精品解析：广东省湛江市廉江市2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

安铺中学2024—2025学年度第一学期高一第三次月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 设则的值是（ ） A. 1 B. e C. D. 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若不等式的解集为，则 B. 函数为偶函数 C. 函数与是同一函数 D. 函数在区间上单调递减 11. 已知函数．，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则是增函数 C. 存在实数a，使得为偶函数 D. 若的定义域为，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是______． 13. 函数的单调递增区间是______. 14. 已知函数，若关于x的方程恰有四个不同实数解，则实数m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1） （2）． 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 17. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：. 18. 某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出． （1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式． （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 19. 已知定义域为的奇函数. （1）求a的值； （2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数. （3）若存在使成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安铺中学2024—2025学年度第一学期高一第三次月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】“”的否定是“”. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断. 【详解】由“”不能推出“”，所以“”不是“”的充分条件； 由“”可以推出“”，所以“”是“”的必要条件． 综上可知：“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：B. 5. 设则的值是（ ） A. 1 B. e C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式将数值代入即可. 【详解】由题意得，则. 故选：B 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点存在性定理即可求解. 【详解】解：函数， 对A，，，故A错误； 对B，，由选项A知，所以，故B正确； 对C，，由选项B知，，故C错误； 对D，，由选项C知，，故D错误. 故选：B. 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性求解不等式. 【详解】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据幂指运算，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若不等式的解集为，则 B. 函数为偶函数 C. 函数与是同一函数 D. 函数在区间上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二次不等式的解集得的两根为，根据韦达定理求解即可判断A，根据奇偶性的定义判断B，根据函数相等的两要素可判断C，根据对数函数单调性判断D. 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以的两根为，且，所以， 解得，所以，正确； 对于B，，定义域为R， 因为，所以函数是偶函数，正确； 对于C，要使函数有意义，则，所以， 即定义域为， 要使函数有意义，则，所以， 解得或，即定义域为， 故两函数定义域不相同，不是同一函数，错误； 对于D，当时，函数在区间上单调递增，错误. 故选：AB 11. 已知函数．，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则是增函数 C. 存在实数a，使得为偶函数 D. 若的定义域为，则a的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接计算函数值判断A，由复合函数单调性判断B，则偶函数定义（用反证法）判断C，利用真数恒大于0求解判断D． 【详解】A选项，，A正确； B选项，时，，定义域是， 由于是增函数，也是增函数，∴在定义域内是增函数，B正确； C选项，若存在实数，使得是偶函数，则有，即，， 从而，但的定义域不是，因此不可能是偶函数，C错； D选项，若的定义域为，则在R上恒成立，，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合对数运算，令即可得定点的坐标. 【详解】令得，此时， 即函数（且）恒过定点. 故答案为： 13. 函数的单调递增区间是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得的定义域，再令，然后利用复合函数的单调性求解. 【详解】由，解得或， 所以的定义域为． 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 根据复合函数的单调性知：的单调递增区间是. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于x的方程恰有四个不同实数解，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出函数，然后通过数形结合求出答案. 【详解】由于函数，作出其图象如图所示： 由得：， 则或， 由图知与只有一个交点，即方程有一个解； 由题意只需方程有三个解，则与有三个交点， 由图得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用指数幂运算及根式与有理数指数幂关系求值； （2）根据对数的运算性质求值即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个集合交、并、补的定义即可计算求解； （2）根据集合的包含关系，分和两种情况列式求解即可. 【小问1详解】 当时，，又， 所以或，所以， ； 【小问2详解】 ①当时，，解得，满足，符合题意； ②当时，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. 17. 已知函数是指数函数. （1）求的表达式； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：. 【答案】（1） （2） 由（1）知， 其定义域为R，关于原点对称， 又因为，所以是奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的定义求解即可； （2）结合指数运算，根据函数奇偶性的定义即可证明； （3）根据对数函数的单调性即可求解不等式的解集. 【小问1详解】 函数是指数函数，所以解得或2， 又，所以，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知：， 所以，解得：， 所以不等式的解集为. 18. 某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出． （1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式． （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润． 【答案】（1） （2）产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元 【解析】 【分析】（1）由分段代入计算即可得； （2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，， 当时，，对称轴， ， 当时，由基本不等式知，当且仅当， 即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元. 19. 已知定义域为的奇函数. （1）求a的值； （2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数. （3）若存在使成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）知，，任取，且， 则， 由，可知，则，，， ，即 函数在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质有恒成立，即可求参数值； （2）利用函数单调性定义证明的单调性； （3）依据单调性及有解问题，将问题化为在时有解，结合二次函数性质求函数最小值，即可得范围. 【小问1详解】 是定义域为的奇函数，，即， ，即恒成立，解得 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）结论，，整理得在时有解， 令，由，得， 设，则函数的对称轴为， 当时，函数取得最小值 ，即k的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $