2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（相似三角形问题）

2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（相似三角形问题） 1．如图1，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C． (1)求搬物线C1的解析式； (2)若P是抛物线在第四象限上的一点，连接交线段于点K，是否存在点P，使得K刚好为的中点，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点M，N都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限，若，求证：直线经过一定点． 2．如图，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点C． (1)求该函数的表达式； (2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作，垂足为点Q，连接． ①若，求线段的长度． ②求线段的最大值． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且． (1)求该二次函数的表达式； (2)点G是直线上方抛物线上的动点，连接，求面积的最大值． (3)将直线绕点C逆时针旋转，交抛物线于点Q，求Q点坐标． 4．如图，已知抛物线经过和两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若轴交于点，求的最大值； (3)若以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 5．如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的最大值为，为直线上方抛物线上的一动点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图1，过点作，垂足为，连接．是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点也是直线上方抛物线上的一动点（点在点的左侧），分别过点，作轴的平行线，分别交直线于点，，连接．若四边形是平行四边形，且周长最大时，求的最大值及相应的点的横坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点、，与轴交于点，，点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，四边形是平行四边形． (1)填空： ； (2)求四边形的面积； (3)若点是的中点，连接、．点是抛物线上一点，是直线上一点，连接、．若与相似，求点的坐标． 7．如图所示，关于x的抛物线，与x轴从左往右分别交于点A、点B，与y轴交于点C，连结． (1)求出A、B、C点的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上的任意一点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)若将原抛物线向下平移3个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点E，连结、，点M为新抛物线上一动点，若，请直接写出满足条件的点M的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），且点坐标为，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的任意一点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为新抛物线上的一个动点，连接、，当，直接写出所有符合条件的点的坐标． 9．抛物线经过，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线在第一象限内一点，当的最大值时，求点坐标． (3)在②问基础上，作轴于，点是一动点，为线段上一点，若，求值的变化范围． 10．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标； (3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标． 11．如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 12．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为D． ①在抛物线上是否存在点P，使面积与面积相等． ②已知P为x轴上一个动点，且为直角三角形，求点P坐标． 13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)求的最小值以及此时点P的坐标； (3)过点P作轴于点M，当和相似时，求点Q的坐标． 14．如图，抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，直线经过点且与抛物线交于另一点． (1)填空：写出下列点的坐标______；______；______； (2)设点是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，求的面积的最大值； (3)点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 16．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． (3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．点P是第一象限内抛物线对称轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m．点F的坐标为，连接，交x轴于点G． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出顶点D的坐标； (2)连接，，，，若，求m的值； (3)当点G把线段分成的两部分时，求点G的坐标． 20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，（在的左边），与轴相交于点，已知、，，是y轴上的动点（位于点下方），过点的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点、（在的左边），与直线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，四边形是正方形，连接，的面积为，正方形的面积为，求的取值范围； (3)如图2，以点为圆心，为半径作． ①动点在上，连接，请直接写出的最小值为 ； ②点是y轴上的一动点，连接，当的值最大时，请直接写出的坐标． 21．抛物线过三点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，交于点E，若满足，求点的坐标； (3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由． 22．如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，于H，当时，求P点坐标； (3)如图2，，直线经过点C，且，直线m经过点D，直线n经过点E，且，则直线m与n之间的最大距离为______． 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（相似三角形问题）》参考答案 1．(1) (2)不存在，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据二次函数的交点式即可得到结论； （2）过点A作y轴的平行线交于点M，过点P作y轴的平行线交于点N，根据相似三角形的性质得到，求得，由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点则，整理得到，由于，得到原方程无实数根，得到不存在点P，使得K刚好为的中点； （3）过M作轴于K，过N作轴于T，如图：根据将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，得到抛物线的解析式为，设，根据相似三角形的性质得到，即，整理化简得到，由点M、N的坐标得，直线解析式为，求得，当时，，得到直线经过． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴， 即； （2）解：不存在， 理由：过点A作y轴的平行线交的延长线于点M，过点P作y轴的平行线交BC于点N， 则， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得直线的表达式为：， 则点，即，则， 设点，则点， 则， 整理得，， ∵， ∴原方程无实数根， ∴不存在点P，使得K刚好为的中点； （3）证明：过M作轴于K，过N作轴于T ∵将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵M，N分别在第四象限和第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理化简得：， 由点M、N的坐标得得直线解析式为， ∴， 当时，， ∴直线经过， ∴直线经过一定点． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 2．(1) (2)①；②最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定以及性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）把点、代入组成二元一次方程组求解即可得出a，b的值，进而可求出该函数的表达式． （2）①由相似三角形的性质得出，，进而可得出，进而可得出点C和点P关于对称轴直线对称，求出，再求出，，，即可得出线段的长度． ②过P点作轴，交于M点，交x轴于N点，求出直线的解析式，设，则，进而可得出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵点、在的图象上， ∴ ， 解得： ∴二次函数的解析式为 （2）解：①：∵ ∴， ∴，即轴， ∴点C和点P关于对称轴直线对称， 当时，， ∴ ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ∴ ②解：过P点作轴，交于M点，交x轴于N点，如图所示 由①知，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ 又∵轴 ∴， 又∵ ∴， ∴，即， ∴ ∴当时，线段的值最大，最大值为； 3．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的关系式，函数最值问题，旋转问题相似三角形的判定与性质等知识． （1）令，求出，得点，，由得，， 把代入，求出，故可求出； （2）过点G作轴于点E，求出，设，得，，，根据得二次函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得结论； （3）证明，求出，得，运用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组并求解即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得： ， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （2）解：对于，令，得， 解得，， ∴， ∴， 过点G作轴于点E， 设，则，，， 又 ∴ ∴， ∴面积有最大值，最大值为； （3）解：设的延长线交轴于点， 根据题意得 又 ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， 把代入，得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或 ∵ ∴． 4．(1) (2)最大值为 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想进行分析． （1）直接利用待定系数法，即可求出解析式； （2）先求出点C的坐标为，然后证明，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，分别表示出和，再由二次函数的最值性质，求出答案； （3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当时；当时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴ 解得：，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线表达式为， ∵直线与x轴交于点C， 令，则， 解得：， ∴点C的坐标为， 如图： ∵轴，轴， ∴, ∴， ∴， ∴， 则， 设点P的坐标为，其中， 则点D的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，且最大值为． （3）解：当时，， 解得：， 点坐标为， ①当时， 轴，， ∴轴， 点纵坐标是3，横坐标， 即，解得， 点的坐标为； 轴， 点的横坐标为2， 点的纵坐标为：， 点的坐标为； ②当时， 此时， 过点作于点， ， ， 设点的坐标为，则点坐标为， 则， 解得：， ∴点坐标为， 综上，点的坐标为或点坐标为． 5．(1) (2)存在， (3)l的最大值为12，相应的点P的横坐标 【分析】（1）根据点在函数图象可得出的值，根据二次函数的最大值为可得，继而得出的值，再确定二次函数与轴的交点坐标，，然后代入直线的解析式，解关于、的方程组即可； （2）如图，过作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交于点，延长交轴于点，证明四边形是矩形，得，，确定直线的解析式为，设直线的解析式为，设，则，然后分两种情况：①，②求解即可； （3）过点作，交的延长线于点，根据是平行四边形的性质得到，，，设，则直线的解析式为，联立方程组，则方程的根即为点、的横坐标，分别设为，，根据一元二次方程根与系数的关系得到，则，根据锐角三角函数得，则，当时，取得最大值，最大值为12，最后解方程即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的最大值为， ，，， ， 抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ，， ，， 设直线的解析式为，过点，， ， 解得：， 直线的解析式为， 抛物线的解析式为，直线的解析式为； （2）解：如图，过作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交于点，延长交轴于点， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ，点为的中点， ，， 点的坐标为，即， 设直线的解析式为， ，得：， 直线的解析式为， ，， ，， 设直线的解析式为， 轴， 轴，， ，， 设，则， ①当时， 则， 设，则， 在中，， 则， 在中，， 则， ， ， 在中，， 则， ， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 点在直线上， ， 解得：， ； ②当时， 则， 设，则， 在中，， 则， 在中，， 则， ， ， 在中，， 则， ， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 点在直线上， ， 解得：， ； 综上所述，点的坐标为或时，以点，，为顶点的三角形与相似； （3）解：过点作，交的延长线于点， 轴，轴， 轴， 轴， ， 四边形是平行四边形， ，，， 设， 即线段向上平移个单位得到线段， 设直线的解析式为， 联立方程组， ， 则方程的根即为点、的横坐标，分别设为，， ，， ， ， ， 在中，， 则， 平行四边形的周长： ， 当时，取得最大值，最大值为12， 此时， ， 解得：，， 点的横坐标为， 的最大值为12，相应的点的横坐标． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 6．(1) (2)8 (3)或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由四边形是平行四边形，则四边形的面积； （3）当 时，即，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：， 则，则点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：如图1，过点作轴于． ， ． ， 设直线的函数关系式为，则： ，解得：， 直线的函数表达式是， 四边形是平行四边形， 且． 设点， 则点， ， ． ， ． 四边形的面积； （3）解：如图2，过点作轴于，过点作于． 则． ，， 设直线的函数关系式为，则： ，解得：， 直线的函数表达式是． 直线与轴的交点． ． ， ，， ， ． ， ． ． 当 时，即， ， ． ，， ∴，即点G从而点F的纵坐标为2， 代入的函数表达式中，得． ； 当时，则， ， 则， ， 可设则， 中，， （负值已舍去）， 则， ∴，， 即点F的纵坐标为，代入的函数表达式中，得． ， 综上所述，点的坐标是或． 7．(1)， (2)最大值为4， (3)M的坐标为或 【分析】（1）令，求解即可； （2）过Q作轴于T，设，，由三角函数可知，可得，再求最值及坐标即可； （3）分两种情况讨论，当M在下方时，过E作，使，交新抛物线于M，过B作于D，过D作轴于G，过E作交延长线于F，则，证明，可得，设，则，由求出x，即可求出，求出的解析式，并与平移后的抛物线联立即可求出M点坐标；当M在上方时，作，使，交新抛物线于，在上取一点N，使，过N作轴于H，证明，求出，同理可求坐标． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，解得， 又A在B的左侧， ； （2）解：过Q作轴于T， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 当时，， ； （3）解：将原抛物线向下平移3个单位长度得到新抛物线， 新抛物线的解析式为：， 当时，， ， ， 当M在下方时， 过E作，使，交新抛物线于M，过B作于D，过D作轴于G，过E作交延长线于F，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ， 当M在上方时， 作，使，交新抛物线于，在上取一点N，使，过N作轴于H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ， 综上所述，M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及相似三角形的性质和判定，三角函数，待定系数法求解析式，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 8．(1) (2)， (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，，，解直角三角形得出，，延长交延长线于点，过点作于，解直角三角形得出，，推出，，待定系数法求出直线的解析式为，设，则，，则，，求出，再结合二次函数的性质即可得解； （3）移后的抛物线的解析式为，得出新抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，作于，于，过点作轴于，过C作于，于，则，，证明三角形相似，由相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】（1）解：在直线上，令，解得， ； 把，代入，得：， 解得，            ； （2）解：在中，令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 延长交延长线于点，过点作于， ， ∵轴， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ，， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ∴ ；             ， 时，，    此时； （3）解：， ∵， ∴该抛物线沿射线方向平移个单位，就是将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为， 如图，作于，于，过点作轴于，作于，轴于，则，， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式，二次函数综合线段问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 9．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图像和性质． （1）将，代入抛物线解析，求出b和c的值，即可得出解析式； （2）过点作轴，交于，先求出点C的坐标，可求直线解析式为，设，则，进而得出，根据，结合二次函数的性质，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：当在点左侧时，当在点右侧时目、重合时 ，即可解答． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析得： ， ， ； （2）解：过点作轴，交于 令，， ， 设直线解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 可求直线解析式为， 设， ， ， ； 当  面积最大为，此时， ； （3）解：当在点左侧时：过点作于， ， 设， ， ， ，， ， ∵，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 且， ； 当在点右侧时目、重合时：， 同理可得， ， ， ， 综上所述． 10．(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为 (2)当时，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点M的坐标； （2）分两种情况：当点在上方时，连接；当点在下方时，连接，交轴于；分别求解即可得解； （3）待定系数法求出直线的解析式为，作轴，交于，设，则，求出，证明，得出，结合，得出，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：在中，当时，，则， 如图，当点在上方时，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴此时； 如图，当点在下方时，连接，交轴于， ， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式为， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：或（不符合题意，舍去） 当时，， ∴此时； 综上所述，当时，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴，交于， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值，此时，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—角度问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 11．(1)； (2)； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解得， 故，． ∴； （2）解：令，则， ∴， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，三角形相似的判定，正切函数的定义，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键． 12．(1) (2)①存在，P的坐标为，，；②和 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标． ②根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； （2）解：①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，过点C作直线于E，并延长使，则点与点关于直线对称，过点作， 设，直线的解析式为，则， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， ∴直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②由（1）可得：，， ∴，， ∴， （Ⅰ）如图1，当B为直角顶点时，过B作交x轴于点， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴，即， （Ⅱ）如图2，当为直角顶点时，作，连接， 将与联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 则， 故点坐标为； （Ⅲ）如图3，当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，设 ∵， ∴， ∵， ∴ 得：， ∵方程无解， ∴点不存在， ∴点P的坐标为：和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合面积问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 13．(1) (2)最小值为6，点P的坐标为 (3)Q点坐标为 【分析】（1）令，解一元二次方程即可求得抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；令，则可求得抛物线与y轴的交点C的坐标； （2）把点B向上平移1个单位到点D，连接，则四边形是平行四边形，从而有，故，当点P在线段上时，取得最小值，由勾股定理求得的长，即可求得最小值；再求出直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）设，则得P点坐标；分两种情况考虑，利用相似三角形的性质建立方程即可求得t的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴； 令，则， ∴； （2）解：把点B向上平移1个单位到点D，连接，如图； 则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点P在线段上时，取得最小值，且最小值为； 由勾股定理得， ∴最小值为； 设直线的解析式为，把C、D坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 即点P的坐标为； （3）解：设， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，， ∴，； ∵轴， ∴，； ①当时， 则，即， ∴， 解得：， 此时，Q点坐标为； ②当时， 则，即， ∴， 整理得：， ， 则方程无解； 综上，Q点坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，求一次函数解析式，相似三角形的性质，平行四边形的判定，两点间线段最短等知识，注意分类讨论；熟练掌握这些知识是关键． 14．(1)，，； (2)最大值为； (3)点坐标为或． 【分析】（）当时，解出的值，即可知道点坐标； 当时，解出的值，即可知道点坐标； （）过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点，设 ，求出长度，再转化的面积，得到 ，进而可求出面积最大值； （）通过计算可得，进而可知只可能存在和 两种情况，利用相似三角形性质进行分情况讨论即可； 本题考查了二次函数综合问题、面积最值问题以及相似三角形性质，能够正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线 与轴交于两点，且与轴交于点， ∴当时，，解得，， 当时，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）如图，过点作轴的垂线，与轴交于点，与交于点，过点作轴的平行线，与的延长线交于点， 由题意得， 解得 或， ∴， 设，则， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的面积的达到最大值，最大值为； （3）如图，过点作 轴，垂足为点， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， 又∵， ∴，，， 设，则， ∵， ∴只可能存在和 两种情况， 当时， ∴，即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得， 综上点坐标为或． 15．(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可； （3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式为：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 16．(1) (2)； (3) (4)存在，或 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案； （3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到． 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识，数形结合是解题的关键． 17．(1)； (2)； (3)存在， 或． 【分析】（1）将A，B，C三点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可； （2）设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论； （3）分和两种情况列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设，则， 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，即当时，； （3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： 设，则，． ∴， 如图，过点作轴于点，则， 由（1）可得：，，则 ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点， ①当时，则，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时，，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免漏解． 18．(1)点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为； (2)或 (3)在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或 【分析】（1）令，则，得出点的坐标为，点的坐标为．令，得．得出点的坐标为； （2）根据，，可得，设点的坐标为，根据三角形的面积为60列出方程，即可求解； （3）设，．分三种情况：①当，时，，根据点与点的纵坐标相同，为．②当，时，，过点作于点．③当，时，，分别求得点的坐标． 【详解】（1）令，则， 解得，． 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为． 令，得． 点的坐标为； （2），， ， 设点的坐标为， ． ，． 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （3）在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．点的坐标为或或．理由如下： ，， ． ， 是等腰直角三角形． 抛物线的对称轴为直线． 设直线的表达式为． 将，代入， 得 解得． 直线的表达式为． 将代入，得． ． 点在射线上， 点的横坐标为3． 设，． 分三种情况： ①当，时，，如图2． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②当，时，，如图3，过点作于点． 由①得点的坐标为， ， ． ，， ． 点的坐标为． ③当，时，，如图4． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 19．(1)，，， (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）令即可得出的坐标，令即可求出、的坐标，将抛物线解析式化为顶点式即可得出点的坐标； （2）由（1）可得，由题意得，表示出，待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于，则，，表示出，结合，得出，计算即可得解； （3）过点作轴于点，则，证明，得出，再分两种情况：当时，当时，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得：，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， ∵, ∴； （2）解：∵， ∴， 由题意得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于，则， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，过点作轴于点，则， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点G把线段分成的两部分， ∴当时，，, ∴， 由题意得：，则， 故令， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当，，， ∴， 令， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、二次函数综合—面积问题、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 20．(1) (2) (3)①；②点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，待定系数法求出直线的解析式为，则，得出，设点，则，即，再表示出，，，结合，，得出，求出，结合二次函数的性质即可得出答案； （3）①连接，在轴上取点，连接，，证明，由相似三角形的性质得出，推出，即当、、共线时，最小，最小值即为的长度，再由勾股定理计算即可得出答案；②分两种情况：当在轴正半轴时；当在轴负半轴时，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：把、，代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， 设点，则，即， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值随的增大而减小， ∴当时，的值最大，为，当时，的值最小，为， ∴的取值范围为； （3）解：①连接，在轴上取点，连接，，如图， ， ∵的半径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当、、共线时，最小， ∴当、、共线时，最小，最小值即为的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为； ②当在轴正半轴时，作的外接圆，作轴于，连接，，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵为定值， ∴当最小时，最大， ∵， ∴当最小时，最小， ∴当轴时，最小， 此时，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴负半轴上时，同理可得, 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 21．(1) (2) (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的表达式，设点，则点，表示出即可求解； （3）分情况讨论：当时；当时；当时利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得 ∴抛物线的表达式为 （2）解：设直线的表达式为 则，解得： ∴直线的表达式为 设点，则点 ∴ 设直线与直线交于点G， ∵ ∴，， 在中， ∵， ∴，解得：（舍） ∴ （3）根据题意得，为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则为等 腰直角三角形， 分三种情况： 若，如图，过点P作轴，过点Q作，过点B作 ∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 如图， 同理可证 ∴， ∴； 若，如图， 同理可证 ∴， ∴ ∴； 如图，同理可得： ∴ ∴； 若，如图， 过点Q作 同理可证 ∵ 此时不存在符合条件的P，Q 综上：点的坐标为，，，， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 22．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）运用待定系数法把点，分别代入，解方程组即可求得答案； （2）运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴，交于点，设，可得，再证得是等腰直角三角形，可得，建立方程求解即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，作外接圆，连接交直线于点，可得是的直径，点是的中点，即点在以为直径的上运动，当直线与相切于点，即时，线段的值最大为，此时，，直线与的距离最大，运用相似三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：把点，分别代入， 得， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； （2）当时，， ， 设直线的解析式为，把，分别代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交于点，如图1， 设，则， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 或； （3）如图2，过点作，交的延长线于点，作外接圆，连接交直线于点， ，， ， 是的直径，点是的中点，即点在以为直径的上运动， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 当直线与相切于点，即时，线段的值最大为，此时，，直线与的距离最大， ， ， ， ， ， ， ， 直线与之间的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线间的距离，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，综合运用二次函数图象性质与相似三角形的判定和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$