故A错误； 又y1＝1，故y2＝－， 故B， 故|AB|＝1＋＋＝，故B正确； 因为|AP|＝－1＝＝|AB|， 故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB， 而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB， 即∠ABP＝∠PBQ， 故PB平分∠ABQ，故C正确； 直线AO：y＝x，由 可得C，故yC＝y2， 所以C，B，Q三点共线，故D正确． 12．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为________． 答案　y2＝4x 解析　因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°， 所以△MHF为正三角形， 所以|HF|＝4， 记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°， 所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2， 所以该抛物线方程为y2＝4x. 13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于(　　) A．4 B．2 C. D. 答案　A 解析　设P(x，y)，则yC＝y， ∵lOB：y＝x， ∴C， ∴E(0，y)，F， ∵FC∥y轴， ∴△OPE∽△FPC， ∴＝， ∴＝，即y2＝4x， ∴P的轨迹方程为y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1,0)为该抛物线的焦点． 设Q(x0，y0)，则y＝4x0，＝(x0－1，y0)，＝(－1,0)， ∴cos∠OAQ＝＝＝＝－，解得x0＝3， ∴|AQ|＝x0＋＝3＋1＝4. 14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则的值是________． 答案　 解析　如图所示，作BE⊥l，AD⊥l， 设|AF|＝a，|BF|＝b， 由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|， 在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b， 因为AF⊥AB，∠ABF＝30°， 所以b＝2a，则|MN|＝， 又|AB|＝＝a， 故＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$