7.5 正态分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5 正态分布 学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图,了解正态曲线的特征、意义以及正态曲线的性质; 2.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率; 复习引入 1.两点分布： X 0 1 P 1-p p 2.超几何分布： 3.二项分布： X 0 1 … k … n P … … X 0 1 … k … n P … … 复习引入 离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述， (两点分布、超几何分布、二项分布等) 连续型随机变量的概率分布规律用什么来描述？ 人的身高、体重、肺活量；电视机的寿命；小麦的株高、穗长、单位面积产量；零件的尺寸；某地每年7月的平均气温、降水量；居民的月均用水量…… 它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴 问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量). 用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X (单位: g) 的观测值如下: 探究新知 -0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 思考：(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布? (2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布? 探究新知 根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图(1)所示. 频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1. 观察图形可知: 误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁. 频率/组距 X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 0.10 0.20 4 2 6 图 (1) 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图(2)所示. 探究新知 频率/组距 X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 图 (2) 0.10 0.20 4 2 6 P X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 图 (3) 0.10 0.20 4 2 6 根据频率与概率的关系，可用图(3)中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布. 例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2, -1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示. 探究新知 追问1 由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是一个函数. 那么，这个函数是否存在解析式呢? 答案是肯定的. 在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式: 其中μ∈R，σ>0为参数. 显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 探究新知 f (x) x μ a A 图 (4) B x b O 若X~N(μ, σ2)，则如图(4)所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积. 追问2 观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点? 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点: (1) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (2) 曲线在x=μ处达到峰值 (3) 当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. 探究新知 f (x) x μ a A 图 (4) B x b O 追问3 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征? 由于正态曲线关于x=μ对称，因此，当参数σ固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，所以参数μ反映了正态分布的集中位置，可以用均值来估计，故有E(X)=μ. 探究新知 0.4 x -3 μ=1 2 -1 图(5) -2 1 3 O μ=-1 μ=0 y σ=1 当μ固定时，因为正态曲线的峰值与σ成反比，而且对任意的σ>0，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1. 因此，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，所以σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，可以用标准差来估计，故有D(X)=σ2. 追问3 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征? 探究新知 0.4 x -3 σ=0.5 2 -1 图 (6) -2 1 3 O σ=2 μ=0 y σ=1 0.8 (1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交； (3) 曲线与x轴之间的面积为1； (4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 正态曲线的性质： (5) 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度. 归纳总结 在实际问题中，参数μ, σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有 (2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且在x=μ处取得最大值 ； 正态曲线下的面积规律： -x1 -x2 x2 x1  a -a 正态曲线下对称区域的面积相等 对应的概率也相等 利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率 探究新知 假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值. 特殊区间的概率： 探究新知 由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-∞, +∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ, μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中, 通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值, 这在统计学中称为3σ原则. 典型例题 A.甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品 的稳定性 B.甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品 的稳定性 C.甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D.甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 √ 题型一 正态曲线的图象与性质 补 典型例题 由图知甲、乙两条生产线的平均值相等，甲的正态曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性. 归纳总结 利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值 ，由此特点结合图象可求出σ. 典型例题 跟踪训练1　(1)(多选)下面关于正态曲线的叙述中，正确的有 A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 √ 只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散. √ √ 题型一 正态曲线的图象与性质 补 典型例题 A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于 平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 √ √ √ 题型一 正态曲线的图象与性质 补 典型例题 由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称， 所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正确； 因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 因为乙图象的最大值为1.99， 典型例题 （1）∵ξ～N(1,22)， ∴μ＝1，σ＝2， P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2) ＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7. 例2　设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)；(3)P(ξ>5) 题型二 利用正态分布的对称性求概率 补 典型例题 题型二 利用正态分布的对称性求概率 （2）∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)， 例2　设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)；(3)P(ξ>5) 补 典型例题 题型二 利用正态分布的对称性求概率 例2　设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)；(3)P(ξ>5) 补 归纳总结 利用正态分布X~N(μ, σ2)求概率的两个方法 (1)对称法：①找：对称轴直线x＝μ; ②画图; ③求解：利用概率的和为1即：P(X＜a)＝1－P(X≥a); 对称区间概率相等即：P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a); 特别地P(X＜μ)＝P(X＞μ)=0.5 (2)“3σ”法：①找：对称轴直线x＝μ;标准差σ ②表示：将所求概率区间用μ与σ的形式表示出来, ③求解:利用对称法及X落在区间[μ－σ,μ＋σ],[μ－2σ,μ＋2σ], [μ－3σ,μ＋3σ]内的概率分别是0.6827,0.9545,0.9973求解. 典型例题 跟踪训练2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<2)等于 A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 √ 由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P(ξ<2)＝0.6， 所以P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝0.4，故P(0<ξ<2)＝1－0.4－0.4＝0.2. 题型二 利用正态分布的对称性求概率 补 典型例题 跟踪训练2 (2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2， P(2<ξ<6)＝0.6，则μ等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ ∵P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6， ∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2， 题型二 利用正态分布的对称性求概率 补 典型例题 例2. 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： （1）不高于170的概率； （2）在区间[160，180]内的概率； （3）不高于180的概率. (附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) 题型三 正态分布的实际应用 学案P2 典型例题 题型三 正态分布的实际应用 典型例题 题型三 正态分布的实际应用 学案P2 典型例题 题型三 正态分布的实际应用 归纳总结 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格. 当堂检测 1.下列函数是正态分布密度函数的是(　　) 答案:B 学案P2 当堂检测 解析:∵ξ服从正态分布N(0,σ2),∴曲线的对称轴是直线x=0. ∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1. ∴ξ在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4,故选B. 答案:B 2.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)内取值的概率为0.1,则ξ在(0,1)内取值的概率为(　　) A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1 学案P2 当堂检测 解析:因为月收入服从正态分布N(500,202), 所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520. 所以月均收入在[480,520]范围内的概率为0.683. 由图像的对称性可知,此县农民月均收入在500到520元间人数的百分比约为34.15%. 答案:34.15% 3.某县农民月均收入服从N(500,202)的正态分布,则此县农民月均收入在500元到520元间人数的百分比约为　　　　　. 学案P2 当堂检测 解析:零件尺寸属于区间[μ-2σ,μ+2σ], 即零件尺寸在[1,5]内取值的概率约为95.4%, 故零件尺寸不属于区间[1,5]内的概率为1-95.4%=4.6%. 答案:4.6% 4.某种零件的尺寸ξ(单位:cm)服从正态分布N(3,12),则不属于区间[1,5]这个尺寸范围的零件数约占总数的　　　　　. 学案P2 当堂检测 5. 设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数. 解:μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ), ∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1, ∴P(X-μ<-σ)=0.158 5. ∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 5=0.841 5. ∴54×0.841 5≈45(人),即及格人数约为45人. ∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ), ∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1, ∴P(X-μ>σ)=0.158 5, 即P(X>130)=0.158 5. ∴54×0.158 5≈9(人), 即130分以上的人数约为9人. 学案P2 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 1. 正态分布： 正态密度函数： 2.特殊区间的概率： 课堂小结 (1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交； (3) 曲线与x轴之间的面积为1； (4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 正态曲线的性质： (5) 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度. 在实际问题中，参数μ, σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有 (2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且在x=μ处取得最大值 ； 课堂小结 $$