专题9.8 矩形（4大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.8 矩形（4大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【知识点2】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【要点说明】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩 （2） 形分成完全全等的两部分. （3） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）. （4） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【知识点3】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【要点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【知识点4】直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【要点说明】 （1） 直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形 对一般三角形不可使用. （2） 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解.......................................................3 【题型2】利用矩形的性质求角度.................................................3 【题型3】根据矩形的性质求线段长...............................................4 【题型4】根据矩形的性质求面积.................................................4 【题型5】利用矩形的性质证明...................................................5 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标...............................................6 【题型7】矩形与折叠问题.......................................................7 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解...................................................8 【题型9】添一条件使四边形是矩形...............................................8 【题型10】证明四边形是矩形....................................................9 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度.........................................10 【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长.......................................10 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积.........................................11 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考...........................................................12 【题型15】拓展延伸...........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解 【例1】（23-24八年级下·江苏连云港·期末）若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为 ． 【变式】（2022九年级·浙江·专题练习）矩形ABCD相邻的两条边长分别为5和12，则对角线AC的长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．17 【题型2】利用矩形的性质求角度 【例2】（23-24九年级上·广东·期末）如图①，矩形的边，，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点． 数学思考：（1）填空：图①中__________；（用含的代数式表示） 深入探究：（2）如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，连接，则 ． 【变式2】（2024·河南开封·二模）将含角的三角板按如图所示的方式摆放在一矩形纸片上，使得，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】根据矩形的性质求线段长 【例3】（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，． （1）求作矩形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，，求的长． ★【变式1】（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边交于点，当点的对应点恰好落在线段的延长线上时，的长是 ． 【题型4】根据矩形的性质求面积 ★【例4】（22-23八年级下·江苏淮安·期中）在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． ★【变式1】（21-22八年级下·江苏南通·期中）两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 ★【变式2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． ★【题型5】利用矩形的性质证明 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形是矩形，点E在边上，点F在的延长线上，且． 求证：四边形是平行四边形．      ★【变式1】（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，矩形中，交于点O．于点E，则与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）已知，是矩形的对角线的中点，是线段上的一点，过点作交直线CD于点F，连接EF，若,则 = ．    【题型6】求矩形在坐标系中的坐标 ★★【例6】（22-23八年级下·上海·期末）如图，在直角坐标平面内矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为． （1）求直线的表达式： （2）点在轴上，连接．点、、分别是、、的中点，连接、、．若是等腰三角形，求点的坐标． ★【变式1】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【变式2】（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．    ★【题型7】矩形与折叠问题 【例7】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点是点E，的对应边交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ★★【变式2】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解 【例8】在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否都为直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相平分 【变式1】如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是 ． 【变式2】如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【题型9】添一条件使四边形是矩形 【例9】如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ． 【变式1】如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．（只要写出一个条件即可） 【变式2】如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【题型10】证明四边形是矩形 ★【例10】如图，在中，，交于点O，于E，交于F，求证：四边形是矩形． ★【变式1】如图，在中，于点E，于点F，求证：四边形是矩形． 【变式2】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度 ★【例11】如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． ★【变式1】如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点B作于点E，若，求的度数． 【变式2】（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长 【例12】如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点作直线交于点．在边上存在一点、当点关于直线的对称点恰好落在边上时，解决下列问题： （1）若，则________； （2）若，则________； （3）连结，当是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出的长． ★【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，P是y轴正半轴上的一动点，是等腰直角三角形，，C是点P正上方一点，连接，若，则的长为 ． ★【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为 ． 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积 ★【例13】如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）若，求该矩形的面积． 【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ． ★【变式2】如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 ★【例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． ★【例2】（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【题型15】拓展延伸 ★★【例1】（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是 ★★【例2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止．将沿直线翻折得到，设点运动时间为，所在直线与射线交于点． （1）用含的代数式表示的长为______； （2）求证为等腰三角形； （3）当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，直接写出的取值范围； （4）当时，直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.8 矩形（4大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 【知识点2】矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 【要点说明】 （1） 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩 （2） 形分成完全全等的两部分. （3） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的 交点就是对角线的交点（即对称中心）. （4） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质 可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 【知识点3】矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 【要点说明】 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【知识点4】直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【要点说明】 （1） 直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形 对一般三角形不可使用. （2） 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解.......................................................3 【题型2】利用矩形的性质求角度.................................................3 【题型3】根据矩形的性质求线段长...............................................6 【题型4】根据矩形的性质求面积................................................10 【题型5】利用矩形的性质证明..................................................13 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标..............................................15 【题型7】矩形与折叠问题......................................................19 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解..................................................23 【题型9】添一条件使四边形是矩形..............................................25 【题型10】证明四边形是矩形...................................................27 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度.........................................29 【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长.......................................32 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积.........................................36 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考...........................................................40 【题型15】拓展延伸...........................................................42 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【知识点1】矩形的性质 【题型1】矩形性质的理解 【例1】（23-24八年级下·江苏连云港·期末）若将如图所示的矩形放入平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为、、，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，先判断轴，结合矩形的性质有轴，轴，轴，问题即可作答． 解：∵、、， ∴轴， ∴在矩形中，轴，轴，轴， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】（2022九年级·浙江·专题练习）矩形ABCD相邻的两条边长分别为5和12，则对角线AC的长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．17 【答案】C 根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵矩形ABCD相邻的两条边长分别为5和12， ∴． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理的应用，解题关键是灵活运用相关知识进行解题． 【题型2】利用矩形的性质求角度 【例2】（23-24九年级上·广东·期末）如图①，矩形的边，，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点． 数学思考：（1）填空：图①中__________；（用含的代数式表示） 深入探究：（2）如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转得到，结合矩形对边平行即可得到答案； （2）证明即可得到答案． 解：（1）∵矩形绕点逆时针旋转角得到矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵点在对角线的垂直平分线上，边经过点， ，         ∵四边形是矩形， ，， 由旋转得：， ，， 在与中， ∵， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，连接，则 ． 【答案】45 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是等边三角形，得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求解即可． 解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∵以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E， ∴ ∴ ∴． 故答案为：45． 【变式2】（2024·河南开封·二模）将含角的三角板按如图所示的方式摆放在一矩形纸片上，使得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，等边对等角，根据等边对等角，结合平行线的性质，得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理以及对顶角相等，求出的度数即可． 解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【题型3】根据矩形的性质求线段长 【例3】（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，． （1）求作矩形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】本题主要考查尺规作图，矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作，再以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即可求解； （2）根据矩形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，设，则有，在中，运用勾股定理即可求解． 解：（1）解：作图如下， ∴矩形为所求作图形． （2）解：∵四边形为矩形，交于点， ，， 在中，， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得，， ， ． ★【变式1】（22-23九年级下·广东汕头·期中）如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质．在中可求得的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得，则可求得的长，则可求得的长． 解：四边形为矩形， ∴，，， ，， ， ， ∵， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：A． ★【变式2】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边交于点，当点的对应点恰好落在线段的延长线上时，的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等，连接根据矩形的性质得到，即，根据旋转的性质即可得到；根据矩形的性质得到，根据旋转的性质得到，证得，根据全等三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 解：连接如图， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴； ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故答案为： 【题型4】根据矩形的性质求面积 ★【例4】（22-23八年级下·江苏淮安·期中）在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）3 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由勾股定理可求，由面积和差关系可求解． 解：（1）证明：在矩形中，，，， ． ， ． 在和中， ， ； ， ； （2）解：， ， ， ， 四边形的面积． ★【变式1】（21-22八年级下·江苏南通·期中）两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】先根据矩形的性质、平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，设，则，然后在中，利用勾股定理求出的值，最后根据平行四边形的面积公式即可得． 解：如图，在两张全等的矩形纸片，中，， ， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 则图中重叠（阴影）部分的面积为， 故选：A． 【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． ★【变式2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 解：已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． ★【题型5】利用矩形的性质证明 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形是矩形，点E在边上，点F在的延长线上，且． 求证：四边形是平行四边形．      【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定．由，推出，推出，又，即可证明四边形是平行四边形． 解：证明：∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形．    ★【变式1】（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，矩形中，交于点O．于点E，则与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，还考查了互余关系；由矩形性质知，则有；再由，得；由及，得，从而可判定选项A、B、D正确，选项C错误； 解：∵四边形为矩形， ∴，，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 即选项A、B、D正确， 当或是等边三角形时，有，否则不相等； 故选项C错误； 故选：C． ★【变式2】（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）已知，是矩形的对角线的中点，是线段上的一点，过点作交直线CD于点F，连接EF，若,则 = ．    【答案】 【分析】延长交于点，连接，利用矩形的性质证明，根据全等三角形的性质得到是的垂直平分线，得到、的长利用勾股定理求解即可． 解：如图，    延长交于点，连接， ∵是矩形的对角线的中点， ∴， ∵， ∴, ∴（）， ∴，． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形全等，勾股定理，垂直平分线的性质，正确构造辅助线是解决本题的关键． 【题型6】求矩形在坐标系中的坐标 ★★【例6】（22-23八年级下·上海·期末）如图，在直角坐标平面内矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为． （1）求直线的表达式： （2）点在轴上，连接．点、、分别是、、的中点，连接、、．若是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或或或 【分析】（1）由矩形的性质可得点，点，用待定系数法可求直线AB表达式； （2）由三角形中位线定理可知是等腰三角形，分、和三种情况分别计算，即可求点E的坐标． 解：（1）解：由题可得点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为 （2）解：∵点、、分别是、、的中点， ∴、、是的中位线， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴是等腰三角形， 当时，如图， ∵， ∴， ∴点E的坐标为或； 当时，如图，设长为a，则， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为； 当时，如图，则， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或或． 【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的定义，一次函数的解析式，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． ★【变式1】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·福建福州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．    【答案】 【分析】当直线经过的中点时，直线把矩形的面积等分，求出的中点，代入直线的解析式求出即可． 解：．， ，， 中点的坐标为， ∵直线把矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过的中点， 把代入得，， 解得． 答案为：． 【点拨】本题考查了矩形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握中点坐标的求法． ★【题型7】矩形与折叠问题 【例7】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点是点E，的对应边交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见分析；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）根据折叠的性质我们可得出，，，证明，设，利用勾股定理即可得出答案． 解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将矩形沿对角线折叠， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将矩形沿对角线折叠， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴． 【点拨】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质等知识，正确地画出将完全展开后的图形是解题的关键． 将完全展开后得到四边形，由，，证明四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 解：如图，将完全展开后得到四边形， 由折叠得， ， 、、三点在同一条直线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故选：C． ★★【变式2】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形． 过点作于点，连接过点作于点，，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 解：∵在长方形中，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴， ∴， 过点作于点，连接过点作于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短， ∴当时， 最小，即点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：的最小值为． 【知识点2】矩形的判定 【题型8】矩形的判定定理理解 【例8】在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否都为直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相平分 【答案】A 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定是解决问题的关键．利用矩形的判定方法进行判断即可． 解：A．测量四边形其中的三个角是直角，能判定为矩形，此选项正确； B．对角线相等的四边形可能是等腰梯形也可能是矩形，还有可能是其它形式的四边形，此选项错误； C．测量两组对边是否分别相等，只能判定是否为平行四边形，不能断定是否为矩形，此选项错误； D．测量对角线是否互相平分，只能判定是否为平行四边形，不能判定是否是矩形，此选项错误， 故选：A． 【变式1】如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定．根据已知条件和矩形的判定进行解答即可得． 解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴测量两组对边的长度是否分别相等，判定四边形是否为平行四边形， ∵对角线相等的平行四边形为矩形， ∴要测量它们的两条对角线是否相等， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【变式2】如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【答案】 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9】添一条件使四边形是矩形 【例9】如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．依据矩形的判定定理进行判断即可． 解： ∵四边形是平行四边形， ∴当时， 是为矩形， 故答案为∶ （答案不唯一）． 【变式1】如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．（只要写出一个条件即可） 【答案】（或或等） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形为平行四边形是解题的关键．先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， 添加， 为矩形； 添加， ， 为矩形； 添加， ， 为矩形． 故答案为：（或或） 【变式2】如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论． 解：， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型10】证明四边形是矩形 ★【例10】如图，在中，，交于点O，于E，交于F，求证：四边形是矩形． 【答案】见分析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定和性质；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 由证明，得出对应边相等，证出四边形为平行四边形，再由求出，根据矩形的判定得出即可． 解：证明：四边形是平行四边形， ， ， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形． ★【变式1】如图，在中，于点E，于点F，求证：四边形是矩形． 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握三个角是直角的四边形是矩形． 根据题意得出，再根据平行四边形的性质证出，即可证明． 解：证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式2】如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，解题的关键是掌握矩形的性质和判定定理． 首先根据矩形的性质得到，然后证明出，证明出四边形是平行四边形，然后由得到平行四边形是矩形． 解：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 【知识点3】矩形的性质与判定综合 【题型11】根据矩形的性质与判定求角度 ★【例11】如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： ★【变式1】如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【知识点】等边对等角、证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 解：（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点拨】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 【题型12】根据矩形的性质与判定求线段长 【例12】如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点作直线交于点．在边上存在一点、当点关于直线的对称点恰好落在边上时，解决下列问题： （1）若，则________； （2）若，则________； （3）连结，当是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出的长． 【答案】（1）2；（2）3；（3）2或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），先说明四边形是矩形，再说明，根据得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），分，情况，根据等腰三角形的性质解答即可． 解：（1）如图所示，根据题意可知， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）∵， ∴， ∴； 故答案为：3； （3）2或. 当时， ∴， ∴； 当时， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． ★【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，P是y轴正半轴上的一动点，是等腰直角三角形，，C是点P正上方一点，连接，若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 过点B作轴于点M，轴于点N．证明得，证明四边形是矩形得，然后根据即可求解． 解：如图，过点B作轴于点M，轴于点N． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为4． ★【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的定义、坐标与图形综合 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质和判定等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 过作轴于，过作轴于，得出四边形是矩形，从而得，，根据等腰直角三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，，即可求解． 解：过作轴于，过作轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型13】根据矩形的性质与判定求面积 ★【例13】如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）若，求该矩形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）60 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）根据等角对等边得出，根据平行四边形性质求出，根据矩形的判定即可得解． （2）根据矩形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可根据面积公式得到解答． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴又， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ， ∴的面积是． 【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】24 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，明确题意、根据已知结论入手进行分析成为解答本题的关键．如图，过点作于，交于，由可得，即可求解． 解：如图，过点M作于H，交于G， ∵四边形是矩形，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴， ∴， ，，，，， ∵， ∴， ∴，即图中阴影部分的面积和为， 故填：． ★【变式2】如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点拨】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 ★【例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ★【例2】（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 【题型15】拓展延伸 ★★【例1】（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，在中，，点P为斜边上的一个动点（点P不与点A．B重合），过点P作，垂足分别为点D和点E，连接交于点Q，连接，当为直角三角形时，的长是 【答案】3或 【分析】根据题意，由为直角三角形，可进行分类讨论：①当；②当两种情况进行分析，然后进行计算，即可得到答案． 解：根据题意， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵当为直角三角形时，可分情况进行讨论 ①当时，如图： 则， ∴， ∴， ∴； 在直角△ACP中，由勾股定理，则 ； ②当时，如图 ∵，， ∴四边形CDPE是矩形， ∴CQ=PQ， ∵AQ⊥CP， ∴△ACP是等腰三角形，即AP=AC= 综合上述，的长是3或； 故答案为：3或； 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用分类讨论的思想进行解题． ★★【例2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止．将沿直线翻折得到，设点运动时间为，所在直线与射线交于点． （1）用含的代数式表示的长为______； （2）求证为等腰三角形； （3）当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，直接写出的取值范围； （4）当时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3）；（4）或 【分析】（1）由，计算出代入即可得到答案； （2）由翻折性质得到，再由平行性质得到，等量代换得到，利用等腰三角形的判定即可得证； （3）根据题意，分两种情况：当时；当时；分情况计算即可得到答案； （4）根据题意，分两种情况：当点落在矩形内部时；当点落在矩形外部时；分类讨论求解即可得到答案． 解：（1）解：在矩形中，， 点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动， ， ， 故答案为：； （2）证明：由翻折性质可知， ∵在矩形中，， ， ， ， 为等腰三角形； （3）解：点从点出发，将沿直线翻折得到，当落在边上时（与重合），如图所示： 由（2）知， 再由折叠性质可知， 点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动， ； 当时，即当时，四边形与矩形重叠部分是筝形，四边形与矩形重叠部分是轴对称图形， 综上所述，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，的取值范围是； （4）解：当点落在矩形内部时，作于点，如图所示： 四边形是矩形，则， 由翻折性质可知，， ， ∵在矩形中，， ， 在和中， ， ，， 在矩形中，， ， ， ， ， ，则， 在中，由勾股定理可得， 则，解得； 当点落在矩形外部时，如图所示： 由折叠性质得到， 由（2）知为等腰三角形， ， ，， 当时，，即， 如图所示： 此时，点和点重合，则． 【点拨】本题考查四边形综合，涉及矩形性质、折叠性质、平行线性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握矩形的性质，数形结合是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$