第十章 §10.6 离散型随机变量及其分布列、数字特征（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教A版（提优版）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀苏晋皖黑吉云贵桂新豫浙）

§10.6　离散型随机变量及其分布列、数字特征 考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征． 知识梳理 1．离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望) 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 常用结论 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． 3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　) (3)如果随机变量X的分布列由下表给出， X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从两点分布．(　×　) (4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(　√　) 教材改编题 1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　) A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局二次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 答案　D 解析　因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分， 故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次． 2．已知X的分布列为 X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　) A. B．4 C．－1 D．1 答案　A 解析　E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝. 3．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 则X的方差D(X)＝________. 答案　 解析　由＋＝1，得a＝1或a＝－2(舍去)． ∴X的分布列为 X 0 1 P ∴E(X)＝0×＋1×＝， 则D(X)＝2×＋2×＝. 题型一　分布列的性质 例1　(1)若随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2) 答案　C 解析　由随机变量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]． (2)(2022·桂林模拟)若随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a c 则P(|X|＝1)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由随机变量X的分布列得 P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1) ＝a＋c＝1－＝. 思维升华　离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 跟踪训练1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 2－3q q2 则q的值为(　　) A．1 B.± C.－ D.＋ 答案　C 解析　由分布列的性质知 解得q＝－. (2)设随机变量X满足P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则k＝________； P(X≥2)＝________. 答案　　 解析　由已知得随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P ∴＋＋＝1，∴k＝. ∴随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P ∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 题型二　离散型随机变量的分布列及数字特征 例2　(1)(多选)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 3m 下列结论正确的有(　　) A．m＝ B．E(X)＝ C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝ 答案　ABD 解析　由分布列的性质得，＋4m＝1，解得m＝，故A正确； E(X)＝－1×＋0×＋1×＝，故B正确； E(2X－1)＝2E(X)－1＝－，故C不正确； D(X)＝×2＋×2＋×2＝，故D正确． (2)(多选)(2023·郑州模拟)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区的志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则(　　) A．E(X)＝E(Y) B．E(X)≠E(Y) C．D(X)＝D(Y) D．D(X)≠D(Y) 答案　BC 解析　由题意得，随机变量X的所有可能取值为1,2,3， 则P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＝. 随机变量Y的所有可能取值为0,1,2， 则P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝， 所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝， D(Y)＝2×＋2×＋2×＝， 故E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)． 思维升华　求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值． (2)求ξ取每个值的概率． (3)写出ξ的分布列． (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)． 跟踪训练2　(1)(2022·怀化模拟)已知ξ的分布列如表所示． ξ 0 1 2 P ？ ！ ？ 其中，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此计算，下列各式中：①E(ξ)＝1；②D(ξ)>1；③P(ξ＝0)≤，正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0,1]，2a＋b＝1. ①E(ξ)＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确； ②D(ξ)＝(0－1)2×a＋(1－1)2×b＋(2－1)2×a＝2a≤1，因此②不正确； ③P(ξ＝0)＝a＝≤，因此③正确． (2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝________. 答案　 解析　由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2， P(ξ＝5)＝×＝， P(ξ＝4)＝×＝， P(ξ＝3)＝×＝， P(ξ＝2)＝×＝， 则E(ξ)＝5×＋4×＋3×＋2×＝， D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. 题型三　均值与方差中的决策问题 例3　(12分)(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； [切入点：X的取值情况] (2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. [关键点：均值大小比较] 思维升华　随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 跟踪训练3　某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关． (1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由． 解　(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10， 则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24， P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56， 所以X的分布列为 X 0 4 10 P 0.2 0.24 0.56 (2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下： 由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值 E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56， 若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0,6,10， P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3， P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14， P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56， 则Y的均值E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44， 因为E(X)>E(Y)， 所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核． 课时精练 1．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则X的均值E(X)等于(　　) X 0 1 2 P 0.2 a 0.5 A.0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3 答案　D 解析　依分布列的性质可得0.2＋a＋0.5＝1，解得a＝0.3， 所以E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.5＝1.3. 2．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则 a等于(　　) A．－3 B．－2 C. D．3 答案　A 解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＝. ∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2， 解得a＝－3. 3．随机变量X的取值范围为{0,1,2}，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q， 由题意得，E(X)＝0×＋p＋2q＝1，且＋p＋q＝1， 解得p＝，q＝， 所以D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝. 4．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的均值为1，则ab的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得，比赛一局得分的均值为3×a＋1×b＋0×c＝1，故3a＋b＝1， 又a，b，c∈[0,1)，故3a＋b≥2， 解得ab≤， 当且仅当3a＝b，即a＝，b＝时，等号成立． 故ab的最大值为. 5．(2023·长沙模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品D，E，F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示： 商品 D E F 猜对的概率 0.8 0.5 0.3 获得的奖金/元 100 200 300 规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品，你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大(　　) A．FDE B．FED C．DEF D．EDF 答案　C 解析　按照FDE的顺序获得的奖金的均值为 300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋600×0.3×0.8×0.5＝138(元)； 按照FED的顺序获得的奖金的均值为 300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8＝132(元)； 按照DEF的顺序获得的奖金的均值为 100×0.8×0.5＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝196(元)； 按照EDF的顺序获得的奖金的均值为 200×0.5×0.2＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝176(元)， 综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大． 6．(多选)设0<m<1，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 m 1 P 当m在(0,1)上增大时，则(　　) A．E(ξ)减小 B．E(ξ)增大 C．D(ξ)先增后减，最大值为 D．D(ξ)先减后增，最小值为 答案　BD 解析　由题意得，＋＋＝1，解得a＝1， E(ξ)＝0×＋m×＋1×＝＋， 所以当m在(0,1)上增大时，E(ξ)增大，故A错误，B正确； D(ξ)＝ ＝ ＝2＋， 所以当m在(0,1)上增大时，D(ξ)先减小后增大， 当m＝时，D(ξ)取得最小值，故C错误，D正确． 7．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示． ξ －2 0 2 P a b 若随机变量ξ的均值E(ξ)＝，则D(2ξ＋1)＝________. 答案　11 解析　由表中数据得，E(ξ)＝－2a＋0×b＋2×＝， 解得a＝， 又a＋b＋＝1， 所以b＝， 所以D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝， 所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11. 8．某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙、丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立．设小张3科中合格的科目数为X，则P(X＝2)＝________，E(X)＝________. 答案　　 解析　P(X＝2)＝××＋××＋××＝； P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 9．若有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 4 200 4 400 4 600 4 800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 4 000 4 400 4 800 5 200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解　根据月工资的分布列，可得E(X1)＝4 200×0.4＋4 400×0.3＋4 600×0.2＋4 800×0.1 ＝4 400(元)， D(X1)＝(4 200－4 400)2×0.4＋(4 400－4 400)2×0.3＋(4 600－4 400)2×0.2＋(4 800－4 400)2 ×0.1＝40 000； E(X2)＝4 000×0.4＋4 400×0.3＋4 800×0.2＋5 200×0.1＝4 400(元)， D(X2)＝(4 000－4 400)2×0.4＋(4 400－4 400)2×0.3＋(4 800－4 400)2×0.2＋(5 200－4 400)2 ×0.1＝160 000. 因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 所以两家单位的月工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．如果你认为自己能力较强，通过一段时间的努力可以获得高工资职位，可选择乙单位；如果你认为自己能力一般，则选择甲单位可能得到更高的收入，可选择甲单位． 10．(2023·临汾模拟)某游乐场设置了迷宫游戏，有三个造型相同的门可供选择，参与者进入三个门的结果分别是3分钟走出去，6分钟走出去，3分钟返回出发点．游戏规定：不重复进同一个门，若返回出发点立即重新选择，直到走出迷宫游戏结束． (1)求一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值； (2)甲、乙2人相约玩这个游戏.2人商量了两种方案． 方案一：2人共同行动； 方案二：2人分头行动． 分别计算两种方案2人都走出迷宫所用时间和的均值． 解　(1)设一名游戏参与者走出迷宫所用时间为X(单位：分钟)， 则X的所有可能取值为3,6,9， P(X＝3)＝，P(X＝6)＝＋×＝， P(X＝9)＝×＝， 所以E(X)＝3×＋6×＋9×＝(分钟)， 即一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值为 分钟． (2)由(1)知，按照方案一：2人共同行动所用时间和的均值为×2＝11(分钟)． 按照方案二：设两人走出迷宫所用时间和为Y(单位：分钟)， 则Y的所有可能取值为9,12,15， P(Y＝9)＝2×＝， P(Y＝12)＝2×＝， P(Y＝15)＝2×＝， 所以E(Y)＝9×＋12×＋15×＝11(分钟)， 即按照方案二，两人所用时间和的均值为11分钟． 11．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　记李明这3道题的得分为随机变量X，则X的所有可能取值为0,5,10,15， P(X＝0)＝2×＝， P(X＝5)＝C×××＋2×＝， P(X＝10)＝C×××＋2×＝， P(X＝15)＝2×＝， 所以E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＝. 12．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的中心落在圆O中得3分，冰壶的中心落在圆环A中得2分，冰壶的中心落在圆环B中得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，.甲、乙所得分数相同的概率为________；若甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的均值为________． 答案　　 解析　由题意知，甲得0分的概率为1－－－＝， 乙得0分的概率为1－－－＝， 则甲、乙所得分数相同的概率为×＋×＋×＋×＝. 因为甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6， 则P(X＝0)＝×＝； P(X＝1)＝×＋×＝； P(X＝2)＝×＋×＋×＝； P(X＝3)＝×＋×＋×＋×＝； P(X＝4)＝×＋×＋×＝； P(X＝5)＝×＋×＝； P(X＝6)＝×＝， 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 13．(多选)核酸检测有两种检测方式：(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为(k＋1)次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p(0<p<1)，若k＝10，运用概率统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式(参考数据：lg 0.794≈－0.1)(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 答案　AB 解析　设混合检测方式中样本需要检测的总次数为Y，则Y的所有可能取值为1,11， P(Y＝1)＝(1－p)10，P(Y＝11)＝1－(1－p)10， E(Y)＝1×(1－p)10＋11×[1－(1－p)10]＝11－10×(1－p)10， 设逐份检测中样本需要检测的总次数为X，则E(X)＝10， 若混合检测方式优于逐份检测方式，需E(Y)<E(X)，即11－10×(1－p)10<10，即1－p>10－0.1， ∵lg 0.794≈－0.1， ∴1－p>10lg 0.794≈0.794， ∴0<p<0.206. 14．某学校进行排球测试的规则：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直到发完4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且p∈，发球次数为X，则P(X＝3)的最大值为________；若E(X)<，则p的取值范围是________． 答案　 　 解析　由题意，得X的所有可能取值为1,2,3,4， 所以P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p，P(X＝4)＝(1－p)3， 令f(x)＝(1－x)2x＝x3－2x2＋x，x∈， 则f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)， 当<x<时，f′(x)>0，当<x<时，f′(x)<0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以f(x)max＝f ＝2×＝， 即P(X＝3)max＝. 又E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2p＋4(1－p)3<， 即－p3＋4p2－6p＋<0， 令h(x)＝－x3＋4x2－6x＋，x∈， 则h′(x)＝－3x2＋8x－6＝－32－<0， 所以h(x)在上单调递减， 又h＝0， 所以当x∈时，h(x)<0， 所以当p∈时，E(X)<. 学科网（北京）股份有限公司 $$