6.2.4 向量的数量积（2）同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4　向量的数量积（2） 一、单项选择题 1.已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝，且a与b的夹角为，则（a＋b）·（2a－b）＝ （　　） A. B.－ C.－ D. 2.已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，且a与b的夹角为，则｜a＋b｜＝ （　　） A. B. C. D.3 3.已知a，b方向相同，且｜a｜＝2，｜b｜＝4，则｜2a＋3b｜等于 （　　） A.16 B.256 C.8 D.64 4.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，（2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 5.设a，b，c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为 （　　） A.2 B. C.3 D. 6.已知平面向量a，b，｜a｜＝1，｜b｜＝，且｜2a＋b｜＝，则向量a与向量a＋b的夹角为 （　　） A. B. C. D.π 7.已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为，若向量p＝＋，则｜p｜＝ （　　） A.2＋ B. C.3 D. 8.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，｜｜＝1，则·＝ （　　） A.2 B.3 C.3 D. 二、多项选择题 9.设向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1，且｜b－2a｜＝，则以下结论正确的是（　　） A.a⊥b B.｜a＋b｜＝2 C.｜a－b｜＝ D.＜a，b＞＝60° 10.下列命题中正确的是 （　　） A.已知向量a与b不共线，若（a＋b）·（a－b）＝0，则｜a｜＝｜b｜ B.｜a·b｜＝｜a｜｜b｜ C.若a·b＝a·c，则b＝c D.若a⊥（b－c），则a·b＝a·c 11.已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中，真命题是 （　　） A.｜a·b｜＝｜a｜｜b｜⇔a∥b B.a，b反向⇔a·b＝－｜a｜｜b｜ C.a⊥b⇔｜a＋b｜＝｜a－b｜ D.｜a｜＝｜b｜⇔｜a·c｜＝｜b·c｜ 三、填空题 12.已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则的值为　　. 13.已知向量a，b的夹角为45°，且｜a｜＝4，a＋b·（2a－3b）＝12，则｜b｜＝　　；向量b在向量a上的投影向量为　　. 14.已知向量a与b的夹角是，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，若（a＋λb）⊥a，则实数λ＝　　. 四、解答题 15.已知＝2，＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝－7. （1）求； 15.已知＝2，＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝－7. （2）求向量a与a＋b的夹角的余弦值. 6.2.4　向量的数量积（2） 1.A　解析：（a＋b）·（2a－b）＝2a2－b2＋a·b＝2－3＋1××＝. 2.A　解析：因为｜a｜＝2，｜b｜＝1，且a与b的夹角为，由平面向量的数量积运算可知，a·b＝2×1×cos ＝－1，所以｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝22－2×1＋12＝3，所以｜a＋b｜＝. 3.A　解析：∵｜2a＋3b｜2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴｜2a＋3b｜＝16. 4.C　解析：（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜2cos＜a，b＞＋a2＝0⇒cos＜a，b＞＝－，所以a与b的夹角为120°.故选C. 5.B　解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，b＝c－a，得b2＝（c－a）2，∴1＝1＋1－2a·c，∴a·c＝. 6.B　解析：由题意，得｜2a＋b｜2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·（a＋b）＝1，且｜a＋b｜＝＝2，故cos＜a，a＋b＞＝＝，所以＜a，a＋b＞＝.故选B. 7.D　解析：∵｜p｜2＝1＋1＋2cos ＝3，∴｜p｜＝. 8.D　解析：∵·＝0，∴·＝（＋）·＝（＋）·＝·＋·＝·｜｜｜｜cos∠ADB＝｜｜2＝. 9.AC　解析：｜a｜＝｜b｜＝1，且｜b－2a｜＝，平方得b2＋4a2－4a·b＝5，即a·b＝0，可得 a⊥b，＜a，b＞＝90°，A正确，D错误；（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b＝2，可得｜a＋b｜＝，B错误；（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝2，可得｜a－b｜＝，C正确. 10.AD　解析：对于A，由（a＋b）·（a－b）＝0，可得a2＝b2，且向量a与b不共线，所以｜a｜＝｜b｜，故A正确.对于B，由向量数量积的定义可知，｜a·b｜＝｜a｜｜b｜｜cos θ｜，故B错误.对于C，向量没有消去律，故C错误.对于D，a⊥（b－c），则a·（b－c）＝0，即a·b＝a·c，故D正确. 11.ABC　解析：需对四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.∵a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，∴由｜a·b｜＝｜a｜｜b｜及a，b为非零向量可得｜cos θ｜＝1，∴θ＝0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故A是真命题；若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos π＝－｜a｜·｜b｜且以上各步均可逆，故B是真命题；当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等.即有｜a＋b｜＝｜a－b｜.反过来，若｜a＋b｜＝｜a－b｜，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，所以有a⊥b，故C是真命题；当｜a｜＝｜b｜但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有｜a·c｜≠｜b·c｜，反过来由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜＝｜b｜，故D是假命题. 12.　解析：∵a⊥c，∴a·c＝a·（a＋b）＝0，即a2＋a·b＝0，再由向量的数量积公式，得｜a｜2＋｜a｜｜b｜cos 120°＝0，∴｜a｜－｜b｜＝0.∴＝. 13.　a　解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝4｜b｜cos 45°＝2｜b｜，又a＋b·（2a－3b）＝｜a｜2＋a·b－3｜b｜2 ＝16＋｜b｜－3｜b｜2＝12， 解得｜b｜＝或｜b｜＝－（舍去）. 向量b在向量a上的投影向量为｜b｜cos 45°＝a. 14.－　解析：根据题意，得a·b＝｜a｜｜b｜cos ＝1，因为（a＋λb）⊥a，所以（a＋λb）·a＝a2＋λa·b＝＋λ＝0，所以λ＝－. 15.解：（1）∵｜a｜＝2，｜b｜＝3，∴（2a－3b）·（2a＋b）＝4a2－4a·b－3b2＝16－4a·b－27＝－7，∴a·b＝－1， ∴｜a＋b｜＝＝＝＝. （2）设向量a与a＋b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝＝， ∴向量a与a＋b的夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$