精品解析：山东省淄博实验中学2024-2025学年高一上学期1月期末模拟检测数学试题

2024—2025学年度高一上学期期末模拟检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合交集运算求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 2. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的周期公式及奇偶性或图象逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数是最小正周期为的奇函数； 对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数； 对于C选项，函数是最小正周期为的奇函数； 对于D选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数是最小正周期为的偶函数. 故选：D. 3. 已知，，下列不等式成立的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质及指对函数的性质，逐项判定，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，对于A中，由，知， ，故本选项错误． 对于B中，由，知，，故本选项错误． 对于C中，由，知，，故本选项错误． 对于D中，由，知， ，则，即． 故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理准确推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的性质及特殊点的函数值的符号进行判断. 【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合两角和差的正余弦公式与同角三角函数的关系化简求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：D． 6. 对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据 ，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论. 【详解】依题意知，与为函数的“线性对称点”， 所以， 故（当且仅当时取等号）. 又与为函数的“线性对称点， 所以， 所以， 从而的最大值为. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题. 7. 已知函数，，则方程的所有实数解的和是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】令，得的图象关于点对称，利用导数知在上有且只有一个零点，则在上有且只有一个零点，故. 【详解】令，其定义域为， 令，显然是奇函数， 则其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称. 先讨论在上方程的所有实数解的情况，即函数的零点情况， 因为，，， 所以，所以在上单调递减， 又时，，， 所以在上有且只有一个零点， 又的图象关于点对称，所以在上有且只有一个零点， 且，即方程的所有实数解的和是2. 故选：C 【点睛】关键点点睛：令，得的图象关于点对称，利用对称性求零点和. 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是偶函数，在区间上单调，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性判断函数值的大小即可. 【详解】函数是偶函数，在区间上单调，， ， 函数在区间上单调递增，区间上单调递减， ，，，. 故选：AD 10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据图象得到，A错误；B选项，先根据最小正周期求出，代入特殊点坐标，求出，，得到B正确；C选项，代入检验得到在区间上单调递增；D选项，求出，利用函数奇偶性定义判断. 【详解】A选项，设的最小正周期为， 由图象可知，解得，A错误； B选项，因为，所以，解得， 故， 将代入解析式得， 因为，所以解得， 因为函数经过点，所以，故， 的最大值为2，B正确； C选项，， 当时，， 因为在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确； D选项，，由于与不一定相等，故不是偶函数，D错误. 故选：BC 11. 已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据中心对称为，得到，A错误；B选项，变形得到，赋值得到B正确；C选项，根据函数的对称中心得到，C正确；D选项，根据题目条件得到，变形为，D正确. 【详解】对于A，因为的对称中心为，则， 将变为得，变形得，故A错误； 对于B，由A知，，结合已知，， 即，令，得，故B正确； 对于C，的图象可由的图象向左平移1个单位长度后， 再向下平移2个单位长度， 由的图象关于中心对称知，的图象关于中心对称，即为奇函数，故C正确； 对于D，由，令，得， 即，. 令，定义域为，所以， 所以为偶函数，故D错误. 故选：BC 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称； 若，则函数关于对称. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】把转化为，利用差角的正弦公式化简即得解. 【详解】原式 故答案为： 13. 已知，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式求值即可. 【详解】因为. 故答案为：2 14. 已知若函数，，若函数)恰有两个不相等的零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与方程的关系转化为，构造函数和，利用数形结合转化两个函数有两个不同的交点即可得到结论． 【详解】由得， 设 设 作出和的图象如图： 当时，即时，， 此时，即此时两个函数有个交点，不满足条件． 当时，即时，要使两个函数有两个交点， 则此时只需要满足，即 此时 当时，即时，此时时，两个函数一定有一个交点， 则此时只要在时有一个交点即可， 此时当 此时只要满足，即即可， 综上所述，实数的取值范围是或 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握零点定义和根据零点求参的方法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于难题. 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 【答案】（1）， （2）9 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集，确定且的两根为和，再结合韦达定理即可求解； （2）先由题中条件，得到，再由展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）不等式的解集为，则，且的两根为和， 则，所以； （2）由，可得，即. 又，所以， 当且仅当时，即时等号成立. 16. 在中，内角所对的边分别是，若，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得，进而利用余弦定理可求得； （2）利用同角的正余弦公式可求得，进而利用正弦定理求得 （3）先求得，进而利用两角差的正弦公式可求得. 【小问1详解】 由， 得，且，则， 又因为， 解得； 【小问2详解】 因为，得 且 解得； 【小问3详解】 因为， ， . 17. 已知定义在上的函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）解不等式. 【答案】（1）增函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可作出判断与证明； （2）利用函数为奇函数，把不等式转化为，再利用的单调性，得出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 函数在上是增函数，证明如下： 设，则 ， ，，且，则， 则，即，所以函数在上是增函数. 【小问2详解】 ，，故是奇函数， ，， 是定义在上的增函数， ，解得， 所以不等式的解集为. 18. 在锐角中，分别是角的对边，，，且． （1）求角的大小； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得，进而得到； （2）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为，根据的范围可确定的范围，结合正弦函数图象可确定所求函数的值域. 【详解】（1），， 由正弦定理得：， 即， ，，， 又，. （2）在锐角中，，． ． ，，，， 函数的值域为． 【点睛】本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题；涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识. 19. 已知函数，其中． （1）若，函数为奇函数，求实数的值； （2）若，求函数在内的零点个数； （3）若且，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质可得到结果； （2）令可求得函数的零点个数； （3）由得到，将其代入函数，再根据不等式恒成立，通过分析函数的单调性可得到结果. 【小问1详解】 若，则，即， 因为函数为奇函数，所以， 即，解得； 【小问2详解】 若，则， 令，因为分母不可能为零， 所以，即， 解得或， 当时，函数在内有两个零点和， 当时，函数在内只有一个零点； 【小问3详解】 因为，所以，则， 即， 因为，，所以， 要使不等式对任意恒成立， 只需对任意恒成立， 令，其对称轴为，函数在上单调递增， 所以， 要使恒成立，则， 即，解得，又，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数的零点、函数恒成立问题，关键点点睛： （1）判断函数奇偶性时，一定要先分析函数的定义域； （2）函数的零点是当时的值； （3）对于恒成立问题，若不等式对任意的恒成立，只需让即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度高一上学期期末模拟检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，下列不等式成立的是（　　）． A. B. C. D. 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，则方程的所有实数解的和是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是偶函数，在区间上单调，若，则有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数 11. 已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为奇函数 三.填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分. 12. 计算：________． 13. 已知，则________． 14. 已知若函数，，若函数)恰有两个不相等的零点，则实数的取值范围为______. 四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 16. 在中，内角所对的边分别是，若，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 已知定义在上的函数. （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）解不等式. 18. 在锐角中，分别是角的对边，，，且． （1）求角的大小； （2）求函数的值域． 19. 已知函数，其中． （1）若，函数为奇函数，求实数的值； （2）若，求函数在内的零点个数； （3）若且，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $