6.2.4 向量的数量积（1）同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4　向量的数量积（1） 一、单项选择题 1.若向量a与b的夹角为30°，则向量a与－b的夹角为 （　　） A.60° B.120° C.30° D.150° 2.若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是 （　　） A.0， B.，π C.，π D.，π 3.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于 （　　） A.3 B.－3 C.－3 D.3 4.已知向量｜a｜＝10，｜b｜＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为 （　　） A.60° B.120° C.135° D.150° 5.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于 （　　） A.－2 B.2 C.－2 D.2 6.在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是（　　） A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 7.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角，则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（　　） A.100 J B.50 J C.50 J D.200 J 8.已知｜b｜＝3，向量a在向量b上的投影向量为b，则a·b的值为（　　） A.3 B. C.2 D. 二、多项选择题 9.若｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a·b｜的值可能是 （　　） A.0 B. C.2 D.3 10.已知等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，面积为1，则下列结论正确的是 （　　） A.·＝0 B.·＝2 C.·＝2 D.｜｜cos B＝｜｜ 11.已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是 （　　） A.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 B.｜a·b｜＝｜a｜｜b｜ C.λ（a＋b）＝λa＋λb D.｜a·b｜≤｜a｜｜b｜ 三、填空题 12.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为　　. 13.已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为　　. 14.已知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上的动点，则·的值为　　. 四、解答题 15.已知｜a｜＝5，｜b｜＝4. （1）若a与b的夹角θ＝120°. ①求a·b； ②求向量a在向量b上的投影向量. 15.已知｜a｜＝5，｜b｜＝4. （2）若a∥b，求a·b. 6.2.4　向量的数量积（1） 1.D　解析：向量a与－b的夹角与a与b的夹角互补，夹角为150°. 2.A　解析：选A.因为a·b＞0，所以cos θ＞0.又0≤θ≤π，所以0≤θ＜. 3.B　解析：由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝×2×－＝－3.故选B. 4.B　解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 5.B　解析：·＝｜｜｜｜cos∠ABC＝2××cos 45°＝2. 6.C　解析：由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC綉AD，所以四边形ABCD是矩形. 7.B　解析：由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10cos 60°＝50（J）.故选B. 8.B　解析：设a与b的夹角为θ， ∵｜a｜·cos θ＝b，∴｜a｜·cos θ＝， ∴｜a｜·cos θ＝，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝3×＝. 9.ABC　解析：由向量数量积的性质知0≤｜a·b｜≤｜a｜｜b｜＝2. 10.ABD　解析：在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，面积为1，则AC2＝1，得AC＝，AB＝2，所以·＝0 ，选项A正确；·＝｜｜｜｜cos 45°＝2，选项B正确；·＝｜｜｜｜cos 135°＝－2，选项C不正确；在等腰直角三角形ABC中，cos B＝，即｜｜cos B＝｜｜，选项D正确. 11.ACD　解析：B中，｜a·b｜＝｜｜a｜｜b｜cos θ｜，其中θ为a与b的夹角.故B错误. 12.b　解析：设a与b的夹角为θ， ∵a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝12，又｜b｜＝5， ∴｜a｜cos θ＝，＝， 即向量a在向量b上的投影向量为b. 13.　解析：设a与b的夹角为θ，由题意知｜a｜＝｜b｜＝1，则cos θ＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 14.－a2　解析：如图，在Rt△ADE中， ｜｜cos∠ADE＝a， 所以·＝｜｜｜｜cos ＜，＞＝－a｜｜＝－a2. 15.解：（1）①a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. ②向量a在向量b上的投影向量为｜a｜·cos θ＝5×－×＝－b. （2）∵a∥b，∴a与b的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b＝｜a｜｜b｜cos 0°＝20. 当θ＝180°时，a·b＝｜a｜｜b｜cos 180°＝－20. 学科网（北京）股份有限公司 $$