6.2.3 向量的数乘运算 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3　向量的数乘运算 一、单项选择题 1.若3x－2（x－a）＝0，则向量x等于 （　　） A.2a B.－2a C.25a D.－25a 2.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0 （λ为实数），则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.其中错误命题的个数为 （　　） A.1 B.2 C.3 D.4 3.设e是与向量共线的单位向量，＝3e，又向量＝－5e，若＝λ，则λ＝ （　　） A. B. C.－ D.－ 4.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为 （　　） A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 5.已知向量a，b不共线，c＝ka＋b（k∈R），d＝a－b，如果c∥d，那么 （　　） A.k＝1且c与d同向 B.k＝1且d与c反向 C.k＝－1且c与d同向 D.k＝－1且d与c反向 6.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，＝2，则用向量，表示为 （　　） A.＝－＋ B.＝－＋ C.＝－ D.＝＋ 7.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么 （　　） A.＝ B.＝2 C.＝3 D.2＝ 8.已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足＝2－2，则＝ （　　） A. B. C.2 D.3 二、多项选择题 9.如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是 （　　） A.＝3 B.＝－2 C.＋＝0 D.＝ 10.若向量e1，e2不共线，则下列各组中，向量a，b共线的有 （　　） A.a＝2e1，b＝－2e1 B.a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2 C.a＝4e1－e2，b＝e1－e2 D.a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2 11.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是 （　　） A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B.存在不相等的两个实数λ，μ，使λa－μb＝0 C.xa＋yb＝0（其中实数x，y满足x＋y＝0） D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 三、填空题 12.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝　　. 13.如图，已知＝，用，表示，则＝　　. 14.若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则a－b－3a＋b＋（2b－a）＝　　. 四、解答题 15.已知向量a，b不共线，＝a＋2b，＝2a－b，＝xa＋yb. （1）若＝－2，求x，y的值； 15.已知向量a，b不共线，＝a＋2b，＝2a－b，＝xa＋yb. （2）若A，B，C三点共线，求xy的最大值. 6.2.3　向量的数乘运算 1.B　解析：由题知3x－2x＋2a＝0，∴x＝－2a. 2.C　解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点.②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.③错误，因为λa＝0，所以λ＝0或a＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量.所以错误命题有3个. 3.C　解析：＝＋＝3e－5e＝－2e，由＝λ得3e＝λ·（－2e），∴λ＝－. 4.A　解析：＝a＋2b，＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以与不共线，所以AB与CD不平行.又＝＋＋＝－8a－2b，显然＝2，所以AD∥BC，所以四边形ABCD为梯形.故选A. 5.D　解析：由c∥d，得c＝λd，∴ka＋b＝λ（a－b）， 即∴即c＝－a＋b且c＝－d. 6.A　解析：由题意可得＝＋＝＋＝＋×（＋）＝＋＋＝－.故选A. 7.A　解析：如图，延长OD至E，使｜｜＝｜｜，连接BE，EC，则四边形OBEC为平行四边形， ∴＋＝＝2， ∴2＋＋＝2＋2＝0. ∴＋＝0. ∴＝－＝.故选A. 8.D　解析：∵＝2－2， ∴＋＝2（＋）－2， 即3＝，∴3｜｜＝｜｜∴＝3. 9.AB　解析：由题意得AB＝3AC，则＝3，A正确；DA＝2DC，则＝2＝－2，B正确；＋＝0，C错误；＝，D错误. 10.ABC　解析：A中，a＝－b，所以a，b共线；B中，b＝－2a，所以a，b共线；C中，a＝4b，所以a，b共线；D中，不存在λ∈R，使a＝λb，所以a，b不共线. 11.AB　解析：对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线. 12.－　解析：因为＝＝，∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，所以＝. 又与同向，所以＝，＝－. 13.－＋　解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋. 14.－16i＋j　解析：a－b－3a＋b＋（2b－a） ＝a－b－3a－2b＋2b－a ＝－a－b＝－（3i－4j）－（5i＋4j） ＝－11i＋j－5i－4j＝－16i＋j. 15.解：（1）由题意可得：＝－2＝（2a－b）－2（a＋2b）＝－5b，且＝xa＋yb，所以x＝0，y＝－5. （2）若A、B、C三点共线，则＝λ＋（1－λ），λ∈R， 则λ（a＋2b）＋（1－λ）（2a－b）＝（2－λ）a＋（3λ－1）b＝xa＋yb，可得x＝2－λ，y＝3λ－1，则xy＝（2－λ）（3λ－1）＝－3λ2＋7λ－2＝－3＋， 当λ＝时，xy取到最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$