专题9.11 菱形（5大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.11 菱形（3大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【要点说明】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【知识点2】菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【要点说明】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【知识点3】菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【要点说明】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】菱形的性质 【题型1】利用菱形的性质求角度.............................................2 【题型2】利用菱形的性质求线段长...........................................3 【题型3】利用菱形的性质求面积.............................................4 【题型4】利用菱形的性质证明...............................................4 【考点2】矩形的判定 【题型5】添一个条件使四边形是菱形.........................................5 【题型6】证明四边形是菱形.................................................6 【考点3】菱形的性质与判定综合 【题型7】根据菱形的性质与判定求角度.......................................7 【题型8】根据菱形的性质与判定求线段长.....................................8 【题型9】根据菱形的性质与判定求面积形.....................................9 【考点4】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考.......................................................10 【题型11】拓展延伸.......................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点1】菱形的性质 【题型1】利用菱形的性质求角度 【例1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，是菱形的对角线，． （1）请用尺规作图法，在上找点；使（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，连接，求的度数． ★【变式1】（20-21八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，过点作分别交，于点，，为的中点，，则的度数为 ． 【题型2】利用菱形的性质求线段长 ★【例2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形的边长为，，P，Q分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是菱形，于点，则的长是（  ） A． B．6 C． D．12 【变式2】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，菱形的对角线、交于点，与关于点C成中心对称，连接，若，则的长度为 ． 【题型3】利用菱形的性质求面积 【例3】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在菱形中，，，求菱形的面积和的长． 【变式1】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（   ） A．48 B．32 C．12 D．24 ★【变式2】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 【题型4】利用菱形的性质证明 ★【例4】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：四边形是菱形，、分别是、上的点，且，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形． 【变式1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线平分每一组对角 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 ★【变式2】（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在菱形中，，点 、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论： ；；；； 其中正确的结论是 ． 【考点2】矩形的判定 ★【题型5】添一个条件使四边形是菱形 【例5】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 【变式1】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中（），为锐角，将沿对角线方向平移，得到，连接和，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形是菱形，只需添加的一个条件是 ． 【题型6】证明四边形是菱形 ★【例6】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形中，对角线、交于点，点、分别在边和上，在线段上，连接、，交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③．从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）． 【考点3】菱形的性质与判定综合 【题型7】根据菱形的性质与判定求角度 ★【例7】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【变式1】（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【题型8】根据菱形的性质与判定求线段长 【例8】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为，交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求． ★【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 ★【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接，相交于点G． 与相交于点H，连接，． 则的长为 ． 【题型9】根据菱形的性质与判定求面积形 ★【例9】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． ★【变式1】（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． ★【变式2】（18-19九年级上·山东青岛·周测）如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为 ．    第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型10】链接中考 ★【例1】（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． ★【例2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【题型11】拓展延伸 ★★【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． ★★【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线相交于点，且． 【初步感知】 （1）当是线段的中点时（如图①），与的数量关系为___________； 【深入探究】 （2）如图②，将图①中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③，将图①中绕点A继续顺时针旋转，当时，直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.11 菱形（3大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【要点说明】 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【知识点2】菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【要点说明】 （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 【知识点3】菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 【要点说明】 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】菱形的性质 【题型1】利用菱形的性质求角度.............................................2 【题型2】利用菱形的性质求线段长...........................................5 【题型3】利用菱形的性质求面积.............................................8 【题型4】利用菱形的性质证明...............................................9 【考点2】矩形的判定 【题型5】添一个条件使四边形是菱形........................................12 【题型6】证明四边形是菱形................................................14 【考点3】菱形的性质与判定综合 【题型7】根据菱形的性质与判定求角度......................................18 【题型8】根据菱形的性质与判定求线段长....................................20 【题型9】根据菱形的性质与判定求面积形....................................24 【考点4】链接中考与拓展延伸 【题型10】直通中考.......................................................27 【题型11】拓展延伸.......................................................29 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【考点1】菱形的性质 【题型1】利用菱形的性质求角度 【例1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，是菱形的对角线，． （1）请用尺规作图法，在上找点；使（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）30° 【分析】本题考查垂直平分线的画法和判定，菱形的性质等性质，掌握菱形的性质和垂直平分线的画法是解题的关键． （1）只需做的垂直平分线交于点F即可； （2）根据菱形的性质求出，继而求出，最后运用等边对等角即可得解． 解：（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴，， ∴，     ∵， ∴． ★【变式1】（20-21八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 解：四边形是菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ∵， ∴， ． 故选：B． ★【变式2】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，过点作分别交，于点，，为的中点，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查菱形的性质及三角形内角和的应用，根据菱形的性质得出，，进而可判定，利用直角三角形斜边上的中线性质和等边对等角可得出，利用平行线的性质可得出，即可求解. 的内角和解答即可． 解：设， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵F为的中点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 故答案为：． 【题型2】利用菱形的性质求线段长 ★【例2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形的边长为，，P，Q分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，过点C作，使得，连接．证明，推出，推出，求出即可解决问题．本题考查轴对称-最短问题，全等三角形，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 解：如图，连接，过点C作，使得，连接． ∵四边形是菱形， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是菱形，于点，则的长是（  ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，菱形的对角线、交于点，与关于点C成中心对称，连接，若，则的长度为 ． 【答案】4 【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到，，，根据，利用勾股定理计算即可． 本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键． 解：四边形是菱形，且与关于点C成中心对称，， ，，， ，， ， ， 故答案为：4． 【题型3】利用菱形的性质求面积 【例3】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在菱形中，，，求菱形的面积和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求出菱形的面积，进而根据等面积法求出的长即可． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（   ） A．48 B．32 C．12 D．24 【答案】D 【分析】本题考查菱形面积的计算．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据菱形的面积公式计算即可． 解：∵菱形的两条对角线长为6和8， ∴菱形的面积为：． 故选：D． ★【变式2】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理可求出的长，进而根据菱形面积计算公式求出的长，则由勾股定理可求出的长，再由平行线间距离处处相等得到，据此代值计算即可． 解：∵在菱形中，对角线和相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 故答案为：． 【题型4】利用菱形的性质证明 ★【例4】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：四边形是菱形，、分别是、上的点，且，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中一定是等腰三角形的所有三角形． 【答案】（1）见分析；（2），，， 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定： （1）证明，即可得出结论； （2）根据菱形的性质，结合等腰三角形的定义，进行判断即可． 解：（1）解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，为等腰三角形， 由（1）知：， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 综上：图中一定是等腰三角形的有，，，． 【变式1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线平分每一组对角 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．根据平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定逐个判断即可． 解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，则原说法不正确，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线平分每一组对角，则原说法不正确，故该选项不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则原说法不正确，故该选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． ★【变式2】（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在菱形中，，点 、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论： ；；；； 其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质；根据菱形的性质，利用证明即可判断①；根据得到，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明，判断不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④ 解：在菱形中，， 为等边三角形， ， 又， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ， 则在和中， ， ，即， 不成立，故③错误； ，过点作，垂足为， ，， 菱形的面积为：，故④错误； 故正确的结论有①②， 故答案为：①②． 【考点2】矩形的判定 ★【题型5】添一个条件使四边形是菱形 【例5】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E是上一点，连接ED并延长ED到点F，使．连接，，请添加一个条件使四边形为菱形，并加以证明． 【答案】添加一个条件：（答案不唯一），证明见分析 【分析】本题考查了平行四边形、菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形和菱形的判定是解题的关键． 由可证，可得，从而可得出四边形为平行四边形，再由菱形的判定可求解． 解：添加一个条件：当时，四边形为菱形， 证明：若添加， ∵，D是中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【变式1】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 解：A．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； B．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； C．添加，可判断平行四边形为矩形，符合题意； D．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中（），为锐角，将沿对角线方向平移，得到，连接和，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形是菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可得出答案． 解：∵， ∴，， 由平移可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若，则， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型6】证明四边形是菱形 ★【例6】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形中，对角线、交于点，点、分别在边和上，在线段上，连接、，交于点． （1）求证：； （2）若是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）四边形是菱形，理由见分析 【分析】（）利用矩形的性质可证，得到，进而证明即可求证； （）由得，即可得四边形是平行四边形，再证明为等边三角形，得到，即得，再根据三线合一可得，即可求证． 解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由（）得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 【点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质等知识，正确地画出将完全展开后的图形是解题的关键． 将完全展开后得到四边形，由，，证明四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 解：如图，将完全展开后得到四边形， 由折叠得， ， 、、三点在同一条直线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③．从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是 （只填写序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据菱形及平行四边形的判定即可判断添加③，不可添加①②． 解：需添加条件③，理由： ∵点是的中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵，是的中点， ∴． ∴平行四边形为菱形． 添加①②无法判定四边形为菱形， 故答案为：③． 【考点3】菱形的性质与判定综合 【题型7】根据菱形的性质与判定求角度 ★【例7】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 【变式1】（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 【题型8】根据菱形的性质与判定求线段长 【例8】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为，交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】（1）由矩形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论； （2）由是矩形，是菱形，，设，得到，根据勾股定理可知，，即，解得，即，再求出，即可求解． 解：（1）证明：是矩形， ， 又点E在边上，点F在边上，且， ， ∴四边形是平行四边形，， 由折叠可知，， ， ， 四边形为菱形； （2）解：∵四边形是矩形，四边形是菱形，，设， ， 由勾股定理可知，， ， 解得：，即， 四边形为菱形， ， ． 【点拨】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． ★【变式1】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可． 解：如图，作于R，于S，连接交于点O， 由题意知，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． 在中，，， ∴． 故选：A． ★【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，，，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接，相交于点G． 与相交于点H，连接，． 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，连接，，，，根据作图可得四边形为菱形，从而得到，过点作交于点，根据勾股定理求出，同理可得，得到，再根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：连接，，，，如图： 由题意得：， ∴四边形为菱形， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴， 过点作交于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 同理可得：， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ， 故答案为：． 【题型9】根据菱形的性质与判定求面积形 ★【例9】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，可得，结合，即可证明； （2）由（1）得，推出四边形是菱形，，得到，求出、，即可求解． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又， ．（三线合一） （2）解：由（1）得， 四边形是菱形，， 在中，， ， ， ， ， ，， ． ★【变式1】（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解． 解：过点作于点，    ∵四边形是正方形， ∴， 由题意可得， ∴四边形为菱形， ∴， 设 ∵ ∴ ∴， 而， ∴， 故选：A． ★【变式2】（18-19九年级上·山东青岛·周测）如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．菱形的面积等于对角线乘积的一半，判断出四边形是菱形，是解题的关键． 解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故答案为：4． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型10】链接中考 ★【例1】（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． ★【例2】（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 【题型11】拓展延伸 ★★【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）由矩形的性质可得与相等且互相平分，进而可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，于是结论得证； （2）作于点，交于点，由轴对称的性质可得，，进而可得，由垂线段最短可知，当、、三点共线，且时，最小，即最小，最小值为，由矩形的性质可得，，由轴对称的性质可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，于是得解． 解：（1）证明：四边形是矩形， 与相等且互相平分， ， 关于的对称图形为， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，作于点，交于点， 沿所在直线折叠，得到， ，， ， 由垂线段最短可知，当、、三点共线，且时，最小，即最小，最小值为， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，菱形的判定，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）和垂线段最短是解题的关键． ★★【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线相交于点，且． 【初步感知】 （1）当是线段的中点时（如图①），与的数量关系为___________； 【深入探究】 （2）如图②，将图①中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③，将图①中绕点A继续顺时针旋转，当时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，详见分析；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质，如图所示，连接，可得是等边三角形，可证，可得，可证是等边三角形，由此即可求证； （2）同（1）的思路通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质可得结论； （3）根据题意可得当时，，如图所示，过点作于点，过点作于点，连接，根据等腰直角三角形的性质可求出的长． 解：解：（1）∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是线段的中点， ∴， 如图所示，连接，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）成立，理由如下， 如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，连接， 当时，， ∴， 在中， ∵，， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，含特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$