专题9.10 矩形（专项练习）（培优拓展）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.10 矩形（专项练习）（培优拓展） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（  ） A． B． C． D．4 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，的平分线交于点F，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）下列条件中，不能判定四边形为矩形的是（　　） A．对角线相等且互相平分的四边形 B．有一组邻角相等的平行四边形 C．对角线相等且垂直的四边形 D．有一组对角互补的平行四边形 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 5．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，则矩形的周长为（  ） A． B． C． D．8 6．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，以，为边作矩形．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，的值为（    ） A．30 B．9 C．15 D．10 7．（23-24八年级下·山东日照·期中）如图，矩形纸片中，，，点是边上的动点，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为、，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，等边三角形的边长为，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则为（） A．20 B．18 C．16 D．21 9．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（   ） A． B． C． D．5 10．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知平分，，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，那么的长是（     ） A．1 B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，平分，分别交、于点、．若，,则的度数为 ． 12．（23-24九年级下·甘肃平凉·期中）如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    13．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．    14．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，图2是图1是一种矩形时钟的示意图，钟表上的数字2、4、8、10的刻度在图2矩形的对角线上，秒针指在刻度7数字上，秒针与交于E点．若，则长为 ． 15．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，则的长为 ． 16．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）阳春三月，油菜花开，踏青观赏油菜花是长沙居民的最爱，某油菜花旅游基地有一块长方形的土地，如图所示，矩形的长 米，宽 米，基地负责人作了如下规划和设计：先沿水平方向将矩形四等分，即图中点分别为宽 的四等分点，点 分别为的四等分点，正方形的四个顶点依次在线段上，则该正方形 的边长为 米．    17．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点在的左侧运动，且，，，，点在上，且，点在上运动，当动到的中点时，则最小值为 ． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，若点是轴上一动点，且与面积相等，则点坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）在矩形中，点E是上一点，，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求． 20．（本小题满分8分）（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．  （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·全国·期中）如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在矩形纸片中，，将矩形沿着折叠，折痕分别交于点，点的对应点为，点的对应点为． （1）观察发现：如图1，连接，若，求的长． （2）探究迁移：如图2，若和点重合，求的长． （3）拓展应用：若点的对应点落在边上，求线段的长的取值范围． 23．（本小题满分10分）（20-21八年级下·安徽铜陵·期末）如图①，在矩形中，点A在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． （1）直接写出点的坐标：________； （2）如图②，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上一点重合，求线段的长度； （3）如图③，是直线上一点，交线段于．若在第一象限，且，试求符合条件的所有点的坐标． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·江苏南通·期末）在数学活动课上，老师提供了不同的矩形纸片，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【初步探究】 （1）甲小组拿到的矩形纸片中，，，如图1，进行以下操作并提出问题：操作：在边上取点E，沿折叠得，点F落在边上； 问题：求的长； 【拓展延伸】 （2）乙小组拿到的矩形纸片中，，，如图2，进行以下操作并提出问题：操作：在射线上取点E，沿折叠得，连接； 问题：当时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C A D C C C 1．A 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质，连接，根据矩形的性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求得，再由，利用勾股定理求解即可． 解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵直线垂直平分， ∴， 再中，， ∵， ∴在中，， 故选：A． 2．B 【分析】如图，过点F作于点G，设矩形对角线相交于点O．根据矩形的性质证明是等边三角形得到，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理分别求得，，，进而求解即可． 解：解析：如图，过点F作于点G，设矩形对角线相交于点O． 在矩形中，是的平分线，，，， ， ． ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， 解得， ， ． 故选：B． 【点拨】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 3．C 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，根据矩形的判定定理分别进行分析判断即可． 解：A、对角线相等且互相平分的四边形为矩形，故此选项不符合题意； B、有一组邻角相等的平行四边形，可证明有一个角为直角，能判定四边形为矩形，故此选项不符合题意； C、对角线相等且垂直的四边形不能判定四边形为矩形，故此选项符合题意； D、有一组对角互补的平行四边形，可证明有一个角为直角，能判定四边形为矩形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形的常用判定方法有：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是90度的平行四边形是矩形；有三个角是90度的四边形是矩形．据此逐项分析判断即可． 解：A、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项符合题意； C、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； D、由，，，无法判断四边形是矩形，故不符合题意． 故选：B． 5．C 【分析】由翻折的规律证明四边形是矩形及，再由矩形的性质结合已知条件求出的长度，即可求出的长度，由折叠性质证明，求得，最后由矩形的周长公式求得周长便可．本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键． 解：如图所示， ∵将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形， ∴ ∴ ∵， ∴ 同理，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 由折叠知， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴矩形的周长 故选：C． 6．A 【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解． 本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键． 解：连接、，    ∵点A的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形． ∴， ∴，， 依题意，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，解题关键是要熟练运用折叠的性质和勾股定理．要使折痕始终与边、有交点，就要找到与重合，与重合时对应的长即可，由折叠可得结论． 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 当与重合时，如图①，的值最小， 由折叠可得，， ∴在中， ∴； 当与重合时，如图②，的值最大， 由折叠得，． 综上所述，的取值范围是． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半． 过点作，交于，先证是等边三角形，再证，得，设，设，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可求解． 解：如图，过点作，交于， ∵是等边三角形， ， ， 是等边三角形 ∵点为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：， ， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据证明可得，设，利用勾股定理求根据方程求出x即可解决问题； 解：在和中， ， ∴； ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选：C 10．C 【分析】由平分，，，，易得是等腰三角形，，由含30度角的直角三角形的性质，即可求得的长，进而求得的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长． 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点M是的中点， ∴， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了角平分线的有关计算，两直线平行内错角相等，等角对等边，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．此题难度适中，注意数形结合思想的应用． 11． 【分析】作于点，取的中点，连接，根据角平分线的定义得出，进而得出，证明是等边三角形，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 解：作于点，取的中点，连接，如图所示： ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵是直角三角形，是的中线， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，勾股定理，角平分线的定义与性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出是解题的关键． 12．①（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，有一个角为直角的平行四边形是矩形，证明即可． 解：当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， 故答案为：①． 13． 【分析】取的中点，连接，并延长交于点，交于点，根据三角形中位线定理得出，，，，证明四边形是矩形，再根据勾股定理求解即可． 解：如图，取的中点，连接，并延长交于点，交于点，   ，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据三角形中位线的性质和已知条件得到是解答本题的关键． 14． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明为等边三角形，得出，求出，证明，得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 解：∵钟表上的数字2、4、8、10的刻度在矩形的对角线上， ∴，， ∵矩形中，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵秒针指在刻度7数字上， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴． 故答案为：． 15．1或9 【分析】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键；根据题意只有成立，此时又可分当点E在上和点E在的延长线上，进而分类求解即可． 解：由题意可知，当时，根据折叠的性质可知：，而，所以此时也不成立； 当时，且点E在上，如图所示： ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上，如图所示： 同理可得， ∴， ∴； 综上所述：当是直角三角形时，则的长为1或9； 故答案为1或9． 16． 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，过点作，交于，交于，则，证明，得到，根据四等分点求出，再利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作，交于，交于，则，    ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，点分别为宽 的四等分点，点 分别为的四等分点， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∴正方形 的边长为米， 故答案为：． 17．5 【分析】过点E作于点G，连接，，根据题意得到，得到当点A，F，G三点共线时，的值最小，即的长度，然后证明出四边形是矩形，然后利用勾股定理求解即可． 解：如图所示，过点E作于点G，连接，， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当点A，F，G三点共线时，的值最小，即的长度 ∵，， ∴ 又∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴在中， ∴最小值为5． 故答案为：5． 【点拨】此题考查了直角三角形的性质矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是证明出当点A，F，G三点共线时，的值最小，即的长度． 18．或 【分析】过点B作，过点A作于点G，过点C作于点E，交于点F，分割法求得，设点，根据题意，得，解答即可． 解：过点B作，过点A作于点G，过点C作于点E，交于点F， 则四边形是矩形， ∵，，， ∴， 设点， 根据题意，得， ∵与面积相等， ∴． 解得或， 故或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，分割法求面积，绝对值的应用，分类思想求面积，熟练掌握坐标与线段的转化方式是解题的关键． 19．（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角的互余关系； （1）由矩形的性质得出，，，得出，由证明，得出，即可得出结论； （2）先证出，再由角的互余关系即可求出的度数． 解：（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 即； （2）解：，， ， 如图，取中点，连，则， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ． 20．（1）见分析；（2）4 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形和等腰三角形的判定是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）先证明，由平行四边形的性质，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 解：（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 21．（1）见分析；（2），见分析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 22．（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理： （1）过点作于点，连接，根据折叠的性质得得，由勾股定理得； （2）由折叠得，设，则，在中由勾股定理列方程求出的值可得的值，从而可求出的值； （3）分点与点重合和点在上两种情况求出的最大值和最小值，从而可求出的取值范围 解：（1）解：过点作于点，连接，如图， 则四边形是矩形， ∴ 由折叠得， 又 ∴四边形是矩形， ∴ 由折叠得， ∴ 在中，， ∴； （2）解：由折叠得，， 由题意知， 设则 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）解：分两种情况：①当点与点重合时，如图， 方法同（2）可求出； ②当点在上时，如图， 此时，四边形是正方形， ∴, ∴的取值范围是 23．（1）；（2）3；（3）或 【分析】（1）结合题意，根据矩形、直角坐标系的性质分析，即可得到答案； （2）结合矩形和勾股定理性质，计算得；根据轴对称性质，得，，，从而得；根据勾股定理性质列方程并求解，即可得到答案； （3）当点在下方时，过点作交轴于，交于；结合矩形性质，通过证明，得，，通过计算即可得到点坐标；当点在的上方时，过点作交轴于，交的延长线于，同理证明，通过计算得到点坐标，即可完成求解． 解：（1）∵矩形中，， ∴点的坐标为： 故答案为：； （2）∵， ∴， ， 由题意知，，， ， ∴ ∴ ∴； （3）设点， 当点在下方时，如图③， 过点作交轴于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴点； 当点在的上方时，如图④， 过点作交轴于，交的延长线于， 同理可证， ， ， ， ∴点， 综上，点坐标为或． 【点拨】本题考查了直角坐标系、矩形、轴对称、勾股定理、全等三角形、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、直角坐标系、轴对称、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解． 24．（1）5；（2）的长为2.5或10． 【分析】（1）由折叠可知，由全等三角形的性质可得出，由矩形的性质可知，利用勾股定理求出，进而求出，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． （2）分两种情况，①当点E在线段上，由折叠可知，，， 当时，，进而判定为等腰三角形，过点F作于点H，延长交于点G，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，由勾股定理求出，再求出，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． ②当点E在线段延长线上，由①得，则，设，则，， 在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． 解：（1）由折叠可知， ，， ， 在中， 设， ，， ， 在中，， 即：， 解得：， 的长为 5； （2）①当点E在线段上，如图①， 由折叠可知，，， 当时，， 为等腰三角形， 过点F作于点H，延长交于点G， ，， 在中， 设，则，， 在中，， 即：， 解得：， 长为； ②当点E在线段延长线上，如图②， 由①得，则， 设，则，， 在中，， 即：， 解得：， 长为10； 综上得：的长为2.5或10． 【点拨】本题主要考查了矩形与折叠的问题，全等三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理的性质，分类的思想，掌握矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$