专题9.14 正方形（5大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.14 正方形（5大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 【要点说明】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【知识点二】正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【要点说明】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【知识点三】正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【知识点四】特殊平行四边形之间的关系 【知识点五】顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【要点说明】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解......................................................2 【题型2】根据正方形的性质求角度..............................................3 【题型3】根据正方形的性质求线段长............................................4 【题型4】根据正方形的性质求面积..............................................5 【题型5】求正方形重孴部分面积................................................5 【题型6】根据正方形的性质证明................................................6 【知识点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解................................................7 【题型8】添一个条件使四边形是正方形..........................................8 【题型9】证明四边形是正方形..................................................9 【知识点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度......................................10 【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长....................................10 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积......................................11 【题型13】根据正方形的性质与判定证明........................................12 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考...........................................................13 【题型15】拓展延伸...........................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【知识点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）下列命题错误的是（   ） A．正方形的对角线互相垂直 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的四条边相等 【变式2】（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，菱形与正方形的顶点，，，在同一条直线上，且，． （1）的度数为 （2）点与点之间的距离为 ． 【题型2】根据正方形的性质求角度 【例2】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在正方形中，点E、F分别是对角线、上的点，连接、、，若，且．，则的度数为 ． 【变式1】（24-25九年级上·重庆合川·阶段练习）如图，在正方形中，点是的中点，点在上，连接，．若，，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则 ． 【题型3】根据正方形的性质求线段长 ★【例3】（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． （1）求线段的长； （2）线段的长． ★【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，长为半径作圆，交延长线于点，过点作，交延长线于点，得到矩形，则（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（2025·贵州·模拟预测）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 【题型4】根据正方形的性质求面积 ★【例4】（22-23八年级下·福建龙岩·期末）已知边长为4的正方形和．  （1）以为一个内角作菱形，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设正方形的面积为，菱形的面积为，求的值． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ． 【题型5】求正方形重孴部分面积 ★【例5】（20-21八年级下·四川达州·期末）一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 6．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在正方形的内部作等边，连接，对角线交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【变式1】（2023九年级上·山东·专题练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 【变式2】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型6】根据正方形的性质证明 ★【例6】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． ★【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为10，，连接．则线段的长（　　） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点且，与交于点，则线段长的最小值为 ． 【知识点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解 【例7】（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．有两边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且平分的四边形是正方形 【变式1】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当，是矩形 B．当，是矩形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 【变式2】（22-23八年级下·上海虹口·期末）以下说法中正确的是 （填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 ★【题型8】添一个条件使四边形是正方形 【例8】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． （1）试探究，四边形是什么特殊的四边形； （2）当 时，四边形是正方形（不证明） ★【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【变式2】（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 【题型9】证明四边形是正方形 ★【例9】（24-25九年级上·广东深圳·期中）在矩形中，，，是直线上一动点，连接． （1）如图，当点在边上，且时，求的长度； （2）连接，过点分别作，，与交于点，连接．当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式1】（2024·山东菏泽·一模）将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 时，这个菱形就是正方形． 【变式2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ）   A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【知识点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（21-22八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若AB=AD，求∠ADE的度数． 【变式1】（19-20八年级下·山东东营·期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 ★【变式2】（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．    【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长 ★【例11】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为，射线与x轴正半轴交于点A、射线与y轴正半轴交于点B．若，则的周长是否会发生变化?若不变，求出的周长；若变化，请说明理由． ★【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（   ） A． B． C．2 D．1 ★【变式2】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的长为 ． 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积 ★【例12】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求四边形的面积． ★【变式1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·陕西汉中·二模）如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为 ． 【题型13】根据正方形的性质与判定证明 【例13】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． ★【变式1】（2023·四川达州·模拟预测）如图，在四边形中，，，已知四边形的面积为9，，则长为（    ） A．5 B．4 C． D．3 ★【变式2】（2024·吉林长春·一模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 【例1】（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． ★【例2】（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 【题型15】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． ★★【例2】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P是边长为4的正方形的边上任意一点，过B点作于点G，过C点作于点E，连接． （1）如图1，若点P是的中点，求的长； （2）如图2，当点P在边上运动时（不与B、C重合），求证：； （3）当__________时，是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.14 正方形（5大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 【要点说明】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【知识点二】正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【要点说明】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【知识点三】正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【知识点四】特殊平行四边形之间的关系 【知识点五】顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【要点说明】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解......................................................2 【题型2】根据正方形的性质求角度..............................................4 【题型3】根据正方形的性质求线段长............................................8 【题型4】根据正方形的性质求面积.............................................11 【题型5】求正方形重孴部分面积...............................................13 【题型6】根据正方形的性质证明...............................................18 【知识点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解...............................................22 【题型8】添一个条件使四边形是正方形.........................................24 【题型9】证明四边形是正方形.................................................27 【知识点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度......................................29 【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长....................................33 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积......................................37 【题型13】根据正方形的性质与判定证明........................................40 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考..........................................................43 【题型15】拓展延伸..........................................................46 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【知识点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论． 解：A、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故A选项符合题意； B、正方形和矩形的对角都互补，故B选项不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C选项不符合题意； D、正方形和矩形的对角线都相等，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）下列命题错误的是（   ） A．正方形的对角线互相垂直 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．菱形的四条边相等 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质定理，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 解：A、正方形的对角线互相垂直，正确，不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，符合题意； D、菱形的四条边相等，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，菱形与正方形的顶点，，，在同一条直线上，且，． （1）的度数为 （2）点与点之间的距离为 ． 【答案】（1）/15度；（2） 4. 【分析】（1）连接，交于点O，根据题意可得，即可求出的大小； （2）由菱形的性质可得，结合即可得到是等边三角形，即可求出的长，再由正方形的性质得到． 解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，    故答案为：． （2）∵四边形是菱形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：4． 【点拨】本题考查菱形的性质和正方形的性质，熟练掌握菱形的性质和正方形的性质是解题关键， 【题型2】根据正方形的性质求角度 【例2】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在正方形中，点E、F分别是对角线、上的点，连接、、，若，且．，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质． 根据正方形的性质和，证明得到，从而得到，根据即可得到答案． 解：如图所示：    四边形是正方形，对角线为、相交于点， ， ， ，，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·重庆合川·阶段练习）如图，在正方形中，点是的中点，点在上，连接，．若，，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长、交于点，证明，根据全等三角形的判定和性质得出，确定，再由各角之间的关系即可得出结果． 解：延长、交于点，如图所示： 四边形是正方形， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型3】根据正方形的性质求线段长 ★【例3】（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． （1）求线段的长； （2）线段的长． 【答案】（1）16 ；（2）6 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理： （1）根据正方形的性质可得，据此可解； （2）由折叠的性质得，利用勾股定理解即可． 解：（1）解：正方形中，，， ， ； （2）解： 由（1）知， 点Q为的中点， ， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为6． ★【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，长为半径作圆，交延长线于点，过点作，交延长线于点，得到矩形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，分母有理化，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据正方形的性质可得，，根据线段中点的定义求出，设，则，根据勾股定理求出，代入数值即可求解． 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， 设，则， ∴， 由题意知， ∴， ∴， 故选：B． ★【变式2】（2025·贵州·模拟预测）如图，正方形，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长、相交于H，先证明，得到，从而得到，再证明，得到，从而得到，即可由直角三角形的性质得出，即可求解． 解：延长、相交于H，如图， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型4】根据正方形的性质求面积 ★【例4】（22-23八年级下·福建龙岩·期末）已知边长为4的正方形和．  （1）以为一个内角作菱形，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设正方形的面积为，菱形的面积为，求的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）以点O为圆心，以正方形边长为半径画弧，交点为N、P，再分别以点N、P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点M，则四边形即为所求； （2）分别求出正方形，菱形的面积即可解决问题． 解：（1）解：如图，菱形即为所求，    以点O为圆心，以正方形边长为半径画弧，交点为N、P，再分别以点N、P为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点M，则四边形即为所求； （2）解：过点N作于H，如图，      ∵ ∴ 正方形的面积为， 在中， ∵， ∴， ∴菱形的面积， ∴． 【点拨】本题考查作图一复杂作图，菱形的判定和性质, 正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意, 灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．延长，过点作直线的垂线，垂足为，证明，推出，求得，利用三角形面积公式即可求解． 解：如图，延长，过点作直线的垂线，垂足为， 四边形是正方形， ，， ， ，， ∴，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【题型5】求正方形重孴部分面积 ★【例5】（20-21八年级下·四川达州·期末）一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 【答案】（1），（2），（3），验证见分析． 【分析】（1）如图（1）中，由题目已知条件可得,，根据勾股定理即可得到的值，再根据是的中点，得出，即可求出重叠部分的面积； （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形，边长为，面积为； （3）如图（3）中，过点M作、的垂线、，垂足为、，求得≌，则阴影部分的面积等于正方形的面积． 解：（1）如图（1）中， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴=， ∵， ∴， ∴重叠部分的面积为： （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形， ∴边长为：， ∴面积为： （3）如图（4），过点分别作，的垂线、，垂足分别为、， ∵是斜边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于正方形的面积， ∵正方形的面积是， ∴阴影部分的面积是． 【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 6．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在正方形的内部作等边，连接，对角线交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，进而证明，接着证明，则； （2）证明，由，求出，则． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 【变式1】（2023九年级上·山东·专题练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的． 根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 解：如图， 正方形和正方形的边长都是， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是， 故答案为：1． 【变式2】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 【题型6】根据正方形的性质证明 ★【例6】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、折叠的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，注意分类讨论．分两种情况：当点落在图①的位置时，当点落在图②的位置时，分别画出图形，求出结果即可． 解：∵点P在射线上运动，故分两种情况； 当点落在图①的位置时， 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 当点落在图②的位置时 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 故答案为：或． ★【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为10，，连接．则线段的长（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，根据正方形的性质证明，求出，，再证明，求出，，由勾股定理可得的长． 解：如图，延长交于点， ，，， ，， 和是直角三角形， 在和中，， ， ，，， ，， ，， ，， 在和中，， ， ，，， ， 同理可得， 在中，， 故选：C． 【点拨】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证明三角形全等得出，是解题的关键． ★【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点且，与交于点，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 解：取的中点，连接，，如图： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 根据两点之间线段最短知，、、三点共线时，线段的值最小，最小值为； 线段长的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 【知识点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解 【例7】（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列命题中，真命题是（   ） A．有两边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且平分的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可． 解：有两边相等的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B是假命题，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是真命题，符合题意； 对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故D是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当，是矩形 B．当，是矩形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 解：四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 【变式2】（22-23八年级下·上海虹口·期末）以下说法中正确的是 （填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 【答案】⑥ 【分析】根据平行四边形，矩形，正方形和菱形的判定方法进行判断． 解：①一组对边平行、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ②一组对边相等，一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ③两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，更不是矩形，故此说法不符合题意； ④对角线相等且相互垂直平分的四边形为正方形，故此说法不符合题意； ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，故此说法不符合题意； ⑥一组对边平行且相等，且有一个角为直角的四边形是矩形，正确，故此说法不符合题意； 故答案为：⑥． 【点拨】本题综合考查了对平行四边形及特殊平行四边形判定的运用，综合性较强．熟悉四边形及特殊四边形的判定方法是关键． ★【题型8】添一个条件使四边形是正方形 【例8】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，已知：在四边形中，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． （1）试探究，四边形是什么特殊的四边形； （2）当 时，四边形是正方形（不证明） 【答案】（1）四边形是菱形；（2）当时，菱形是正方形 【分析】本题利用了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有，根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当时，，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，． 解：（1）解：四边形是菱形． 证明：∵的垂直平分线为， ， ， ， ， ， ， 又， ， ∴四边形是菱形． （2）解：当时，菱形是正方形． 证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴菱形是正方形． ★【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定是解题的关键．根据矩形、菱形和正方形的判定，对选项逐一分析判断即可． 解：若，则四边形是矩形，不一定是正方形，故A选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故B选项正确，符合题意； 若，则四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； 若，则四边形是菱形，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 【答案】③ 【难度】0.85 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 【题型9】证明四边形是正方形 ★【例9】（24-25九年级上·广东深圳·期中）在矩形中，，，是直线上一动点，连接． （1）如图，当点在边上，且时，求的长度； （2）连接，过点分别作，，与交于点，连接．当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）四边形是正方形；见分析 【分析】（1）先求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）先证明四边形是平行四边形得到；当时，推出，则四边形是菱形．再证明四边形是矩形，则，然后根据等腰三角形的性质证得，，则，进而可得结论． 解：（1）解：∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴．， 在中，根据勾股定理可得； （2）解：四边形是正方形； 理由：如图，设与交于点O， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，则，即， ∴四边形是菱形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 同理可得， ∴， ∴菱形是正方形； 【点拨】本题考查了正方形的判定、平行四边形、矩形和菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答的关键． 【变式1】（2024·山东菏泽·一模）将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为 时，这个菱形就是正方形． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案． 解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 【变式2】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ）   A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，解题的关键是掌握邻边相等的矩形是正方形；由矩形的性质可得，由折叠可知，， ，即可证明四边形是正方形． 解：四边形是矩形， ， 由折叠可知，， ， ∴四边形是正方形， 故选：． 【知识点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（21-22八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若AB=AD，求∠ADE的度数． 【答案】（1）见分析；（2）135° 【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形； （2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解． 解：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 【点拨】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键． 【变式1】（19-20八年级下·山东东营·期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点拨】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． ★【变式2】（23-24九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．    【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形与正方形是解题的关键．过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，现证明，从而证明四边形为正方形，利用正方形的性质即可得出结论． 解：过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，如图，    ∵矩形 ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 在与 ∴ ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长 ★【例11】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为，射线与x轴正半轴交于点A、射线与y轴正半轴交于点B．若，则的周长是否会发生变化?若不变，求出的周长；若变化，请说明理由． 【答案】不变，周长为10 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，作垂直x轴于点C，轴于点D，在x轴上截取，连接，，证明四边形为正方形，得出，，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案． 解：的周长不发生变化；且的周长为10． 作垂直x轴于点C，轴于点D，在x轴上截取，连接，，如图所示： ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ． ★【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】过点A作于，过点作于，交的延长线于，先证四边形为矩形，再证，进而得矩形为正方形，然后证和均为等腰直角三角形，进而可得，最后再由勾股定理求出即可． 解：如图，过点A作于，过点作于，交的延长线于，则， ， ∵， ， 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 矩形是正方形， ，， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， ． 故选：A． 【点拨】此题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，矩形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形三角形是解决问题的关键． ★【变式2】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，由勾股定理求出．再证明四边形是正方形，可得，再证明，可得，再求解即可． 解：如图，过点作， ，， ， ，， 四边形是矩形， 平分，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积 ★【例12】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）72 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）先证明四边形是正方形，再根据得到正方形的边长，最后求面积即可． 解：（1）证明： ，， 四边形是平行四边形． 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：，四边形是菱形， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积为∶． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，勾股定理，角平分线的定义，正方形的面积公式，解题的关键是熟记各种四边形的判定方法． ★【变式1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点作于，由正方形的性质可得，，即可得四边形是矩形，进而得到四边形是正方形，得到，再利用勾股定理求出可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 【变式2】（2024·陕西汉中·二模）如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查正方形的判定，正多边形的性质，多边形内角和定理．正确判定出中间空白四边形为正方形是解题的关键． 先根据正八边形边长为2得出中间空白四边形的边长为2，再根据多边形内角和与正多边形的性质，得出中间空白四边形的每个内角为 解：∵正八边形的边长为2， ∴中间空白四边形的边长为2， ∵中间空白四边形的每个内角为：， ∴中间空白四边形为正方形， ∴中间空白四边形的面积为， 故答案为：4． 【题型13】根据正方形的性质与判定证明 【例13】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）正方形；理由见分析；（2）1 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，由此即可得出结论； （2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长． 解：（1）解：四边形为正方形．理由如下： 四边形为矩形， ． ， ， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ． 四边形为正方形． （2）解∶∵四边形为正方形，， ． ， ． ∵是的平分线， ． 在和中， ， ． ★【变式1】（2023·四川达州·模拟预测）如图，在四边形中，，，已知四边形的面积为9，，则长为（    ） A．5 B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．过点A作于点E，，交的延长线于点F，先证明，然后证明四边形是正方形，从而得到，求得正方形的边长，再求出，的长，即得答案． 解：过点A作于点E，，交的延长线于点F， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， ． 故选：B． ★【变式2】（2024·吉林长春·一模）如图，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为，连接，再将沿直线折叠，使点B落在上的点G处，若，则（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； 证明，由勾股定理算出，根据阴影部分面积为即可求解； 解：由折叠可得：， 是矩形， ， 是正方形， ， ， 则（阴影部分）的面积， 故答案为：． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 【例1】（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 解：（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． ★【例2】（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 【答案】（1）证明见详解；（2）四边形为正方形 【分析】（1）由角平分线的定义可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，利用证明 ，由全等三角形的性质得出，结合已知条件可得出四边形是平行四边形． （2）由已知条件可得出，由平行四边形的性质可得出，，根据平行线的性质可得出，，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出， 即可得出四边形为正方形． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由∵， ∴四边形是平行四边形． （2）四边形是正方形． 过点B作于点G， ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∴，， ∴，， 由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定定理是解题的关键． 【题型15】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点E作轴于点F，易证，得出，，从而证明为等腰直角三角形，即得出点E在的平分线所在的直线上运动，再结合垂线段最短可知当时，最小，最后根据勾股定理求解即可． 解：如图，过点E作轴于点F，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即平分， ∴点E在的平分线所在的直线上运动， ∴当时，最小，如图． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，正确作出辅助线，证明点E在的平分线所在的直线上运动是解题关键． ★★【例2】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P是边长为4的正方形的边上任意一点，过B点作于点G，过C点作于点E，连接． （1）如图1，若点P是的中点，求的长； （2）如图2，当点P在边上运动时（不与B、C重合），求证：； （3）当__________时，是等腰三角形． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理求出的值，再根据三角形的面积求出，然后证明，即可得出的值； （2）在上取一点F，使，连接，先证明，可得，再根据等量代换得，最后根据等腰三角形和勾股定理求出解； （3）根据等腰三角形的性质和“角边角”可得，利用，即可得解． 解：（1）解：∵四边形是正方形， ∴． ∵P是的中点， ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）在上取一点F，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即； （3）当时，是等腰三角形． 连接，延长交的延长线于点M，连接， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$