第六章 §6.3 等比数列（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 人教A版（强基版）京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀苏晋皖黑吉云贵桂新豫浙）

§6.3　等比数列 考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理 1．等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) (5)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 常用结论 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　×　) (2)当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列．(　×　) (3)等比数列中所有偶数项的符号相同．(　√　) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　) 教材改编题 1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc， 数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列， 即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件． 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　) A．31 B．32 C．63 D．64 答案　C 解析　根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63. 3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________________． 答案　1,3,9或9,3,1 解析　设这三个数为，a，aq， 则解得或 ∴这三个数为1,3,9或9,3,1. 题型一　等比数列基本量的运算 例1　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 答案　D 解析　方法一　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1. 由题意可得 即解得 所以a6＝a1q5＝3，故选D. 方法二　设等比数列{an}的公比为q， 易知q≠1.由题意可得 即解得 所以a6＝a1q5＝3，故选D. (2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f1，第八个音的频率为f2.则等于(　　) A. B. C. D．4 答案　A 解析　设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝aqn－1， 根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝， 所以＝＝q6＝. 思维升华　等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解． 跟踪训练1　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意，有∴∴a3＝22＝4. (2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是(　　) A．插入的第8个数为 B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍 C．M>3 D．N<7 答案　D 解析　设该等比数列为{an}，公比为q， 则a1＝1，a13＝2， 故q12＝＝2. 插入的第8个数为a9＝a1q8＝，故A正确； 插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，所以＝＝q4＝，故B正确； M＝＝＝－1－， 要证M>3，即证－1－>3， 即证>4， 即证>， 即证12>2， 而12>6>2成立，故C正确； N＝M＋3. 因为12>(1.4)6>(1.9)3>2， 所以>， 所以>5， 所以－1－>4，即M>4， 所以N＝M＋3>7，故D错误． 题型二　等比数列的判定与证明 例2　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1. 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解　选①②作为条件证明③： 设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1， 当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)， 因为{an}是等比数列，所以＝，解得q＝2，所以a2＝2a1. 选①③作为条件证明②： 因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2， 所以Sn＝＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝a12n， 因为＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列． 选②③作为条件证明①： 设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1， 当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)， 因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1， 又因为＝2(n≥2)，且a2＝2a1， 所以{an}为等比数列． 思维升华　等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 跟踪训练2　在数列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. (1)证明　因为a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2， 所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)， 即＝. 因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6， 所以＝2， 所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)解　由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1， 所以Sn＝－n＝3·2n－n－3. 题型三　等比数列的性质 例3　(1)(2023·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　) A. B．3 C．± D．±3 答案　B 解析　∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9， ∴a1>0，a13>0，a1·a13＝a2·a12＝a＝9， 又数列{an}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3， ∴＝＝3. (2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　) A．150 B．－200 C．150或－200 D．400 答案　A 解析　依题意，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又因为数列{an}的各项都为正数，即S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，所以S40－S30＝S10×3＝80，S40＝S30＋(S40－S30)＝70＋80＝150. 思维升华　(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要． 跟踪训练3　(1)(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于(　　) A．40 B．36 C．54 D．81 答案　C 解析　在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列， ∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·2＝24×2＝54. (2)等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　∵an＝192， ∴q＝＝＝＝－2， 又Sn＝＝S奇＋S偶， 即＝255＋(－126)， 解得a1＝3. (3)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　A 解析　∵a1a2…a8＝16， ∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2， ∴＋＋…＋＝＋＋＋ ＝(a1＋a8)＋(a2＋a7)＋(a3＋a6)＋(a4＋a5) ＝(a1＋a2＋…＋a8)＝2. 课时精练 1．(2023·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案　A 解析　设an＝a1qn－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24， ∴ 解得∴a3＝a1q2＝×32＝1. 2．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　) A．40 B．60 C．32 D．50 答案　B 解析　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60. 3．已知等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a4a5a6等于(　　) A．±8 B．－8 C．8 D．16 答案　C 解析　依题意，a2a3a4＝a＝1，即a3＝1， 同理a6a7a8＝a＝64，即a7＝4， 所以a3·a7＝4＝a，又等比数列奇数项符号相同，所以a5＝2， 所以a4a5a6＝a＝8. 4．(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为(　　) A．16 B．12 C．10 D．8 答案　B 解析　由题意，得{an}是以2为公比的等比数列， ∴S7＝＝1 016,127a1＝1 016，解得a1＝8， ∴log2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12. 5．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列说法正确的是(　　) A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列 B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列 C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列 D．数列是公比为的等比数列 答案　AD 解析　对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故D正确． 6．已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为(　　) A. B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由已知得数列{an}的公比满足q3＝＝， 解得q＝，∴a1＝2，a3＝，故数列{anan＋1}是首项为2，公比为＝的等比数列， ∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ ＝∈，故选C. 7．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝________，S5＋a5＝________. 答案　3　202 解析　由题意得2a1＝2，∴a1＝1.由a1＋a1q＋2a1q2＝22，得q＝3或q＝－，∵an>0，∴q＝－不符合题意，故q＝3，∴S5＋a5＝＋1×34＝202. 8．已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为 __________.(写出一个即可) 答案　an＝3n－1(答案不唯一) 解析　设等比数列{an}的公比为q，令bn＝3n－an，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2，∵{bn}是等比数列，∴b＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3，取a1＝1，则an＝3n－1.(注：a1的值可取任意非零实数)． 9．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. 解　(1)设数列{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)． (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6. 10．Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0. (1)求an及Sn； (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)由题意可得解得a1＝1，q＝3， 所以an＝3n－1，Sn＝＝. (2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列． 因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13， 所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3. 故存在常数λ＝，使得数列是等比数列． 11．(多选)在数列{an}中，n∈N*，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是(　　) A．k不可能为0 B．等差数列一定是“等差比数列” C．等比数列一定是“等差比数列” D．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案　AD 解析　对于A，k不可能为0，正确； 对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误； 对于C，当等比数列的公比q＝1时，an＋1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数列”，错误； 对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 12．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}(　　) A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 答案　A 解析　根据题意，等比数列{an}中，a1＝8，a4＝－1，则q3＝＝－，则q＝－， 则Sn＝＝＝， 若n为奇数，则Sn＝，此时有S1>S3>…>Sn>； 若n为偶数，则Sn＝，此时有S2<S4<…<Sn<， 故S1最大，S2最小． 13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________. 答案　－9 解析　{bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中，bn＝an＋1，则an＝bn－1，{an}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中．又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项， 等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24,36，－54,81， 相邻两项相除＝－，＝－，＝－，＝－， 很明显，－24,36，－54,81是{an}中连续的四项， q＝－或q＝－(|q|>1，∴此种情况应舍)， ∴q＝－，∴6q＝－9. 14．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝________，Tn＝________. 答案　　 解析　由题意得a1＝1－a1，故a1＝.当n≥2时，由得an＝－an＋an－1，则＝，故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝.由等比数列的性质可得a1a3＝a，a3a5＝a，…，a2n－1a2n＋1＝a，所以数列{a2n－1a2n＋1}是以a＝为首项，为公比的等比数列，则Tn＝a＋a＋…＋a＝＝. 15．将正整数按照如图所示方式排列： 试问2 024是表中第________行的第________个数． 答案　11　1 001 解析　由题意得第n行有2n－1个数，前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝＝1 023(个)数，前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047(个)数，故2 024在表中第11行，又表中第11行有210＝1 024(个)数，故2 024是表中第11行的第1 001个数． 16．(2023·泰安模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0,4S1＋S2＝S3. (1)求数列{an}的公比q； (2)对于∀n∈N*，不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，求实数t的最大值． 解　(1)由4S1＋S2＝S3， 得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3， 整理得4a1＝a3， 所以4a1＝a1q2. 因为a1≠0，所以q2＝4， 由题意得q>0，所以q＝2. (2)由(1)得Sn＝＝a1(2n－1)， an＝a1·2n－1， 所以＝. 所以不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，等价于＋n2＋≥6n＋t恒成立， 所以t≤＋n2－6n＋. 令f(n)＝＋n2－6n＋＝(n－3)2－. 当n＝1时，f(1)＝4－＝； 当n＝2时，f(2)＝1－＝； 当n≥3时，f(n)单调递增， 所以f(n)≥f(3)＝－. 所以t≤－， 故实数t的最大值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$