6.4.3 余弦定理、正弦定理（第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例）同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3　余弦定理、正弦定理　第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例 一、单项选择题 1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的 （　　） A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上 C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上 2.从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为（　　） A.α＋β B.α－β C.β－α D.α 3.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为（cos 10°≈0.985） （　　） A.45.25 m B.50.76 m C.56.74 m D.58.60 m 4.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，1小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离约为 （　　） A.10 海里 B.10 海里 C.20 海里 D.20 海里 5.甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 （　　） A.6 km B.3 km C.3 km D.3 km 6.已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是 （　　） A.10 海里 B. 海里 C.5 海里 D.5 海里 7.为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高为 （　　） A.201＋m B.201＋m C.20（1＋）m D.30 m 8.有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长 （　　） A.5 m B.10 m C.10 m D.10 m 二、多项选择题 9.某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值可以为 （　　） A. B.2 C.3 D.3 10.如图，为测量A，B两地之间的距离，甲同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案，能唯一确定A，B两地之间距离的方案是 （　　） A.测量∠A，AC，BC B.测量∠A，∠B，BC C.测量∠C，AC，BC D.测量∠A，∠B，∠C 11.一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的 （　　） A.北偏东75°方向 B.南偏东15°方向 C.东北方向 D.东南方向 三、填空题 12.一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔间的距离为　　km. 13.如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝　　米. 14.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝　　. 四、解答题 15.如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处观测三点的俯角分别为α，β，γ.现测得α＝15°，β＝45°，γ＝30°，AD＝km，EB＝km，BC＝1 km.计划沿直线AC开通一条穿山隧道，试求出隧道DE的长度. 第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例 1.B　解析：如图所示，∠ACB＝90°. 又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°. 因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°方向上.第1题图　　　第2题图 2.C　解析：如图可知，山顶的仰角为β－α. 3.B　解析：设球的半径为R，AB＝R，AC＝，BC＝－R＝100，R＝，2R≈50.76. 4.C　解析：由题设∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，且AB＝40海里，在△ABC中，＝，则BC＝＝＝20（海里）. 5.C　解析：由题意知，AB＝24×＝6（km），∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BS＝＝＝3（km）. 6.D　解析：C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里.由正弦定理得＝，所以BC＝5海里.故选D. 7.A　解析：塔的高度为20tan 30°＋20tan 45°＝201＋（m）.故选A. 8.C　解析：如图，设将坡底加长到B'时，倾斜角为30°，在△ABB'中，∠B'＝30°，∠BAB'＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，则由正弦定理，得BB'＝＝＝10（m）. ∴坡底延长10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°. 9.AB　解析：如图，在△ABC中，由余弦定理得 3＝9＋x2－6xcos 30°，即x2－3x＋6＝0，解得x＝2或. 10.BC　解析：对于A，测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定A，B两地之间的距离；对于B，测量∠A，∠B，BC，已知两角及其一条对边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定A，B两地之间的距离；对于C，测量∠C，AC，BC，已知两边及其夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定A，B两地之间的距离；对于D，测量∠A，∠B，∠C，知道三个角度值，三角形有无数组解，不能唯一确定A，B两地之间的距离. 11.AB　解析：画出示意图如图所示，由题意得AB＝32×＝16，BS＝8，∠BAS＝30°，所以＝， 解得sin∠ASB＝，所以∠ASB＝45°或∠ASB＝135°. 当客船在B处时，∠ASB＝45°，所以∠B'BS＝75°； 当客船在B'处时，∠ASB'＝135°，所以∠AB'S＝15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°方向.第11题图　　　第12题图 12.30　解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， 则∠ABC＝45°，AC＝60 km， 根据正弦定理，得 BC＝＝＝30（km）. 13.15　解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°， 由正弦定理，得＝， 所以BC＝＝15（米）. 在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝15×tan 60° ＝15（米）. 14.　解析：如图，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，最后回到O点，则在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，由正弦定理知x＝＝＝. 15.解：在△PBC中，∠C＝γ＝30°，∠CPB＝β－γ＝15°，BC＝1. 由正弦定理＝， 即＝，所以PB＝. 在△PAB中，因为∠A＝α＝15°，∠ABP＝β＝45°， 所以∠APB＝180°－∠A－∠ABP＝120°. 由正弦定理＝， 所以AB＝＝＝3＋2， 所以DE＝AB－AD－EB＝3＋2－－＝2， 所以隧道DE的长度为2 km. 学科网（北京）股份有限公司 $$