31.3 用频率估计概率（题型专练）数学冀教版九年级下册

31.3用频率估计概率 题型1 频率与概率关系 1．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 2．下列说法错误的是（    ） A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4 D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件 3．（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 题型2 求某件事件的概率 4．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 5．一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为 6．在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a (1)表中a的值等于________； (2)估算口袋中白球的个数； 题型3 由频率估计概率 7．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 8．一个不透明口袋中装有16个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球． 9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能的是（   ） A．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2 B．从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“红心” C．暗箱中有个红球和个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球 D．掷一枚硬币，正面朝上 题型4 综合应用 10．某批足球产品质量检验获得的数据如下表所示： 抽取的足球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品频数m 45 91 177 445 905 1350 1790 优等品频率 a b (1)上表中，______，______； (2)在图中画出抽到优等品的频率的折线统计图； (3)当抽取的足球数很大时，你认为抽到优等品的频率在哪个常数附近摆动？ 11．对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 12．实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 13．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 14．已知满足，则使一次函数的图象经过一、二、四象限的的概率是 ． 15．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 31.3用频率估计概率 题型1 频率与概率关系 1．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 2．下列说法错误的是（    ） A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4 D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件 【答案】C 【分析】根据调查方式的选择判定A；根据频率估计算概率判定B；根据平均与方差计算公式判定C；根据事件发生的可能性判定D． 【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，故此选项不符合题意； B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确，故此选项不符合题意； C、一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是2，原说法错误，故此选项符合题意； D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查抽样调查与普查，频率估计算概率，平均数与方差，事件分类，熟练掌握调查方式的选择原则，用频率估计算概率，平均数与方差的计算公式，根据事件发生的可能性对事伯分类是解题的关键． 3．（1）【综合实践】在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，学习小组做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了150次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 19 28 27 32 21 x 表格中的数据______； （2）【数学发现】学习小组针对数学试验的结果得出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识可知，出现‘5点朝上’的概率是．”你认为学习小组的结论正确吗？并说明理由． （3）【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐在0.4左右摆动．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【答案】（1）23；（2）不正确，理由见解析；（3）60个 【分析】（1）直接加减运算即可； （2）根据概率的定义，判断即可； （3）根据频率估计概率，直接列方程求解即可． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：23； （2）数学学习小组的结论不正确，因为5点朝上的频率为，不能说明5点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率； （3）设盒子中大约有白球x个，根据题意得：， 解得：，经检验是原方程的解， 答：估计盒子中大约有白球60个． 【点睛】此题考查频率与概率，解题关键是理解用频率估计概率，前提是需要实验的次数足够多才行． 题型2 求某件事件的概率 4．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 5．一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为 【答案】/ 【分析】本题考查了随机事件的频率和为1，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，第四组频率为， 故答案为： ． 6．在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a (1)表中a的值等于________； (2)估算口袋中白球的个数； 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查利用频率估算概率，由表格数据得出摸到黑球的概率是0.25，再根据概率公式列出方程是解题的关键． （1）根据频率的计算公式代数求解即可； （2）观察表中数据，可知通过无数次试验，黑球的频率将稳定在0.25，即摸到黑球的概率为0.25，据此可求出白球的个数． 【详解】（1）根据题意得，； （2）根据题意得，黑球的频率将稳定在0.25， ∴估计摸到黑球的概率为0.25， ∴求的总个数为（个） ∴白球的个数为（个）． 题型3 由频率估计概率 7．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【答案】(1) (2) (3)③④ 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）由表中的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：根据题意得：（个）， 故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． 8．一个不透明口袋中装有16个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．设口袋中有16个白球和x个黑球，利用摸到黑球的频率稳定在0.6列出方程，求解即可． 【详解】解：设口袋中有16个白球和x个黑球， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 估计口袋中大约有24个黑球． 故答案为：24． 9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能的是（   ） A．掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2 B．从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“红心” C．暗箱中有个红球和个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球 D．掷一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【分析】此题考查了用频率估计概率，由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在，即左右，计算各项的概率即可得到正确答案，掌握用频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在，即左右， 、掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是的概率为，不符合题意； 、从一副扑克牌中任意抽取张，这张牌是“红心”的概率为，不符合题意； 、暗箱中有个红球和个黄球，这些球除了颜色外无其它差别，从中任取一球是红球的概率为，符合题意； 、掷一枚硬币，正面朝上的概率为，不符合题意； 故选：． 题型4 综合应用 10．某批足球产品质量检验获得的数据如下表所示： 抽取的足球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品频数m 45 91 177 445 905 1350 1790 优等品频率 a b (1)上表中，______，______； (2)在图中画出抽到优等品的频率的折线统计图； (3)当抽取的足球数很大时，你认为抽到优等品的频率在哪个常数附近摆动？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)“抽到优等品”的频率在附近摆动． 【分析】本题主要考查了频率的计算、画折线统计图、用频率估计概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据“频率=频数÷总数”计算即可； （2）观察可知，折线统计图的横轴表示抽取总球数，纵轴表示优等品频率，利用表格中的数据描点、连线即可解答； （3）随着试验次数的增加，一个随机事件发生的频率总在这个事件发生的概率附近波动，结合优等品频率的波动范围即可解答． 【详解】（1）解：，． 故答案为：，． （2）解：画出抽到优等品的频率的折线统计图如下： （3）解：当抽到的足球数很大时，我认为“抽到优等品”的频率在附近摆动． 11．对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 【答案】(1)， ； (2)； (3)分． 【分析】本题主要考查了用频率估计概率．从表中可以看出：随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是． 根据表中的数据分别求出投篮次、次相应的命中率即可； 用频率估计概率．随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是； 由可知这个运动员分球投篮命中的概率大约是，估计投篮次命中次，共得分． 【详解】（1）解：投篮次的命中率为， 投篮次的命中率为； 故答案为：，； （2）解：这个运动员投篮命中的概率约是， 故答案为：； （3）解：估计这个运动员分球投篮次能得：分， 答：估计这个运动员分球投篮次能得分． 12．实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了频率估计概率及其综合应用，理解频率和概率的定义是解题关键． （1）根据石子落在草地内的次数占投掷石子总次数比，即可估计石子落在草地内的概率； （2）根据概率公式估算出草地面积即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着投掷次数的增多，石子落在草地内的频率稳定在左右，所以石子落在草地内的概率大约是． 故答案为：． （2）解：∵长方形的面积为，石子落在草地内的概率大约是， ∴草地的面积大约为：． 13．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 14．已知满足，则使一次函数的图象经过一、二、四象限的的概率是 ． 【答案】． 【分析】根据的值不是1就是－1，得出有6个是负数，2006个是正数，再根据一次函数经过一、二、四象限得出一次项系数小于0，即可求出概率． 【详解】解：∵的值不是1就是－1， 且满足， ∴，，， ∴有6个是负数，2006个是正数， ∵时直线的图象经过一、二、四象限， ∴使直线的图象经过一、二、四象限的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握绝对值的性质，一次函数的图象和性质，以及概率的求解方法． 15．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案． 【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$