考点65随机事件与概率（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

考点65随机事件与概率 （3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别. 2.理解事件间的关系与运算. 3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 【知识点】 1．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示． ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 2．两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若A发生，则B一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) A与B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 3．古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 4．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 5．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 6．频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 常用结论 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 【核心题型】 题型一　随机事件 事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式． 命题点1　随机事件间关系的判断 【例题1】（2024·上海虹口·一模）已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（   ）． A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥 【变式1】（2023·四川内江·三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（    ） A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件 C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件 【变式2】（2024·江苏·模拟预测）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（    ） A． B． C．互斥 D．相互独立 【变式3】（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A={（正，反）}，写出事件A的一个互斥事件 .（用集合表示，写出一个即可） 命题点2　利用互斥、对立事件求概率 【例题2】（2024·辽宁·模拟预测）某疾病全球发病率为，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为，则某人检测成阳性的概率约为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川宜宾·模拟预测）某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6门课，分别为篮球､足球､排球､网球､羽毛球､乒乓球，甲､乙两名学生准备从中各选择2门课学习，则甲､乙选修的课中至少有1门相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为 ，第三天不玩手机的概率为 . 【变式3】(2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者. (1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终小金获胜的概率. (3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）. 题型二　古典概型 利用公式法求解古典概型问题的步骤 【例题3】（2024·广东佛山·一模）抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川宜宾·一模）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 【变式3】（2024·上海崇明·一模）已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 题型三　概率与统计的综合问题 求解古典概型的综合问题的步骤 (1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定样本点个数； (4)代入古典概型的概率公式求解． 【例题4】（2024·上海闵行·一模）为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示： 睡眠时长（小时） 人数 150 270 180 注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足． (1)估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？ (2)估计该市高三学生日均睡眠时长； (3)若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率． 【变式1】（2024·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 【变式2】（2024·上海青浦·一模）第七届中国国际进口博览会于 2024 年 11 月 5 日至 10 日在上海举办，某公司生产的 、 三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表: （单位:个） 产品 产品 产品 普通装      180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取 100 个，其中 款产品有30 个. (1)求 的值； (2)用分层抽样的方法在 款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取 2 个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率; (3)对抽取到的 款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2， 精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的 款产品的某种指标的总体方差 （精确到 0.01 ）. 【变式3】（2024·上海虹口·一模）2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示． (1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数； (2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率； (3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差． 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）学业成绩是否优秀与日均体育锻炼时长有关．据调查，某校大约有的学生学业成绩优秀，大约有的学生日均体育锻炼时长超过1.5h，且其中日均体育锻炼时长超过1.5h的学生学业成绩的优秀率约为．现从日均体育锻炼时长不超过1.5h的学生中任意调查一名学生，则他的学业成绩优秀的概率约为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了和两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛和两位同学各答1题.已知同学每轮答对的概率是，同学每轮答对的概率是，每轮竞赛中和两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则和两位同学至少答对3道题的概率为（     ）. A． B． C． D． 4．（2024·河南南阳·三模）甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（    ） A．事件，，是两两互斥的事件 B．事件与事件为相互独立事件 C． D． 二、多选题 5．（2023·浙江·模拟预测）不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球"，则（    ） A． B． C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件 6．（2024·全国·模拟预测）连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X，掷出点数之和为Y，则（    ） A．事件“X为奇数”发生的概率 B．事件“”发生的概率为 C．事件“”和事件“”相等 D．事件“”和事件“Y＝6”独立 三、填空题 7．（2023·黑龙江大庆·一模）一个口袋里有大小相同的白球个，黑球个，现从中随机一次性取出个球，若取出的两个球都是白球的概率为，则黑球的个数为 ． 8．（2024·广东广州·模拟预测）在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为 ． 四、解答题 9．（2023·陕西榆林·模拟预测）人的性格可以大体分为“外向型”和“内敛型”两种，为了研究这两种性格特征与人的性别是否存在关联，某大学从该校学生中随机调查了400人，统计结果如下表： 外向型 内敛型 合计 男性 120 80 200 女性 60 140 200 合计 180 220 400 (1)分析是否有的把握认为这两种性格特征与人的性别之间存在关联； (2)在“外向型”的180人中按性别利用分层抽样抽取6人，再在这6人中随机抽取2人，求这2人性别不同的概率. 参考公式：，. 临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 10．（2024·陕西铜川·模拟预测）某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取400件产品作为样本，产品的质量情况统计如表： 一等品 二等品 合计 设备改造前 220 180 400 设备改造后 300 100 400 合计 520 280 800 (1)判断是否有99.9%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关? (2)从设备改造后的产品中按产品的质量用分层抽样的方法抽取8件产品，再从这8件产品中随机抽取2件，求抽出的2件全是一等品的概率． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·山西太原·模拟预测）由于天气原因，夏季相关部门加大对水果储运环节的抽检力度，坚决杜绝腐烂变质的水果流入市场，下表是对运到仓储点的某种水果进行抽检后得到的数据． 车辆 甲 乙 丙 丁 抽检数量/个 35 60 50 55 合格数量/个 32 56 47 53 若从运到仓储点的四车水果中随机抽出一个，则估计这个水果不能上市的概率为（    ） A．0.06 B．0.08 C．0.1 D．0.12 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（    ） A．0.85 B．0.7 C．0.5 D．0.4 3．（2024·云南昆明·模拟预测）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西·模拟预测）空气质量指数（AQI）是一种评价大气环境质量状况简单而直观的指标.AQI能直观地向公众报告空气质量的级别，让人们快速了解当前空气的清洁或污染程度.当时，空气质量等级为优；当时，空气质量等级为良；当时，空气质量等级为轻度污染；当时，空气质量等级为中度污染；当时，空气质量等级为重度污染；当时，空气质量等级为严重污染.某市2024年9月的空气质量指数统计表如下： 空气质量指数（AQI） 35 65 100 113 124 130 天数 11 10 3 3 2 1 若从该市2024年9月任选一天，则该天的空气质量等级达到优或良的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东烟台·三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（    ） A．事件与相互独立 B．事件与是互斥事件 C．事件与相互独立 D．事件与是对立事件 7．（2024·山西太原·一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·上海嘉定·一模）假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 二、多选题 9．（2024·四川内江·一模）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记随机事件“点数为”，其中，则下列论述正确的是（   ） A． B．若“点数大于”，则 C．若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”，则 D．若重复抛掷骰子，则事件发生的频率等于事件发生的概率 10．（2024·浙江·一模）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 11．（2024·重庆·模拟预测）“我上春山，约你来见”，重庆市育才中学校2024读书节之“上春山读书赏读会”于2024年4月1日拉开帷幕，主办方为同学们提供了丰富多彩的活动，其中有一栏名为“用诗意串联灵感与创意”的活动，同学们需要从主持人给出的4个校园景观和2个植物名称的名词牌中随机选出2个，结合自己的语言完成连词成句．记事件“该同学选出的两个名词牌中至少有一个是校园景观”，事件“该同学选出的两个名词牌中至少有一个是植物名称”．则下列说法正确的是（    ） A．事件发生的概率为 B．事件与事件互斥 C． D． 三、填空题 12．（2024·上海长宁·一模）投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是 ． 13．（2024·浙江·模拟预测）已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是 ；得0分的概率是 . 14．（2024·河北张家口·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束．已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率 ． 四、解答题 15．（2024·浙江嘉兴·二模）为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有呈阳性（流感），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染） (1)估计该市流感感染率是多少？ (2)根据所给的数据，判断是否有99％的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关； (3)已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001） 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校的“强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高考分数高于690分的学生分别有1名和2名．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，三个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同学都报考了高校的“强基计划”． (1)分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校提前录取的概率； (2)从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两位同学都通过“强基计划”被高校提前录取的概率． 17．（2024·广东佛山·模拟预测）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②： ①； ②． (1)写出最小的“漂亮数”； (2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”； (3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率． 18．（2024·上海宝山·一模）甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； (3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 19．（2024·广东河源·模拟预测）拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上． (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……） 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2023·四川广安·模拟预测），两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，则，不去同一城市上大学的概率为（    ） A．0.3 B．0.56 C．0.54 D．0.7 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 3．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（    ） A． B．事件B与事件C是互斥事件 C． D． 5．（2024·广东佛山·二模）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则B与C互斥 三、填空题 6．（2024·全国·模拟预测）已知随机事件，若；则 ． 7．（2023·福建·模拟预测）若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是 . 四、解答题 8．（2024·浙江·二模）小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字． (1)求五张卡片上的数字都不相同的概率； (2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5． 9．（2025·上海·模拟预测）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边． (1)求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 10．（2023·河北沧州·三模）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. (1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； (2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点65随机事件与概率 （3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别. 2.理解事件间的关系与运算. 3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率． 【知识点】 1．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示． ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 2．两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 若A发生，则B一定发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) A与B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 3．古典概型的特征 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 4．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 5．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 6．频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 常用结论 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 【核心题型】 题型一　随机事件 事件关系的运算策略 进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式． 命题点1　随机事件间关系的判断 【例题1】（2024·上海虹口·一模）已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（   ）． A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥 【答案】B 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可. 【详解】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误； 因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误； 抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件， 则，，显然事件和事件不互斥，故D错误. 故选：B 【变式1】（2023·四川内江·三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（    ） A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件 C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件 【答案】D 【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案. 【详解】一个人连续射击次，其可能结果为击中次，击中次，击中次， 其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次， 事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误； 事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中， 事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误； 事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误； 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确； 故选：D 【变式2】（2024·江苏·模拟预测）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（    ） A． B． C．互斥 D．相互独立 【答案】D 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断可得出结果. 【详解】对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错； 对于B: 时，事件发生同时不发生，所以B错； 对于C: 时，A,B同时发生，所以C错； 对于D: ，则相互独立，所以D正确. 故选：D 【变式3】（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A={（正，反）}，写出事件A的一个互斥事件 .（用集合表示，写出一个即可） 【答案】{（正，正） 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的定义直接写出事件A的一个互斥事件作答. 【详解】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 其中事件{（正，正），{（反，正），{（反，反）与事件A都不可能同时发生， 所以事件A的一个互斥事件可以是：{（正，正）. 故答案为：{（正，正） 命题点2　利用互斥、对立事件求概率 【例题2】（2024·辽宁·模拟预测）某疾病全球发病率为，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为，则某人检测成阳性的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求得非患者检测为阳性的概率与患者检测为阳性的概率，可求得结论. 【详解】由题意，未患病者判定为阳性的概率为，患病者判定为阳性的概率为， 某人检测成阳性包含两种情况： ①非患者检测为阳性的概率为； ②患者检测为阳性的概率为， 所以某人检测成阳性的概率为． 故选：D. 【变式1】（2024·四川宜宾·模拟预测）某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6门课，分别为篮球､足球､排球､网球､羽毛球､乒乓球，甲､乙两名学生准备从中各选择2门课学习，则甲､乙选修的课中至少有1门相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析甲､乙选修的课中没有相同的科目的概率，再根据对立事件的概率和为1求解即可. 【详解】由题意，当甲选了2门后，乙再选课，则甲､乙选修的课中没有相同的科目的概率为，故甲､乙选修的课中至少有1门相同的概率为. 故选：C 【变式2】（2024·天津河北·二模）学习小组为了研究手机对学生学习的影响，对本学校学生手机使用情况统计分析有以下结果：若学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7，若学生前一天玩手机，接下来一天也玩手机的概率为0.8. 已知一个学生第一天没玩手机，根据这个统计结果计算，那么他第二天玩手机的概率为 ，第三天不玩手机的概率为 . 【答案】 0.3 0.55 【分析】根据题意由对立事件概率公式得第二天玩手机的概率，再由全概率公式得第三天不玩手机概率即可. 【详解】由题意，学生前一天没有玩手机，则接下来一天也不玩手机的概率为0.7， 所以一个学生第一天没玩手机，那么他第二天玩手机的概率为， 由全概率公式知第三天不玩手机的概率为. 故答案为：； 【变式3】(2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者. (1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终小金获胜的概率. (3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求解即可. （2）根据互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可. （3）法一：利用条件概率求解即可；法二：根据事件的含义利用互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可. 【详解】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意； 第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意； 所以需要下第四场比赛的概率为 （2）由题意，最终小金获胜的情况如下， 当小金第一场轮空， 第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时， 第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 则小金获胜， 当小金第一场不轮空， 第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场小郅胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输，此时， 所以第一场小郅与小金比赛，小金获胜概率为， 同理，第一场小睿与小金比赛，小金获胜概率为， 故小金获胜概率为 （3）法一：设A：小金最终获胜；B：小郅第一场未轮空且获胜，则， 结合（2）知， 法二：第一场小睿轮空时，小金最终获胜概率为， 第一场小金轮空时，小金最终获胜概率为， 题型二　古典概型 利用公式法求解古典概型问题的步骤 【例题3】（2024·广东佛山·一模）抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法，利用古典概型计算公式，即可求解. 【详解】掷出的两枚骰子的点数之和为6点包含，共5种情况，其中点数均为奇数的有，共3种情况， 所以概率. 故选：A 【变式1】（2024·四川宜宾·一模）从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案. 【详解】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张， 有，，，，，，，，，，，，，，共15种取法， 其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，共9种情况， 则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率. 故选：C. 【变式2】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 【答案】 【分析】先写出基本事件总数，再求出所有卡片上的数字之和，得到抽出的3张卡片上的数字之和应为，列举出和为的3张卡片即可求解. 【详解】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为， 因为， 所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等， 则抽出的3张卡片上的数字之和应为， 则抽出的3张卡片上的数字的组合有或或共3种， 所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为的样本点个数共3个， 所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为. 故答案为：. 【变式3】（2024·上海崇明·一模）已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 【答案】 【分析】求出所有函数的个数，再求出增函数的个数，利用古典概型的概率公式可求对应的概率. 【详解】若函数的定义域为，值域为， 则不同的函数的个数为， 其中增函数共有3个： （1）； （2）； （3）； 故所求概率为， 故答案为：. 题型三　概率与统计的综合问题 求解古典概型的综合问题的步骤 (1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定样本点个数； (4)代入古典概型的概率公式求解． 【例题4】（2024·上海闵行·一模）为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示： 睡眠时长（小时） 人数 150 270 180 注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足． (1)估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？ (2)估计该市高三学生日均睡眠时长； (3)若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率． 【答案】(1)4.95（万人） (2)（小时） (3) 【分析】（1）由样本中日均睡眠时长大于等于6小时的频率估计总体即可； （2）用样本平均数估计总体平均数即可； （3）由古典概型结合组合数公式即可求解. 【详解】（1）由题知，随机抽取的600人中日均睡眠时长大于等于6小时的人数为（人）， 所以估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为（万人）； （2）随机抽取的600人的日均睡眠时长为（小时）， 所以估计该市高三学生日均睡眠时长约为（小时）； （3）从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，抽样比例为， 所以睡眠时长在抽取（人）， 睡眠时长在抽取（人）， 睡眠时长在抽取（人）， 则从这20人中随机抽取4人，这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率为. 【变式1】（2024·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 【答案】(1)1600 (2) (3) 【分析】根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案． 根据极差可得，再结合学生总数量为100，可求出，再根据求第百分位数的方法即可求得. 根据古典概型的概率计算，如果一次实验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件包含的结果有个，那么事件的概率为，即可解得. 【详解】（1）设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. （2）因为抽取100名学生的样本极差为2，所以 又因为，所以样本的第40百分位数为： （3）因为100名学生的样本中随机抽取三个学生的总情况数为： 其中至少有1个数据来自高三学生的情况为： 所以至少有1个数据来自高三学生的概率为： 【变式2】（2024·上海青浦·一模）第七届中国国际进口博览会于 2024 年 11 月 5 日至 10 日在上海举办，某公司生产的 、 三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表: （单位:个） 产品 产品 产品 普通装      180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取 100 个，其中 款产品有30 个. (1)求 的值； (2)用分层抽样的方法在 款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取 2 个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率; (3)对抽取到的 款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2， 精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的 款产品的某种指标的总体方差 （精确到 0.01 ）. 【答案】(1)100； (2)； (3). 【分析】（1）由分层随机抽样的抽样比直接计算即可； （2）由古典概型结合组合数公式即可求解； （3）根据分层抽样总体的方差公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，该工厂一天所生产的产品数为 现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个， 则，解得. （2）设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得 所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品. 因此从样本中任取 2 个产品，至少有1个精品装产品的概率为 （3）由题意，某项指标总体的平均数为， 所以由分层抽样的总体方差公式可得 【变式3】（2024·上海虹口·一模）2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示． (1)求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数； (2)若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率； (3)已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差． 【答案】(1) (2) (3)这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，. 【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可； （2）先求出的人数，利用对立事件结合古典概型求解即可； （3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【详解】（1）∵， ∴第35百分位数为第两个数的平方数 （2）由图1可知，图2中有2人， 所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件， 所以. （3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7， 位于上的均值为73，方差为134.6， 所以， 设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为， 所以，解得：， ， 解得：. 这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为， 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）学业成绩是否优秀与日均体育锻炼时长有关．据调查，某校大约有的学生学业成绩优秀，大约有的学生日均体育锻炼时长超过1.5h，且其中日均体育锻炼时长超过1.5h的学生学业成绩的优秀率约为．现从日均体育锻炼时长不超过1.5h的学生中任意调查一名学生，则他的学业成绩优秀的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先求出日均体育锻炼时长不超过1.5h且学业成绩优秀的学生，再结合条件概率公式求解即可； 解法二 ：设该校总人数为1000人，分析可得日均体育锻炼时长不超过1.5h的学生有800人，其中学业成绩优秀的有300人，进而结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】解法一：日均体育锻炼时长不超过1.5h且学业成绩优秀的学生有． 记“该学生日均体育锻炼时长不超过1.5h”为事件，“该学生学业成绩优秀”为事件， 则，， 所以． 解法二 ：不妨设该校总人数为1000人，则学业成绩优秀的有（人）， 日均体育锻炼时长超过1.5h的有（人）， 且其中学业成绩优秀的有（人）， 因此日均体育锻炼时长不超过1.5h的学生有（人）， 其中学业成绩优秀的有（人）， 因此，从日均体育锻炼时长不超过1.5h的学生中任意调查一名学生， 他的学业成绩优秀的概率约为． 故选：D. 2．（2024·全国·模拟预测）某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为“恰有2队完成任务”，即可能是“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，根据相互独立事件及互斥事件的概率可得结果. 【详解】设事件A为“恰有2队完成任务”，有三类：“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，且相互互斥， 则， 故选：B． 3．（2024·全国·模拟预测）神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了和两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛和两位同学各答1题.已知同学每轮答对的概率是，同学每轮答对的概率是，每轮竞赛中和两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则和两位同学至少答对3道题的概率为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可. 【详解】若和两位同学答对4道题，则其概率为； 若和两位同学答对3道题，则其概率为； 故和两位同学至少答对3道题的概率为. 故选：D. 4．（2024·河南南阳·三模）甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（    ） A．事件，，是两两互斥的事件 B．事件与事件为相互独立事件 C． D． 【答案】B 【分析】由互斥事件，互相独立事件的概念以及条件概率的计算公式逐项判断即可. 【详解】由题意可得，，， 显然事件，，是两两互斥的事件，故A正确； ，故D正确； ，， 所以，故事件与事件不是相互独立事件，故B错误； ，故C正确； 故选：B. 二、多选题 5．（2023·浙江·模拟预测）不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球"，则（    ） A． B． C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件 【答案】BC 【分析】根据古典概型概率公式求事件的概率，判断AB，根据对立事件和独立事件的定义判断CD. 【详解】对于A，随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含个样本点， 随机事件包含的样本点的个数为，所以，A错误； 对于B，随机事件包含的样本点的个数为，所以，B正确， 对于C，事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件为互斥事件， 又，即事件为必然事件，所以事件与事件是对立事件，C正确； 对于D，随机事件包含的样本点的个数为，所以， 随机事件为不可能事件，所以，所以， 所以事件与事件不是相互独立事件，D错误， 故选：BC. 6．（2024·全国·模拟预测）连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X，掷出点数之和为Y，则（    ） A．事件“X为奇数”发生的概率 B．事件“”发生的概率为 C．事件“”和事件“”相等 D．事件“”和事件“Y＝6”独立 【答案】ABC 【分析】利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算判断AB；写出事件的所有基本事件判断C；利用相互独立事件的定义判断D. 【详解】对于A，事件“X为奇数”等价于“3次掷出的点数都为奇数”，其发生的概率为，A正确； 对于B，事件“”的对立事件为“或”，而“”等价于“3次掷出的点数均为6”， 其概率为，“”等价于“掷出的3个点数中有2个6和1个5”， 其概率为，因此，B正确； 对于C，事件“”和事件“”包含相同的样本点，因此是相等事件，C正确； 对于D，事件“”等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4，或者2个2和1个1”， 其概率为，事件“”等价于“3次掷出的点数中有3个2，或者2个1和1个4， 或者1个1，1个2和1个3”，其概率为， 而积事件等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4”，其概率，D错误． 故选：ABC 三、填空题 7．（2023·黑龙江大庆·一模）一个口袋里有大小相同的白球个，黑球个，现从中随机一次性取出个球，若取出的两个球都是白球的概率为，则黑球的个数为 ． 【答案】5 【分析】根据古典概型的概率公式及组合数公式得到方程，解得即可. 【详解】由题意得，所以，解得或（舍去）， 即黑球的个数为． 故答案为： 8．（2024·广东广州·模拟预测）在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为 ． 【答案】/ 【分析】使用表格列出所有情况，然后由古典概型的概率公式可得. 【详解】记四位同学为甲、乙、丙、丁，他们准备的贺卡分别为1、2、3、4， 则四位同学抽到可贺卡情况如下表： 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 1 2 3 4 3 1 2 4 1 2 4 3 3 1 4 2 1 3 2 4 3 2 1 4 1 3 4 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 4 1 2 1 4 3 2 3 4 2 1 2 1 3 4 4 1 2 3 2 1 4 3 4 1 3 2 2 3 1 4 4 2 1 3 2 3 4 1 4 2 3 1 2 4 1 3 4 3 1 2 2 4 3 1 4 3 2 1 总情况有24种，满足条件的有9种， 故四位同学均未取到自己的贺卡的概率为. 故答案为： 四、解答题 9．（2023·陕西榆林·模拟预测）人的性格可以大体分为“外向型”和“内敛型”两种，为了研究这两种性格特征与人的性别是否存在关联，某大学从该校学生中随机调查了400人，统计结果如下表： 外向型 内敛型 合计 男性 120 80 200 女性 60 140 200 合计 180 220 400 (1)分析是否有的把握认为这两种性格特征与人的性别之间存在关联； (2)在“外向型”的180人中按性别利用分层抽样抽取6人，再在这6人中随机抽取2人，求这2人性别不同的概率. 参考公式：，. 临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有的把握认为这两种性格特征与人的性别之间存在关联，理由见解析； (2) 【分析】（1）计算出卡方，与比较后得到结论； （2）根据外向型男女比例得到男性抽取4人，女性抽取2人，再利用列举法求出概率. 【详解】（1）零假设为两种性格特征与人的性别之间独立， ， 故有的把握认为这两种性格特征与人的性别之间存在关联，且犯错误的概率不高于； （2）外向型男女比例为， 故按性别利用分层抽样抽取6人，其中男性人数为，设为， 女性人数为，设为， 在这6人中随机抽取2人，共有以下情况， ， ，共15种， 这2人性别不同的情况有，共8种， 所以概率为. 10．（2024·陕西铜川·模拟预测）某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取400件产品作为样本，产品的质量情况统计如表： 一等品 二等品 合计 设备改造前 220 180 400 设备改造后 300 100 400 合计 520 280 800 (1)判断是否有99.9%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关? (2)从设备改造后的产品中按产品的质量用分层抽样的方法抽取8件产品，再从这8件产品中随机抽取2件，求抽出的2件全是一等品的概率． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有99.9%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关 (2) 【分析】（1）根据表中的数据结合公式直接计算，然后根据临界值表进行判断； （2）利用分层抽样的定义求出抽取一等品和二等品的件数，然后利用列举法可求得结果. 【详解】（1）根据表中的数据得，    所以有99.9%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关 （2）抽取的8件产品中一等品有：，记为a，b，c，d，e，f， 二等品有：（件），记为A，B， 从这8件产品中随机抽取2件的所有情况为ab，ac，ad，ae，af，aA，aB，bc，bd，be，bf， bA，bB，cd，ce，cf，cA，cB，de，df，dA，dB，ef，eA，eB，fA，fB，AB，共28种；     其中2件全是一等品的情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种，    所以抽出的2件全是一等品的概率 【综合提升练】 一、单选题 1．（2024·山西太原·模拟预测）由于天气原因，夏季相关部门加大对水果储运环节的抽检力度，坚决杜绝腐烂变质的水果流入市场，下表是对运到仓储点的某种水果进行抽检后得到的数据． 车辆 甲 乙 丙 丁 抽检数量/个 35 60 50 55 合格数量/个 32 56 47 53 若从运到仓储点的四车水果中随机抽出一个，则估计这个水果不能上市的概率为（    ） A．0.06 B．0.08 C．0.1 D．0.12 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率计算方法进行计算，再结合对立事件概率可求问题的答案. 【详解】由题意可知，该水果合格的概率为， 则随机抽出一个，估计其不能上市的概率为0.06． 故选：A 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7，第二次面试通过的概率为0.5．若第一次未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败，否则视为面试通过，则该同学通过面试的概率为（    ） A．0.85 B．0.7 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【分析】根据给定条件，对立事件概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，第一次面试不通过的概率为0.3，第二面试不通过的概率为0.5， 因此面试失败的概率为， 所以该同学通过面试的概率为. 故选：A 3．（2024·云南昆明·模拟预测）甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出基本事件，将所求事件表示出来，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的积的概率公式求解即得. 【详解】设甲、乙、丙三人参加考试合格的事件分别为，则,而三人中恰有两人合格记为：, 因考试的结果相互独立，且，，两两互斥，故得三人中恰有两人合格的概率为： . 故选：B． 4．（2024·山西·模拟预测）空气质量指数（AQI）是一种评价大气环境质量状况简单而直观的指标.AQI能直观地向公众报告空气质量的级别，让人们快速了解当前空气的清洁或污染程度.当时，空气质量等级为优；当时，空气质量等级为良；当时，空气质量等级为轻度污染；当时，空气质量等级为中度污染；当时，空气质量等级为重度污染；当时，空气质量等级为严重污染.某市2024年9月的空气质量指数统计表如下： 空气质量指数（AQI） 35 65 100 113 124 130 天数 11 10 3 3 2 1 若从该市2024年9月任选一天，则该天的空气质量等级达到优或良的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】依题意，该市2024年9月共有天， 其中空气质量等级达到优或良的有天， 则所求概率为. 故选：B. 5．（2024·山东烟台·三模）一袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球，从中不放回的每次取出1个小球，连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分第一次取出为红球和黑球两种情况求解即可. 【详解】由题意，第一次取出可能为红球或黑球，故连续取两次，则取出的这两个小球颜色不同的概率为. 故选：D 6．（2024·山东菏泽·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（    ） A．事件与相互独立 B．事件与是互斥事件 C．事件与相互独立 D．事件与是对立事件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件是必然事件，， 显然，，因此事件与相互独立，A正确； 对于B，由，得事件与不是互斥事件，B错误； 对于C，显然事件事件与不可能同时发生，即，而，事件与相互不独立，C错误； 对于D，显然事件与可以同时不发生，如甲丙在同一社区，因此事件与不是对立事件，D错误. 故选：A 7．（2024·山西太原·一模）甲，乙两名同学要从A、B、C、D四个科目中每人选取三科进行学习，则两人选取的科目不完全相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用分步乘法原理，结合古典概型和对立事件概率公式求解. 【详解】两人选取科目的方法共有种，科目完全相同的方法共有种， 科目不完全相同方法共有12种，故所求概率为. 故选：D. 8．（2024·上海嘉定·一模）假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 【答案】B 【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断. 【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况， (男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)， 则，，，事件与事件不相互独立，AC错误； 若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， (男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)， (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， ，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误. 故选：B 二、多选题 9．（2024·四川内江·一模）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记随机事件“点数为”，其中，则下列论述正确的是（   ） A． B．若“点数大于”，则 C．若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”，则 D．若重复抛掷骰子，则事件发生的频率等于事件发生的概率 【答案】AC 【分析】分析可知，，可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用频率与概率的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，，则，A对； 对于B选项，若“点数大于”，则，B错； 对于C选项，若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”， 基本事件总数为，若抛掷骰子，第一次向上的点数为，第二次向上的点数为， 以作为一个基本事件，则事件包含的基本事件有：、、，共个基本事件， 由古典概型的概率公式可得，C对； 对于D选项，若重复抛掷骰子，则事件发生的频率在事件发生的概率值附近波动，D错. 故选：AC. 10．（2024·浙江·一模）现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D．若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可. 【详解】对于A，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即，A错误； 对于B，，，，， 则， 因此，B正确； 对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子， 若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误. 故选：BC 11．（2024·重庆·模拟预测）“我上春山，约你来见”，重庆市育才中学校2024读书节之“上春山读书赏读会”于2024年4月1日拉开帷幕，主办方为同学们提供了丰富多彩的活动，其中有一栏名为“用诗意串联灵感与创意”的活动，同学们需要从主持人给出的4个校园景观和2个植物名称的名词牌中随机选出2个，结合自己的语言完成连词成句．记事件“该同学选出的两个名词牌中至少有一个是校园景观”，事件“该同学选出的两个名词牌中至少有一个是植物名称”．则下列说法正确的是（    ） A．事件发生的概率为 B．事件与事件互斥 C． D． 【答案】AC 【分析】根据随机事件的概率、互斥事件、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，所以A选项正确. B选项，事件“该同学选出的两个名词牌中有两个是植物名称”， 所以，所以B选项错误. C选项，事件“该同学选出的两个名词牌中有两个是校园景观”， 事件，所以，所以C选项正确. D选项，， ， 由于，所以，所以D选项错误. 故选：AC 三、填空题 12．（2024·上海长宁·一模）投掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数，则掷得的点数之和为7的概率是 ． 【答案】 【分析】由题可得投掷两枚质地均匀的骰子所对应点数的总情况数，然后可得掷得的点数之和为7的情况数，据此可得答案. 【详解】一枚骰子的点数有6种情况，则两枚骰子点数所对应总情况为36种. 又注意到点数之和为7的情况有：1，6；6，1；2，5；5，2；3，4；4，3共6种， 则掷得的点数之和为7的概率是. 故答案为： 13．（2024·浙江·模拟预测）已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是 ；得0分的概率是 . 【答案】 0.24/ 0.36/ 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以，即此题得满分的概率是0.24； 所以，即此题得满分的概率是0.36. 故答案为：0.24；0.36. 14．（2024·河北张家口·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束．已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率 ． 【答案】 【分析】由条件分析的特点，讨论，结合比赛流程及概率乘法公式分别求甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，相加可得结论. 【详解】因为比赛结束时，两人的得分总和为n，其中且两人的得分的差的绝对值为， 所以，且为偶数， 所以当，时，， 当时，， 当，且为偶数时， 若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，余下比赛中，第21球开始，奇数球与其之后的偶数球均为甲乙一胜一负， 所以事件甲赢得比赛的概率为， 同理乙赢得比赛的概率为， 所以， 时，的值也符合关系， 所以，，， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于认真审题，分析事件的特征，选择适当的概率运算公式求解. 四、解答题 15．（2024·浙江嘉兴·二模）为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有呈阳性（流感），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染） (1)估计该市流感感染率是多少？ (2)根据所给的数据，判断是否有99％的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关； (3)已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001） 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有 (3) 【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可； （2）根据题中数据得到列联表，结合卡方运算公式和附表中的值进行判断即可； （3）利用条件概率和全概率公式进行求解即可. 【详解】（1）估计流感的感染率； （2）列联表如下： 疫苗情况 患有流感 不患有流感 合计 打疫苗 220 580 800 不打疫苗 80 120 200 合计 300 700 100 所以， 所以有99.9%的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关. （3）设事件A为“一次检测结果呈阳性”，事件B为“被检测者确实患有流感”， 由题意得，，，，， 由全概率公式得， 所以，于是此人真的患有流感的概率是0.976. 16．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校的“强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高考分数高于690分的学生分别有1名和2名．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，三个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同学都报考了高校的“强基计划”． (1)分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校提前录取的概率； (2)从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两位同学都通过“强基计划”被高校提前录取的概率． 【答案】(1)总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率为；该生被高校提前录取的概率为 (2). 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式即可求得结果； （2）分别求出总分不高于690分和总分高于690分的学生被高校提前录取的概率，再分别求出甲班和乙班各随机抽取2名学生被高校提前录取的概率，从而利用互斥事件概率公式即可求得结果. 【详解】（1）总分高于690分的某位学生进入第二轮,记为事件A， 所以， 总分高于690分的某位学生被高校提前录取，记为事件B， 所以. （2）总分不高于690分的某位学生被高校提前录取，记为事件C， 所以， 从甲班获得高效的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校提前录取，记为事件E， ， 从乙班获得高效的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校提前录取，记为事件F， ， 故所求概率. 17．（2024·广东佛山·模拟预测）定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，满足①②： ①； ②． (1)写出最小的“漂亮数”； (2)若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”； (3)在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接根据“漂亮数”的定义即可证明最小的“漂亮数”为； （2）反复利用“漂亮数”定义中的恒等式，并通过该恒等式得到新的恒等式，即可证明结论； （3）先确定的全部可能值，然后计算使得是质数的情况数和总的情况数之比即可. 【详解】（1）若是“漂亮数”，设满足. 则，所以，即. 故，得，从而，所以. 此时，假设，则. 但由于，故的全部可能取值就是，，，，，验证即知它们都不等于，矛盾； 所以. 由即知是“漂亮数”. 所以最小的“漂亮数”是. （2）若是“漂亮数”，设满足. 则，所以，即. 此时有 . 再由，即知. 而，由“漂亮数”的定义即知是“漂亮数”. （3）若，设满足. 则，所以，即. 而，故，即. 所以，得，即. 由于，故. 而，故，即. 若，则，所以. 假设，则，矛盾. 所以，故，得. 故只可能，从而，得，而，故. 但，矛盾. 所以只可能或. 当时，有，所以. 从而，，得，即. 再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为. 当时，有，所以. 从而，，得，即. 再由知，分别代入，使得是正整数的有，对应的分别为. 综上，全体满足条件的有，，，，，. 这表明满足条件的全部为. 所以的全部可能值为，其中是质数的有. 从而是质数的概率为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应的问题. 18．（2024·上海宝山·一模）甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗． (1)甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率； (2)甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率； (3)若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束. 例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者. 设甲先投掷，求甲最终获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算两颗骰子点数相等的概率即可得到两颗骰子点数不同的概率. （2）设掷一次两颗骰子的点数和为，则，求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得结果. （3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为，分析可得甲第轮获胜的概率为，由无穷等比数列求和公式计算可得结果. 【详解】（1）甲掷一次，两颗骰子点数相等的概率为            所以两颗骰子点数不同的概率为. （2）甲的点数和恰好比乙的点数和大点的情形如下表： 所以.                另解：设掷一次两颗骰子的点数和为，则. 则； ； ； ； ； .               所以甲的点数和恰好比乙的点数和大7点的概率为 . （3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为 .          若甲第一轮获胜，概率为； 若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为； 若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；     由以上可得，若甲第轮获胜，即前轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；               于是，组成一个以为首项，为公比的无穷等比数列. 因为， 所以甲最终获胜的总概率为. 19．（2024·广东河源·模拟预测）拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上． (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……） 【答案】(1)2；9 (2)，，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据分布计数乘法原理和特殊位置优先法计数即得； （2）先假设有个人，依题意，可分两个步骤完成：第一步，甲选位置，第二步排其余个人，分类统计方法数得，将其化为，可证得等比数列； （3）由题得，根据（2）结论求得，推理得，赋值后累加即得，由参考公式取即可证明. 【详解】（1）当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法； 当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法， 剩下的两个人都只有1种站法，由分步乘法计数原理可得有种站法． （2）易知，． 如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤： 第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法； 第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类： 第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种； 第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有种． 所以，，又， 所以． 所以数列，是首项为1，公比为的等比数列 （3）由题意可知， 由（2）可得：，则． 对进行赋值，依次得：，，⋯， 将以上各式左右分别相加，得：，因， 则． 即得， 当无穷大时，，得证. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于寻找题中和，之间的递推关系，通过两个计数原理的运用，先分步再分类得到，第二个关键是根据数列递推公式，通过拼凑项得到等比数列，为第三题证明结论做好知识铺垫. 【拓展冲刺练】 一、单选题 1．（2023·四川广安·模拟预测），两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，则，不去同一城市上大学的概率为（    ） A．0.3 B．0.56 C．0.54 D．0.7 【答案】B 【分析】 根据条件得到，分别去乙城市的概率，从而求得，去同一城市上大学的概率，即可得到，不去同一城市上大学的概率. 【详解】由题意知：去甲城市的概率为，去甲城市的概率为， 即去乙城市的概率为0.4，去乙城市的概率为0.8， 所以，去同一城市上大学的概率， 所以则，不去同一城市上大学的概率， 故选：B. 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥但不对立事件 D．与是对立事件 【答案】A 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断. 【详解】根据题意 ， 则，所以与是互斥事件，A正确； ，所以与是互斥且对立事件，B错误； ，所以与是互斥且对立事件，C错误； 所以与不是对立事件，D错误. 故选：A. 3．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件概率计算公式即可求解. 【详解】设“取到的都是同种月饼”为事件A，“都是五仁月饼”为事件B， 则，， 所以． 故选：D. 二、多选题 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（    ） A． B．事件B与事件C是互斥事件 C． D． 【答案】CD 【分析】由已知先列举出事件A，B，C包含的基本事件，然后结合互斥事件的概念及古典概率公式检验各选项即可判断. 【详解】解：由题意可得，事件A包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，绿)}， 事件B包含的取球颜色为{(红，红) ，(绿，红)}，事件C包含的取球颜色为{(红，红) ，(红，绿)}， 则，选项A错误； ，选项B错误； 事件AB包含的取球颜色为{(红，红)}， ，选项C正确； 事件B+C包含的取球颜色为{(红，红) ，(绿，红)，(红，绿)}， ，选项D正确. 故选：CD. 5．（2024·广东佛山·二模）在一个有限样本空间中，假设，且A与B相互独立，A与C互斥，则（    ） A． B． C． D．若，则B与C互斥 【答案】BCD 【分析】A与B相互独立，则,又因为可判断A选项；由条件概率的运算 判断B选项 ；因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生，故可判断C选项；，即B与C互斥判断D. 【详解】对于A，A与B相互独立，则, ，A错误； 对于B，因为A与C互斥，所以,所以 ,, 所以,B正确； 对于C，,因为A与C互斥，即A发生则C一定不发生， 所以,所以，C正确； 对于D，显然，即， 由，得， 解得，所以B与C互斥，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了互斥事件、独立事件的概念和条件概率的公式化简运算，关键在于理解和事件与积事件的求法，并于条件概率运算公式中的项相结合，进行化简，进而向各选项表达式靠拢判断正误. 三、填空题 6．（2024·全国·模拟预测）已知随机事件，若；则 ． 【答案】 【分析】利用条件概率、独立事件的乘法公式结合事件的关系与运算计算即可. 【详解】由题意可得，， 而， ， 又. 故答案为：． 7．（2023·福建·模拟预测）若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是 . 【答案】 【分析】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，；同时每次运动点不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式得到递推关系，然后构造数列求通项即可. 【详解】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”， 设，则， 由题意知，， 则由全概率公式可得，， 则， 即，两边同减去可得，， 又已知， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 故当时，. 故答案为：. 四、解答题 8．（2024·浙江·二模）小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字． (1)求五张卡片上的数字都不相同的概率； (2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据独立事件的概率的乘法公式计算； （2）先计算最大数的概率，再结合即可证明. 【详解】（1）． （2）记为这五张卡片上最大的数字，则． 由， 由， 所以这五张卡片上最大的数字最可能是5. 9．（2025·上海·模拟预测）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边． (1)求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 【答案】(1)甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米； (2)； (3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组. 【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可； （2）根据组合公式和古典概率公式计算即可； （3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）. 【详解】（1）甲队：， 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米； 乙队：， 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米． （2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件， . （3）， 要使两组平均身高都增大， 则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可． 10．（2023·河北沧州·三模）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. (1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； (2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可； （2）分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可. 【详解】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为： 甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙. 设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立， 设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件，则， 则， 所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为. （2）设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，， 设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则 ， ， ， ， ， ， 所以. 所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$