精品解析：云南省保山市昌宁县第二中2024-2025学年学高二上学期12月月考数学试卷

昌宁县第二中学高二年级2024年秋季学期12月份月考 数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 难度系数：0.35-0.45 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将集合中表达式化为，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定的包含关系． 【详解】根据已知得，，所以， 故选:． 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 3. 已知正项等比数列的首项，前项和为，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由成等差数列，可得，即，然后解出公比即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为成等差数列， 所以， 所以， 所以，又， 故， 解得或， 因为，所以， 所以. 故选：A． 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为直线和直线， 若，则，解得或， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 5. 如图，在四面体中，为棱的中点，点分别满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点，， 所以 . 故选：D 6. 过点的直线l被圆截得的弦长最短，则直线l的斜率是（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质得到过点与圆心垂直时，此时弦长最短，求得，即可求得直线的斜率. 【详解】由圆，可得圆心坐标为， 根据圆的性质，可得当过点与圆心垂直时，此时弦长最短， 因为，所以直线的斜率为. 故选：D. 7. 已知是定义在上的偶函数，在上单调递增，，那么的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性分两种情况，解不等式，求出答案. 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递增且， 所以在上单调递减，且，解，不合题意； 所以当或时，；当时，， 因为，所以或， 所以或，解得或， 则不等式的解集是． 故选：C． 8. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率. 【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程求解焦点坐标判断A，利用焦半径公式求得判断B，利用距离公式求解判断C，利用面积公式求解判断D． 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义，可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C错误； 由，所以D正确， 故选：BD 10. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断． 【详解】因为正实数满足，对于选项A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于选项C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：ACD． 11. 如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据面面平行的判定定理证得平面平面，然后利用面面平行的性质定理即可判断A；利用等体积法求解体积判断B；利用补体法求出球的半径，进行表面积计算判断C；利用空间向量先表示出直线与平面所成角的正弦值，进而求得最大值，即可判断D. 【详解】连结，如图， 对于A，因为，所以四边形为平行四边形， 所以平面平面，故平面， 同理得平面，平面，故平面， 又因为平面，平面， 所以平面平面平面，从而直线平面，故A正确； 对于B，由A知，平面平面点在平面内， 所以，故B正确； 对于C，三棱锥外接球即为正四棱柱的外接球， 半径， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对于D，以为坐标原点， 分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，则， 设，则，即，， 可得面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 故时，取最小值，有最大值为，故D错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______． 【答案】##0.28 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由，得 . 故答案为： 13. 数列的前项和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消求和即可. 【详解】由题意，， 则 故答案为： 14. 圆与的位置关系为______；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为______． 【答案】 ①. 内含 ②. 【解析】 【分析】先利用圆心距与两半径之差的比较得到两圆位置关系；再利用两圆内切推得，从而利用椭圆的定义即可得解． 【详解】如图，依题意，圆心，半径，圆心，半径，所以，则两圆内含； 设动圆的圆心，半径为，则， 依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中， 又，所以的轨迹方程为． 故答案为：内含；． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100名学生的平均成绩； （2）若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差． 【答案】（1）69.5分 （2）平均数80，方差112 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接求平均数即可； （2）利用平均数和方差公式直接计算求解即可. 【小问1详解】 由图表可知，这100名学生的平均成绩为分 【小问2详解】 在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26， 区间的学生频率为， 在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106， 区间的学生频率为， 所以在内的所有学生测试成绩的平均数为， 方差为 16. 在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面ABE， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 又因为，所以两两互相垂直， 以B为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，，可得， 则，，，，， 所以，， 所以直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为， 则， 不妨取，则，，， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线AE与平面AFC所成角的正弦值为． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再根据余弦定理求解； （2）由已知条件结合（1）求得，根据三角形面积公式得解. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得， 由余弦定理得，而， 所以． 【小问2详解】 由（Ⅰ）知，而，， 即有，而，解得， 所以的面积为． 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，两式相减，结合等比数列的通项公式求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 当时，由，得； 当时，因为，所以， 则，可得． 故是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 ，则， 两边都乘以，得， 以上两个式子相减， 可得：， 故． 19. 已知双曲线的离心率为2，左顶点为，过右焦点的直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的方程； （2）从下面两个结论中选择一个给出证明（多选则按照第一个给分）. ①；②若线段的垂直平分线交轴于点，则为定值. 【答案】（1）； （2）选①：证明如下： 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 代入，可得，不妨设, 又，则, 所以， 所以. （ii）若直线的斜率不存在，设直线的方程为， 联立,可得, 化简可得. 因为过右焦点的直线交双曲线于两点, 所以，且. 设，则， ， 则 ， 所以. 综上所述，. 选②：为定值，证明如下： 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 设， 由①可得， 则 . ， 所以的中点的坐标为. 当时，线段的垂直平分线为，则, 则, 则. 当时，线段的垂直平分线为. 令，可得，即. 则, 所以. 综上所述，为定值1. AI 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合即可求解； （2）选①：分直线的斜率不存在与斜率存在讨论，根据即可证明；选②：易知直线的斜率存在，设直线的方程为，根据弦长公式求，求线段的垂直平分线可求的坐标及，从而进而证明. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为2，右焦点为， 则，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 若选①：证明略 （ii）为定值1，证明略. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌宁县第二中学高二年级2024年秋季学期12月份月考 数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 难度系数：0.35-0.45 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知正项等比数列的首项，前项和为，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在四面体中，为棱的中点，点分别满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 过点的直线l被圆截得的弦长最短，则直线l的斜率是（ ） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 7. 已知是定义在上的偶函数，在上单调递增，，那么的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 10. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 11. 如图，在正四棱柱中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______． 13. 数列的前项和，若，则______. 14. 圆与的位置关系为______；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计这100名学生的平均成绩； （2）若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差． 16. 在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小； （2）若，，求的面积． 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 已知双曲线的离心率为2，左顶点为，过右焦点的直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的方程； （2）从下面两个结论中选择一个给出证明（多选则按照第一个给分）. ①；②若线段的垂直平分线交轴于点，则为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $