精品解析：广东省高州市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024-2025 学年度第一学期高一数学 12月月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数（，）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知函数的最小正周期为，则的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上是减函数，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的偶函数满足，且当时，则的零点个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（   ） A. 的解集为 B. 若，则的最小值为3 C. D. 角终边上一点P的坐标是，则 10. 设实数a，b满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 以为周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______. 13. 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________. 14. 已知，若满足（互不相等），则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为幂函数，且在上单调递增. （1）求的值，并写出的解析式； （2）解关于的不等式 ，其中. 16. 已知为锐角，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，求函数的值域． 18. 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的销售收入为505元. 提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量 （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设过去一个月该工艺品日销售收入为（单位：元），求的最小值. 19. 已知为偶函数，为奇函数，且满足. （1）求； （2）若方程有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年度第一学期高一数学 12月月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式可得集合与，进而可得. 【详解】因为，， 所以， 故选：B． 2. 方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理分析判断即可. 【详解】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误， 故选：C 3. 若函数（，）的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换可得定点的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果. 【详解】因为函数的图象经过定点， 所以函数的图象经过定点， 因为点在角的终边上，所以. 故选：C. 4. 已知函数的最小正周期为，则的图象（ ） A. 关于点对称 B. 关于对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期求出，代入，计算检验即可判断各选项. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 因为，所以AC错误； ，所以B错误，D正确. 故选：D 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数的性质可得，根据对数的运算及对数函数的单调性可比较的大小. 【详解】∵，， ∴. 故选:B. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，探讨其奇偶性，再结合时函数值为正即可判断作答. 【详解】由，得，即函数的定义域为， 显然，，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，AB不满足； 当时，，于是，其图象在第一象限，C不满足，D满足. 故选：D 7. 函数在上是减函数，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据复合函数的单调性的求法，列出相应不等式求解即可. 【详解】解：设， 因为函数在上是减函数， 可得在上是增函数， 故有对称轴，即，且， 解得，即实数的范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，结合二次函数的性质，属于中档题. 8. 已知定义在R上的偶函数满足，且当时，则的零点个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得的周期为2，画出函数图象，根据交点个数即可求解. 【详解】依题意，因为偶函数满足，所以函数的周期为2， 且当时，如图所示, 的零点等价于函数与函数的交点个数， 所以零点个数为8个. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（   ） A. 的解集为 B. 若，则的最小值为3 C. D. 角终边上一点P的坐标是，则 【答案】BC 【解析】 【分析】解指数不等式即可判断选项A，利用基本不等式即可判断选项B，由诱导公式计算求解即可判断选项C，由三角函数的定义分类讨论求解即可判断选项D. 【详解】对于A，，所以， 即，解得，故A错误； 对于B，因为，所以， 故， 当且仅当，即时等号成立.故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，角终边上一点P的坐标是，所以当时，， 当时，，故D错误； 故选：BC 10. 设实数a，b满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A：做差判断；选项BCD：构造函数，利用函数单调性判断. 【详解】对于A：，，，，即，A错误； 对于B：函数在上的单调递减，又，，B正确； 对于C：函数在上的单调递增，又，，C正确； 对于D：函数在上的单调递增，又，，D错误； 故选：BC. 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 以为周期 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先化简函数，再根据奇函数的定义，判断A，通过换元分析函数的单调性，即可求函数的值域，判断B，证明，判断C，根据，即可判断D. 【详解】， ，则，，则函数的定义域为，函数的定义域关于原点对称，且满足，所以函数是奇函数，故A正确； 设，在区间单调递减，，因为函数是奇函数，所以函数的值域是，故B错误； ，所以函数关于对称，故C正确； ，所以函数的周期为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 13. 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】将2sin18°替换t代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得. 【详解】因t=2sin18°，则有 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决. 14. 已知，若满足（互不相等），则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，根据三角函数对称性得，解得，进而得答案． 【详解】作出函数图象，不妨设，如图， 根据三角函数的对称性得可得， 另一方面，，即， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为幂函数，且在上单调递增. （1）求的值，并写出的解析式； （2）解关于的不等式 ，其中. 【答案】（1）3， （2）当，不等式解集为，当，不等式解集为，当，不等式解集为 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解； （2）由（1）可得原不等式变形为，分类讨论含参一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 因为为幂函数，且在上单调递增， 则，解得，所以； 【小问2详解】 不等式0，即 当，，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为. 所以，当，不等式解集为， 当，不等式解集为， 当，不等式解集为. 16. 已知为锐角，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行化简即可； （2）根据（1）的结论，结合两角差的正弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， . . 又为锐角， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知. ，且为锐角， ， 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1）；增区间， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换，化简得 ，再根据正弦函数的周期性及单调性求解即可； （2）由 得 ，利用正弦函数的单调性与最值可求函数 的值域. 【小问1详解】 因为 ， 所以 的最小正周期 ； 令 ， ，得 ，， 故增区间为，. 【小问2详解】 由 ，得 ，所以 故 ， 所以值域为 . 18. 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的销售收入为505元. 提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量 （1）求的值； （2）给出以下三个函数模型：①；②；③，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； （3）设过去一个月该工艺品日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】（1） （2）且定义域为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解之即可得解； （2）利用表格中数据的增长趋势选定模型，再利用待定系数法求得，从而得到所求函数解析式和定义域； （3）利用（1）（2）中结论，得到，分类讨论的取值范围，结合基本不等式与函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 由题意得，第10天每件销售价格为元，第10天的销售量为50件， 所以，得； 【小问2详解】 由表格数据知：日销售量随时间的增长先增后减， 而①，②两函数都是单调函数，显然①②不符合， 而③满足题意，故选③， 则，解得，则， 综上，且定义域为； 【小问3详解】 由（1）（2）知，，，， 则， 所以， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时最小值为441元； 当时，在上单调递减， 此时最小值为元； 显然， 所以的最小值为. 19. 已知为偶函数，为奇函数，且满足. （1）求； （2）若方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，联立方程组，即可求解； （2）令，得到，根据题意，转化为有解，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，可得， 又因为为偶函数，为奇函数，所以， 联立方程组，解得，， 【小问2详解】 令，因为， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 则， 由方程有解，可得在上有解， 当时，不成立； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $