精品解析：黑龙江省富锦市某校2024-2025学年高二上学期第三次考试数学试卷

2024-2025学年度高二学年上学期第三次考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一．单项选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 已知向量，且，那么（ ） A. B. 9 C. D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】，则，使得，据此计算即可. 【详解】依题意，由可知，，使得，于是，解得 于是. 故选：D. 2. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数m的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线方程得出，再利用渐近线定义得，解方程求出值. 【详解】已知方程表示的曲线为双曲线，所以， 该双曲线的渐近线为，又，得出 故选：B. 3. 如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 故选：A. 4. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程. 【详解】∵椭圆的右焦点坐标为， ∴抛物线的焦点坐标为， ∴抛物线准线方程为， 故选：D. 5. 已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程 【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为， 因为直线过点，所以，得， 所以直线方程为， 故选：B. 6. 已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合弦长公式，即可求解的中点的轨迹方程，根据向量的运算可得，再结合点与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心坐标，半径， 设圆心到直线距离为， 由圆的弦长公式，可得，即，解得， 设的中点为， 点的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆， 的轨迹方程为， 因为， 又，， 即, 即的取值范围为 . 故选：C 7. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为， 则点A到平面的距离. 故选：C 8. 已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用圆切线性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆：可化为， 所以圆心，半径为， 因为，是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值，此时的方程为， 联立，解得，即， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解. 二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线斜率为，则它的倾斜角为 B. 若，，则直线的倾斜角为 C. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D. 若直线的斜率为，则这条直线必过与两点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除D. 【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确； 对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即， 易知，故直线必过，故C正确； 对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误． 故选：ABC. 10. 在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列各选项正确的是（ ） A. 四面体外接球的表面积为 B. 点B与点D之间的距离为 C. 四面体的体积为 D. 异面直线与所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出，即可判定 A正确；分别作，垂足为E，F，利用向量法求出，即可判定B错误；证明平面，求出，故C正确；利用向量法求出，所以异面直线与所成的角为，故D正确， 【详解】解：如图，因为和都是以为斜边的直角三角形，则为四面体外接球的直径． 因为，则， 所以四面体外接球的表面积为，故A正确； 分别作，垂足为E，F，则． 由已知可得，．因为，则 ，所以，故B错误； 因， 则．同理．又，平面， 则平面，所以，故C正确； 由已知可得，，， 则，则，得， 所以异面直线与所成的角为，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 的面积为 D. 直线与圆相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线平行于双曲线的渐近线，得到直线的方程为，联立方程组求得坐标，代入方程化简得，利用双曲线的离心率公式判断A，利用双曲线渐近线方程判断B，结合纵坐标求得面积判断C，利用点到直线的距离公式判断D. 【详解】不妨设直线平行于双曲线的渐近线， 从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为， 设直线与直线相交于点， 联立方程组，解得，即， 又，结合中点坐标公式，可得， 代入双曲线，可得，整理得，， 对于A，双曲线的离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线，故B错误； 对于C，的面积，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 故直线与圆相切，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（共92分） 三 、填空题：(本大题共3小题，每题5分，共计15分) 12. 已知圆，若直线与圆C相交得到的弦长为，则____________． 【答案】##-0.75 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k的方程，解之即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 则圆心到直线即的距离为 ，所以， 有，解得. 故答案为：. 13. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知可得，，.根据椭圆的定义有，根据有.即可求出，进而求出三角形的面积. 【详解】 由已知可得，，，所以，. 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，， 所以. 又，所以为直角三角形，则， 所以，所以. 故答案为：3. 14. 已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱，的中点，点P在平面内，点Q在线段上，若，则长度的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得点在以为圆心，为半径的位于平面内的半圆上，点到的距离减去半径就是长度的最小值，结合图形，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取中点，连接，则平面，所以，因为，正方体的棱长为2，为的中点，所以，，所以点在以为圆心，为半径的位于平面内的半圆上，单独画出平面以及相关点线，所以点到的距离减去半径就是长度的最小值，连接，做交于点，则 ，所以，解得，所以长度的最小值为. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时要写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15. 已知圆经过点和，其圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，代入点的坐标，解方程即可求得圆的标准方程. （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 所以， 解得， 故圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）可知圆心为． ①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 由题意，圆心到直线的距离等于半径2，即，解得， 此时直线的方程为． 综上，所求直线的方程为或． 16. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由离心率求得关系，然后由短轴长求得，从而求得得椭圆方程； （2）确定直线斜率存在，设直线的方程为，,直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，，再代入求得得直线方程． 【小问1详解】 由题意得，， 所以. 因为短轴长为4，所以，解得， 所以， 所以E的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，, 当直线的斜率不存在时，则，， 此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而， 则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在. 设直线的方程为，, 联立，消去y得，， ，且，. 因为以为直径的圆经过点，所以. 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即， 即直线的方程为或. 17. 已知点在双曲线上，且的实轴长为，，分别为的左、右焦点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与交于另一点，且点位于轴下方，若，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义及已知条件列出方程组来求解和. （2）利用三角形面积关系得到直线平行关系，进而得出直线方程，再通过联立直线方程与双曲线方程求解点的坐标. 【小问1详解】 由题设条件，可得， 解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以点 到直线的距离相等. 又点位于轴下方，所以 由（1）可知， 所以，则直线的方程为 联立 整理得解得或. 当时，点；当时，点， 综上，点的坐标为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析． （2） 【解析】 【分析】（1）连接并于点，证明，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）先证明平面，然后以为原点，分别为轴，过与平行直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值． 【小问1详解】 连接并于点，如图，连接， 正方形中，是中点，则， ，则，所以，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 是等边三角形，是中点，所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，分别为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，，， ， 设平面的一个法向量是， 则，取，则， 易知平面的一个法向量是， ， 所以平面与平面夹角的余弦值是． 19. 动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 【答案】（1）; （2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）利用几何意义转化为坐标运算，即可得抛物线方程； （2）①利用直线过轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，再假设直线方程，再利用两交点纵坐标之积为定值，得到定点坐标； ②求这两个三角形的面积时，都只需要用到它们的纵坐标，然后都转化到两点的纵坐标上来，再利用韦达定理把面积转化到关于系数的函数上来求解最值即可. 【小问1详解】 设动点的坐标为， 由动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小1， 可得：，移项平方得：， 整理得：， 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标，则， 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则， 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则， 设直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，由交点坐标则， 而，即，解得， 所以直线为，即直线过定点； ②与面积之和为 ， 当时，即垂直于轴时，面积之和取到最小值. 【点睛】关键点点睛：利用直线过轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，反之，如果两个交点的纵坐标之积为定值，就这条直线必过轴上的一个定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二学年上学期第三次考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一．单项选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 已知向量，且，那么（ ） A. B. 9 C. D. 18 2. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数m的值为（ ） A. B. 4 C. D. 3. 如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l一般式方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是圆上不同的两个动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为直线：上动点，过点作圆：的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线斜率为，则它的倾斜角为 B. 若，，则直线的倾斜角为 C. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D. 若直线的斜率为，则这条直线必过与两点 10. 在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列各选项正确的是（ ） A. 四面体外接球的表面积为 B. 点B与点D之间的距离为 C. 四面体的体积为 D. 异面直线与所成角为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 的面积为 D. 直线与圆相切 第Ⅱ卷（共92分） 三 、填空题：(本大题共3小题，每题5分，共计15分) 12. 已知圆，若直线与圆C相交得到的弦长为，则____________． 13. 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为____________． 14. 已知正方体棱长为2，点M，N分别是棱，的中点，点P在平面内，点Q在线段上，若，则长度的最小值为____________. 三、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时要写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15. 已知圆经过点和，其圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程. 16. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； 17. 已知点在双曲线上，且的实轴长为，，分别为的左、右焦点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与交于另一点，且点位于轴下方，若，求点的坐标. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知点，过直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$