精品解析：广东省肇庆市肇庆鼎湖中学2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试题

肇庆鼎湖中学2024-2025学年第一学期期中质量检测 高一年级数学学科 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得，再由交集运算可得. 【详解】由可得， 因此可得. 故选：B 2. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是: ，, 故选：C 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. {或} D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解. 【详解】由可得， 所以不等式的解集为， 故选：A 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断. 【详解】若，取，，则，故A错误； 若，当时，则，故B错误； 若，取，，则，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：D. 6. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用整体思想将表示成，再利用不等式的性质，即可得到答案； 【详解】由， ， ． 故选：A 7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 8. 若关于的不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将不等式对于一切恒成立，转化为不等式对于一切恒成立，令，分和讨论求解. 【详解】因为不等式对于一切恒成立， 即不等式对于一切恒成立， 令， 当，即时，， 此时，， 当，即时，， 解得， 综上： 所以实数的取值范围是 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，解不等式得到，由补集的概念求出，从而求出A正确；B选项，；CD选项，根据子集的概念得到C错误，D正确. 【详解】A选项，，， 故， 所以，A正确； B选项，，B错误； CD选项，，C错误，D正确. 故选：AD 10. 关于基本不等式，下列选项正确的有（ ） A. 函数的最小值为2 B. 若，则最小值为2 C. 若，则的最大值为 D. 取得最大值为2 【答案】B 【解析】 【分析】由等号取不到可知A错误；由基本不等式分别求解最值可判断BCD项. 【详解】A项， ， 当且仅当，即时，等号成立， 但方程无解，故等号取不到，即最小值必大于，故A错误； B项，由，则由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，取到最小值，故B正确； C项，若，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，取最大值，故C错误； D项，， 当且仅当，即时，，故D错误. 故选：B. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 和是同一函数 B. 命题：，；则它的否定是：，，或 C. “”是“关于的不等式解集为”的充分不必要条件 D. 若，，且，那么的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数定义域不同可得A错误；由特称命题的否定是全称命题可得B正确；由一元二次不等式恒成立的解法结合充分不必要条件可得C正确；由基本不等式的乘“1”法可得D正确； 【详解】对于A，定义域为，的定义域为， 所以和不是同一函数，故A错误； 对于B，由特称命题的否定是全称命题可得B正确，故B正确； 对于C，关于的不等式的解集为，即不等式的解集为， 则，解得， 而“”是“”充分不必要条件，故C正确； 对于D，， 当且仅当，解得时取等号，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求解，然后再求即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】由，得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，已知集合，. （1）①当时，求； ②当时，求实数m的范围； （2）设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围. 【答案】（1）①或；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据交集、补集的知识求得正确答案. ②由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案； （2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围. 【小问1详解】 ①当时，， 所以， 所以或. ②由题可得，解得； 【小问2详解】 由题可得是的真子集， 当，则； 当，，则（等号不同时成立），解得 综上：. 16. 已知函数，且，. （1）求a和b的值； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】（1） （2）在上的单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，代入直接可求； （2）根据函数单调性的定义证明单调性. 【小问1详解】 因为， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴，在上的单调递减. 17. 根据题意，求解下列问题： （1）已知，，且满足，求的最小值； （2）已知，求最小值； （3）已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 【答案】（1） （2） （3）的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）利用“”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解； （2）将通过变形转化为，然后利用基本不等式求解； （3）利用“”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由可得：，又， 所以，当且仅当，即时成立， 结合可知：取等条件为. 【小问2详解】 因为，所以，， 当且仅当，即时成立. 【小问3详解】 因为，， 所以， 当且仅当，即时成立，结合可知：取等条件为. 18. 已知函数，. （1）当时，求时的的值； （2）解关于的不等式； （3）若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）和 （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程直接求解即可； （2）移项变形为，再讨论的符号进行求解； （3）分离常数，将问题转化为在上恒成立问题，再利用函数的最值进行求解. 【小问1详解】 根据题意，当时，， 由，得到，解得或. 时的的值为和. 【小问2详解】 由，得， 所以， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 因为对于任意的，恒成立 所以，也即对任意的恒成立， 又因为，所以在上恒成立； 由于在上恒成立 所以，即的取值范围是. 19. 为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元． （1）试求y关于x的函数解析式； （2）现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 【答案】（1）； （2）公司乙，理由如下： 由（1）知，对于公司甲，，当且仅当，即时取“=”， 则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元， 对于乙，函数在上单调递增，，即乙公司最高报价为22900元， 因，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高， 所以公司乙能竞标成功. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，用x表示出应急室正面墙的长度，再列式作答. （2）由（1）的结论，利用均值不等式、函数单调性分别求出甲公司报价最小值、乙公司报价最大最小值，再比较作答. 【小问1详解】 因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米， 于是得，， 所以y关于x的函数解析式是. 【小问2详解】 公司乙能竞标成功，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆鼎湖中学2024-2025学年第一学期期中质量检测 高一年级数学学科 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. {或} D. 或 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于基本不等式，下列选项正确的有（ ） A. 函数的最小值为2 B. 若，则最小值为2 C. 若，则的最大值为 D. 取得最大值为2 11. 下列命题正确的是（ ） A. 和是同一函数 B. 命题：，；则它的否定是：，，或 C. “”是“关于的不等式解集为”的充分不必要条件 D. 若，，且，那么的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知函数，则______. 13. 函数的定义域为_______. 14. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，已知集合，. （1）①当时，求； ②当时，求实数m的范围； （2）设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围. 16. 已知函数，且，. （1）求a和b的值； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 17. 根据题意，求解下列问题： （1）已知，，且满足，求的最小值； （2）已知，求最小值； （3）已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 18. 已知函数，. （1）当时，求时的的值； （2）解关于的不等式； （3）若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 19. 为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元． （1）试求y关于x的函数解析式； （2）现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $