6.3.1 平面向量基本定理 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1　平面向量基本定理 一、单项选择题 1.已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是 （　　） A.不共线 B.共线　 C.相等　 D.不确定 2.若{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2和b＝6e1＋ke2不能作为基底，则k的值为（　　） A.－2 B.－4 C.－6　 D.－8 3.在△ABC中，点D为BC中点，E为AD中点，记＝a，＝b，则＝ （　　） A.a＋b　　 B.a－b　　 C.a＋b　 D.a－b 4.如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝ （　　） A.－1 B.3 C.1 D.－3 5.已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ（λ∈R），则x，y满足的关系是 （　　） A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0 C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0 6.已知{e1，e2}为平面内所有向量的一组基底，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为 （　　） A.λ＝0 B.e2＝0 C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ＝0 7.如图，在矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于 （　　） A.（5e1＋3e2） B.（5e1－3e2） C.（3e2－5e1） D.（5e2－3e1） 8.在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，点P满足＝3，若存在实数m和n，使得＝m＋n，则m＋n＝ （　　） A. B. C.－ D.－ 二、多项选择题 9.已知{e1，e2}是平面内的一组基底，则下列说法正确的是 （　　） A.若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B.平面内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2（λ1，λ2为实数） C.对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数λ1，λ2有无数对 10.已知{e1，e2}是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是 （　　） A.e1和e1－e2 B.e1－2e2和e2－2e1 C.e2和e1－e2 D.e1－2e2和4e2－2e1 11.已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论，其中正确的结论为 （　　） A.＝－a－b B.＝a＋b C.＝－a＋b D.＝a 三、填空题 12.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足（x－2）e1＋（y－1）e2＝5e1＋2e2，则x＝　　，y＝　　. 13.a，b是不共线向量，＝a＋xb，＝ya＋b（x，y∈R），则A，B，C三点共线的条件是　　. 14.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝　　.（用a，b表示） 四、解答题 15.设e1，e2是不共线的向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. （1）证明：{a，b}可以作为一组基底； 15.设e1，e2是不共线的向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. （2）以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2. 6.3.1　平面向量基本定理 1.B　解析：a＋b＝3e1－e2，所以c＝2（a＋b），所以a＋b与c共线. 2.D　解析：易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ（6e1＋ke2），所以所以k＝－8. 3.A　解析：因为在△ABC中，点D为BC中点，E为AD中点，＝a，＝b，所以＝＋＝＋＝＋＋＝a＋b＋a＝a＋b. 4.A　解析：根据题图可知a＝－3e1＋（e2＋e1）＝－2e1＋e2，所以λ＝－2，μ＝1，λ＋μ＝－2＋1＝－1. 5.A　解析：由＝λ，得－＝λ（－），即＝（1＋λ）－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2. 6.A　解析：因为e1，e2为平面内所有向量的一组基底，所以e1，e2不共线，且e1，e2不为零向量，由a与b共线可得m∈R使得a＝mb，即e1＋λe2＝2me1，又因为e1，e2不共线，所以所以λ＝0， 7.A　解析：＝＝（－）＝（＋）＝（5e1＋3e2）. 8.D　解析：由题意，＝λ＋（1－λ），且0＜λ＜1， 而＝3＝3（＋）， 所以3＋3＝λ＋（1－λ）， 即＝＋， 由已知，则m＋n＝－，选项D正确. 9.AB 10.ABC　解析：因为{e1，e2}是平面向量的一组基底，故e1和e2不共线，所以e1和e1－e2不共线，e1－2e2和e2－2e1不共线，e2和e1－e2不共线，e1－2e2和4e2－2e1共线. 11.ABC　解析：如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋（－b－a）＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确. 12.7　3　解析：因为向量e1，e2不共线，所以根据平面向量基本定理可得x－2＝5，y－1＝2，解得x＝7，y＝3. 13.xy＝1　解析：∵a＋xb＝λ（ya＋b），∴（1－λy）a＋（x－λ）b＝0.∴得xy＝1. 14.a＋b　解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b. 15.（1）证明：假设a＝λb（λ∈R），则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）. 由e1，e2不共线，得所以λ不存在. 故a与b不共线，{a，b}可以作为一组基底. （2）解：设c＝ma＋nb（m，n∈R）， 则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2） ＝（m＋n）e1＋（－2m＋3n）e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. 学科网（北京）股份有限公司 $$