精品解析：吉林省吉林市田家炳高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

吉林市田家炳高级中学2024—2025学年上学期高一年级 12月考试数学学科试卷 满分：150分考 试时间：120分钟 命题人 审题人：高二命题组 注意：本试卷包含I､Ⅱ两卷.第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在签题卷的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分. 一､单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 2. 设，则“”是“为第二象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，若在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与的终边相同 B. 若为第二象限角，则为第一象限角 C. 终边经过点的角的集合是 D. 若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 10. 下列命题正确的是（ ） A. 要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B. 在上恒成立，则实数k的取值范围是 C. 关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D. 若不等式的解集为或，则 11. 已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则（ ） A. 的最小正周期是 B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知，，则______.（用数字作答） 13. 已知，，且，则的最小值为________. 14. 定义运算，已知函数，若恒成立，则的取值范围为________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 设全集，集合，区间，其中. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 已知幂函数为偶函数. （1）求幂函数的解析式； （2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 17. 茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料(茶叶、咖啡和可可)之一，并将成为世纪的饮料大王.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟后茶水的温度是. （1）求的值； （2）经验表明，当室温为摄氏度时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到） （附：参考值） 18. 已知. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 19. 设常数. （1）已知的图象过点，求实数的值； （2）当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市田家炳高级中学2024—2025学年上学期高一年级 12月考试数学学科试卷 满分：150分考 试时间：120分钟 命题人 审题人：高二命题组 注意：本试卷包含I､Ⅱ两卷.第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在签题卷的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分. 一､单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意知，，所以. 故选：A. 2. 设，则“”是“为第二象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系及必要不充分条件定义判断即可. 【详解】因为，所以可以是第二象限角或第三象限角， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 设是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，故， 此时，所以， 满足是定义在上的奇函数， 所以. 故选：B. 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，因为，则有， 所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，又因为， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又因为， 所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，且， 所以，故D错误. 故选：D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的周期性和对称性来求得正确答案. 【详解】由图可知，的最小正周期， ， 根据对称性可知， 则，由于，所以， 所以. 故选：C 6. 已知函数是定义在上的奇函数，若在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，由，对分和讨论，利用函数单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】为奇函数， ，且函数在轴两侧单调性相同， 在区间上单调递增， 在区间上单调递减 则对于求解集，使用分类讨论思想： （1）当，，，且在区间上单调递增， ； （2）当，，，且在区间上单调递增， . 综上所述：， 故选：C． 7. 已知角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】切化弦，然后可得，再结合平方关系式和诱导公式可得. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以，解得或， 因为，可得，， 所以得，可得，可得， 所以． 故选：A． 8. 已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、讨论，分别根据没有零点，结合指数函数与对数函数的性质求出的范围，再求交集可得答案． 【详解】因为， 时，， 若无解，则或； 时，， 若无解，则， 因为函数在上没有零点， 所以． 故选：D． 二､多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与的终边相同 B. 若为第二象限角，则为第一象限角 C. 终边经过点的角的集合是 D. 若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用终边相同的角的概念可判断A；利用特殊值法可判断B；由终边相同角的定义可判断C；利用扇形的面积公式可判断D． 【详解】对于A：因为，所以与的终边相同，故A正确； 对于B：取，则为第二象限角，但为第三象限角，故B错误； 对于C：终边经过点的角的集合是，故C正确； 对于D：设扇形的半径为，则由题意得， 所以扇形的面积为，故D正确． 故选：ACD． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B. 在上恒成立，则实数k的取值范围是 C. 关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D. 若不等式的解集为或，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A：令，则，即可求得a的范围；B：令，则，即可求得k的范围；C：根据题意求出a和b的关系，化简即可求出解集；D：根据二次方程根与系数的关系求出间的关系，即可判断abc的符号． 【详解】对于A，要使关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 令，则有， 解得，故A正确； 对于B，∵在上恒成立，令， 则，解得，故B错误； 对于C，∵关于x的不等式的解集是，∴， 则关于x的不等式的不等式等价于，即， 解得或，故C错误； 对于D，若不等式的解集为或，则， 得，，，所以，故D正确． 故选：AD. 11. 已知函数满足，若在区间上恰有3个零点，则（ ） A. 的最小正周期是 B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由周期公式即可判断A；由得是函数的一条对称轴即可判断B；由函数周期即可求出函数在之后的零点，结合题设即可判断CD. 【详解】对于A，由题可知函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，因为，所以是函数的一条对称轴， 所以，故B正确； 对于CD，函数在之后的零点依次为，，，，…， 因为在区间上恰有3个零点，所以这三个零点为，，， 所以.故C正确，D错误. 故选：BC. 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知，，则______.（用数字作答） 【答案】45 【解析】 【分析】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得. 【详解】由，可得， 又，则. 故答案为：45. 13. 已知，，且，则的最小值为________. 【答案】16 【解析】 【分析】利用基本不等式得出关于的不等式，然后解不等式可得． 【详解】因为，，所以由基本不等式可得， 即，当时等号成立， 令，则不等式变为，解得或（舍去）， 即，所以，即的最小值为16. 故答案为：16. 14. 定义运算，已知函数，若恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义确定的解析式，得出的最大值，然后解相应的不等式可得参数范围． 【详解】由，得， 因为函数和都是上的增函数， 所以在上单调递增， 又时，，所以方程有唯一解； 函数和的图象如下： 根据，可得，函数的图象如下： 由恒成立，得恒成立，即， 由图可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 所以，则，解得或， 则的取值范围是 故答案为：． 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 设全集，集合，区间，其中. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得，. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 ，解得，所以， 当时，，所以， 或，所以. 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则，且， 所以，且等号不同时成立， 解得. 16. 已知幂函数为偶函数. （1）求幂函数的解析式； （2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数和偶函数的性质求解即可； （2）构造，问题转化为，结合二次函数的性质分析即可； 【小问1详解】 ∵幂函数为偶函数 ∴ 即，解得或， 当时，为偶函数，符合条件； 当时，为奇函数，不符合条件； ∴函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，则 由，得，即， 令，依题意，对任意，恒成立， ∴ ∵函数在上单调递减， ∴，故， ∴实数的取值范围是. 17. 茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料(茶叶、咖啡和可可)之一，并将成为世纪的饮料大王.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟后茶水的温度是. （1）求的值； （2）经验表明，当室温为摄氏度时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到） （附：参考值） 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意列出等量关系式，求解即可； （2）代入得 然后结合，求解时间； 【小问1详解】 根据题意，当 代入函数模型，整理得：， 解得：. 【小问2详解】 假设自然冷却大约时间能达到最佳饮用口感， 则有：，代入， 得：， 所以刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置后才能达到最佳饮用口感. 18. 已知. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数商的关系化简可得； （2）由齐次式可得； （3）由同角三角函数得，根据诱导公式可得，进而可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由得， 故. 【小问3详解】 由得，故， 又，故， 当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，， 因， 故当为第一象限角时，， 当为第三象限角时，. 19. 设常数. （1）已知的图象过点，求实数的值； （2）当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个实数根，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，求出值即可； （2）将，代入解析式，得，利用换元法结合二次函数的单调性求出函数的最小值，根据已知条件有，即可求解； （3）利用换底公式化方程为，利用换元法及韦达定理得，根据解出的范围即可. 【小问1详解】 因为图象过点，所以， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，， 因为，所以， 令，则有，， 函数的对称轴为，所以， ，所以， 因为对任意，都有恒成立， 所以，所以，即实数的取值范围为：. 【小问3详解】 因为，则， 化为， 整理有：， 因为，所以， 所以原式可化为：， 令，则有， ， 所以方程有两个根，设为、，且，， 所以，， ， 又因为， 所以，因为，所以， 所以，即，， ，，，， 又因为，所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换底公式以及换元法得到：，然后利用解出的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $