专题9.15 正方形（专项练习）（基础夯实）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.15 正方形（专项练习）（基础夯实） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）正方形具有而矩形没有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．（2024九年级上·全国·专题练习）在正方形中，点E在对角线上，且，延长交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河北张家口·一模）如图，正方形Ⅰ的边长为a，面积为12；正方形Ⅱ的边长为b，面积为27．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 4．（19-20七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下面各图中，所有大正方形边长是，所有小正方形边长是.下面各图中阴影部分面积最大的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在正方形ABCD中，点P，为正方形内的两点，且，，，则为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，正方形的顶点在正方形的边上，连接，且，，正方形的对角线交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 9．（2024·河南安阳·二模）将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，将折叠，得到．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点落在直线上，折痕交于点E．已知点，当四边形是正方形时，点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点C的坐标是，A为坐标原点，轴于B，轴于D，点E是线段的中点，过点A的直线交线段于点F，连接EF，若平分，则k的值为（    ） A．1 B．3或2 C．1或3 D．1或 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）正方形的一条对角线长为3，则这个正方形的面积是 ． 12．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，E为正方形外一点，，则 ． 13．（17-18七年级下·全国·单元测试）如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为 ． 14．（22-23八年级下·山东济南·期末）“方胜纹”是由两个正方形互相压角穿插，相叠而成的纹样，寓意同心同德、同舟共济．如图，将正方形沿对角线方向平移到正方形，形成一个“方胜纹”图案，若，，则正方形的边长为 ．    15．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，四边形是正方形，E、F分别在边上，将分别沿折叠后，重合于的位置，且点G恰好在连线上．若正方形边长为12，线段长为10，则的长为 ． 16．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为，为的中点，是对角线上一动点，连接、，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是 ． 17．（23-24八年级下·山东淄博·期末）给定一正方形，其边长等于a，正方形两组相对的顶点是两个全等菱形的顶点．如果每个菱形的面积等于正方形面积的一半，则两菱形公共部分的面积为 ． 18．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直角坐标系中，正方形的顶点A与原点O重合，点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，在边的上侧作等腰三角形，使，连接AE，过点D作的垂线，垂足为G，交的延长线于点F，连接．若点D的坐标为，的长度为2，则点E的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知四边形是正方形，点E、F分别在、上，与相交于点G，且．  （1）求证：； （2）如果正方形的边长为5，，点H为的中点，连接．求的长． 20．（本小题满分8分）（21-22八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若AB=AD，求∠ADE的度数． 21．（本小题满分10分）（21-22九年级上·福建莆田·期末）如图，点P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上． （1）求点P的坐标． （2）当∠APB绕点P旋转时， ①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． ②请求出OA2+OB2的最小值． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，是边的中点，过点 作直线，交的角平分线于点E，交的外角的角平分线于点，连接． （1）求证：四边形为矩形． （2）请添加一个条件，使四边形为正方形，直接写出该条件． 23．（本小题满分10分）（21-22八年级下·山东烟台·期中）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，与相交点，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（22-23八年级下·四川广安·期末）在正方形中，过点引射线，交边于点不与点重合）．通过翻折，使点落在射线上的点处，折痕交于，连接、且延长交于． 【感知】如图2，当点为边上任意一点时（点与点不重合）．连接，可得与的大小关系是 ； 【探究】如图1，当点与点重合时，证明是等腰直角三角形． 【应用】①在图2，当，时，利用探究的结论，求CF的长； ②在图1中，当，是否存在的面积等于0.5，如存在，求出的长；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B C C D A C C 1．D 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质和矩形对角线平分相等性质的比较就可以判断． 解：根据题意得：正方形对角线相互垂直平分相等，矩形对角线平分相等性质， ∴正方形具有而矩形没有的性质是对角线互相垂直． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，易得为等腰三角形，等边对等角，求出的度数，对顶角得到的度数，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可． 解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 3．A 【分析】首先根据正方形的性质，可得，，再根据二次根式的混合运算，进行运算，即可求解． 解：解析：由题意知，，， 故选：A． 【点拨】本题考查了正方形的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握和运用二次根式的混合运算是解决本题的关键． 4．B 【分析】大正方形的边长为4，小正方形的边长为3，根据：三角形的面积=底×高÷2，平行四边形的面积=底×高，分别求出四个选项中阴影部分的面积，然后进行比较即可． 解：大正方形的边长为4，小正方形的边长为3，则： A、阴影部分的面积为：3×4=12； B、阴影部分的面积为：4×（3+4）÷2=14； C、阴影部分的面积为：3×（3+4）÷2=10.5； D、阴影部分的面积为：4×4÷2+3×3÷2=12.5； B图形的阴影面积最大. 故选B． 【点拨】此题主要考查平行四边形、三角形的面积公式的计算应用，关键是明确阴影部分平行四边形的底和高，三角形的底与高的值． 5．C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，首先根据正方形的性质可得；结合已知条件，可知和中三组边对应相等，据此证明这两个三角形全等，根据全等三角形的性质易得；接下来利用证明，进而得出，至此不难得出结果． 解：连接． 四边形是正方形， ，． ，，， ， ． ， ． 又，， ， ． 故选：C． 6．C 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是5． 故选：C． 【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键． 7．D 【分析】由，可得正方形的边长为4，在中，根据勾股定理可得斜边，已知长度，进而可得的长度． 解：， ， 四边形为正方形， ， 在中,， . 【点拨】本题考查了正方形的性质和勾股定理，熟练掌握几何图形的性质和应用勾股定理是解题关键. 8．A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 解：解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 9．C 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据正方形的性质和等腰三角形的性质可得，再由正方形的性质求解即可； 解：由题意可得，当四边形是正方形时，， ∴， 由折叠的性质，可得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 故选C； 10．C 【分析】本题综合考查了正方形的判定与性质、一次函数的解析式求解、全等三角形的综合问题、勾股定理等知识点，根据题意可得四边形是正方形．分类讨论当点与点重合和当点不与点重合的情况即可． 解：由题意得：，， ∴四边形是正方形， ∴， 如图所示：作， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将代入得：， ∴； 当点与点重合时，满足平分， 此时， 将代入得：， ∴； 故选：C． 11． 【分析】本题考查了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．正方形边长相等设为，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积． 解：设边长为， ∵对角线为3， ∴ ， ∴这个正方形的面积是． 故答案为：． 12．/45度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质，可得，再根据正方形的性质，可得，，从而得到，即可求解． 解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 13．4 【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互补关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，推出DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4． 解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F， ∵∠ABC=90°，DE⊥AB， ∴四边形DEBF为矩形， ∵∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠FCD+∠BCD=180°， ∴∠A=∠FCD， 又∠AED=∠F=90°，AD=DC， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴DE=DF， ∴四边形DEBF为正方形， S四边形ABCD=S正方形DEBF=16， ∴DE=4． 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、正方形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14． 【分析】由图可知，根据正方形的性质和特点可以求出边长． 解：∵是正方形，其中，， ∴， ∴， 故答案为：. 【点拨】本题考查了正方形的性质，题目较为新颖，是常考的知识点． 15．6或8/8或6 【分析】由折叠的性质可得，再根据已知条件推出，设，则，在中，由勾股定理得：，即，据此求解即可． 解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形且边长为12， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得或， ∴的长为6或8， 故答案为：6或8． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，推出是解题的关键． 16． 解：如图，连接交于点， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴ ∵点和关于对称， 当与重合时，的最小值即为的长， 在中，根据勾股定理，得 ． 的最小值为 故答案为． 17． 【分析】本题考查了正方形和菱形的性质的应用，三角形的面积之间的关系是解题关键． 利用平行证出与的比、与的比，从而求出与的比，求出与的面积之比，与的面积的比即阴影面积与正方形的面积的比，根据正方形的面积即可求出答案． 解：连接，得、、在同一直线上，，且点为中点， ， 由题得，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ，， ， 两菱形公共部分的面积为． 故答案为：． 18． 【分析】利用点D的坐标得到正方形的边长，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理得到为等腰直角三角形，连接，过点E作于点H，利用正方形的性质和勾股定理求得线段的长度，设则，利用股定理得到关于的方程，解方程求得x值，再利用点的坐标的特征解答即可． 解：点D的坐标为， ∴， 由题意得：， ∵ ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 连接，过点E作于点H，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴E点的纵坐标为：， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，勾股定理，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 19．（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识， （1）根据正方形的四条边都相等可得，然后利用“斜边直角边”证明，从而得到，进一步得到，即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 解：（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，点H为的中点， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵在中，， 根据勾股定理，得：， ∴． 20．（1）见分析；（2）135° 【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形； （2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解． 解：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 【点拨】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键． 21．（1）P（2，2）；（2）①不变，定值为4；②OA2+OB2的最小值为8． 【分析】（1）根据在第一象限的角平分线OC上的点的横坐标与纵坐标相等，构建方程求出m即可． （2）①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．证明四边形OMPN是正方形，再证明△PMB≌△PNA（ASA），推出BM=AN，可得结论； ②根据垂线段最短原理以及勾股定理即可求解． 解：（1）解：∵点P （3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上， ∴3m-1=-2m+4， ∴m=1， ∴P（2，2）； （2）①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N． ∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°， ∴四边形OMPN是矩形， ∵OP平分∠MON，PM⊥OM，PN⊥ON， ∴PM=PN， ∴四边形OMPN是正方形， ∵P（2，2）， ∴PM=PN=OM=ON=2， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠MPN=90°， ∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+∠NPA=90°， ∴∠MPB=∠NPA， 在△PMB和△PNA中， ， ∴△PMB≌△PNA（ASA）， ∴BM=AN， ∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4． ②连接AB， ∵∠AOB=90°， ∴OA2+OB2=AB2． ∵∠BPA=90°， ∴AB2=PA2+PB2=2PA2， ∴OA2+OB2=2PA2， 当PA最小时，OA2+OB2也最小． 根据垂线段最短原理，PA最小值为2． ∴OA2+OB2的最小值为8． 【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 22．（1）证明过程见详解；（2），或（答案不唯一） 【分析】（1）根据角平分线可得，可证，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可得是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，由此即可求证； （2）根据正方形的判定方法“有一组邻边相等的矩形是正方形”，“对角线相互垂直的平行四边形是正方形”即可求解． 解：（1）证明：已知平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知四边形是矩形， ∴根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，“对角线相互垂直的平行四边形是正方形”得，添加条件为：，或（答案不唯一）， 添加条件为：， ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形； 添加条件：， ∵， ∴， ∵， ∴，即，且四边形是矩形， ∴矩形是正方形； 综上所述，添加条件为：：，或（答案不唯一）． 【点拨】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的证明，正方形的判定和性质的综合，掌握矩形判定和性质，正方形的判定和性质是解题的关键． 23．（1）见分析；（2）是定值为1 【分析】（1）过点分别作，垂足分别为点，由题意易得，则有四边形为矩形，然后可得四边形为正方形，进而可证，最后问题可求证； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据等积法可进行求解． 解：（1）证明：如图，过点分别作，垂足分别为点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：四边形的面积为定值，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，     所以，四边形的面积为定值1． 【点拨】本题主要考查正方形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 24．[感知]：；[探究]：见详解；[应用]：①；②不存在的面积等于0.5 【分析】[感知]由折叠和正方形的性质得到结论判断出即可； [探究]同（1）的方法判断出即可． [应用]①在中，利用勾股定理得到，，求出，即可； ②由的面积为建立求解即可． 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，用勾股定理求出是解本题的关键． 解：感知]：如图②，连接， 四边形是正方形， ，， 由折叠得，，， 在和， ， ， ， 故答案为：； [探究]：连接， ②，， 是正方形的对角线， ， 在和中 ． ， ， 是等腰直角三角形， [应用]：①设，则，， 在中，， 即 解得，即的长为． ②不存在的面积等于0.5， 理由：由折叠性质可得 设，则， 的面积为 整理得， 解得，（舍去）， ，此时， 而，，，不能构成三角形，所以不存在， 故当，不存在的面积等于0.5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$