7.5正态分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

§7.5　正态分布 第七章　随机变量及其分布 学习目标 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间[ μ－σ，μ＋σ ]，[ μ－2σ，μ＋2σ ]，[ μ－3σ，μ＋3σ ]内的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题. 导语 一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？ 课时对点练 一、正态曲线及其特征 二、利用正态分布的性质求概率 三、正态分布的应用 随堂演练 内容索引 正态曲线及其特征 一 问题1　下列随机变量哪个是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间. 提示　(1)是，(2)不是. 问题2　教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？ 提示　存在. 知识梳理 1.我们称f(x)＝________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为_____________，称它的图象为正态密度曲线，简称_________. 2.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为______________.特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从_____ _________. 3.若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 正态密度函数 正态曲线 X～N(μ，σ2) 标准 正态分布 4.正态曲线的特点： (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的_____. (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为____. (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线______对称. (4)最大值：曲线在______处达到峰值 . (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近____轴. 上方 1 x＝μ x＝μ x (6)当____一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着____的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. σ μ 5.正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积. 　　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ . 例1 20 2 (2)某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1， )，Y～N(μ2， )，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是 A.甲生产线产品的稳定性高于乙 生产线产品的稳定性 B.甲生产线产品的稳定性低于乙 生产线产品的稳定性 C.甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D.甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 √ 由图知甲、乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性. 利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值 ，由此特点结合图象可求出σ. 反思感悟 跟踪训练1 　　　(1)(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有 A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B.当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散. √ √ √ 跟踪训练1 　　　(2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1， 　)，N(μ2，　)，其正态分布的密度曲线f(x)＝　　　　　　，x∈R，如图所示，则下列说法正确的是 A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均 　值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 √ √ √ 由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图 象关于直线x＝0.8对称， 所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正确； 因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 因为乙图象的最大值为1.99， 利用正态分布的性质求概率 二 知识梳理 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________. 0.682 7 0.954 5 0.997 3 尽管随机变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 注意点： 　　设ξ～N(1,22)，试求： (1)P(－1≤ξ≤3)； 例2 ∵ξ～N(1,22)， ∴μ＝1，σ＝2， P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2) ＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7. (2)P(3≤ξ≤5). ∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)， 延伸探究　若本例条件不变，求P(ξ>5). 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]， [μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 反思感悟 跟踪训练2 　　　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<2)等于 A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P(ξ<2)＝0.6， 所以P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝0.4，故P(0<ξ<2)＝1－0.4－0.4＝0.2. √ (2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ等于 A.3 B.4 C.5 D.6 ∵P(ξ<2)＝0,2，P(2<ξ<6)＝0.6， ∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2， √ 正态分布的应用 三 　　(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最 后结果的误差，Xn ～N　　　，则为使|Xn|≥　的概率控制在0.045 5以下， 至少要测量的次数为(附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ 0.997 3) A.32 B.64 C.128 D.256 例3 √ (2)某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？ 由于外直径X～N(4,0.52)， 则X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5,5.5]之外取值的概率为0.002 7， 而5.7∉[2.5,5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的. 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格. 反思感悟 跟踪训练3 　　　“双十二”网购狂欢节是继“双十一”之后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600,10 000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为(附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A.16 B.18 C.20 D.25 √ ∵小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600, 10 000)， ∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.022 75 ×800＝18.2≈18. 课堂 小结 1.知识清单： (1)正态曲线及其特点. (2)正态分布的应用，3σ原则. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：概率区间转化不等价. 随堂演练 1.设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝ ，则这个正态总体的均值与标准差分别是 A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 √ 1 2 3 4 由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2. 2.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于直线x＝a对称，且 P(X＞a)＝0.5， 由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1. √ 3.已知随机变量X服从正态分布N(10,22)，则D(3X－1)等于 A.6 B.11 C.12 D.36 √ 1 2 3 4 因为随机变量X服从正态分布N(10,22)， 所以D(X)＝22＝4， 所以D(3X－1)＝32D(X)＝9×4＝36. 4.如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝ . 1 2 3 4 因为ξ～N(μ，σ2)，故正态密度曲线关于直线x＝μ对称， 又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)， 2 课时对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知随机变量X～N(6,1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，则P(7<X≤8)为 A.0.135 8 B.0.271 6 C.0.135 9 D.0.271 8 √ 由题设可得P(5≤X≤7)≈0.682 7，P(4≤X≤8)≈0.954 5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是 A.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大 B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)内与落在(10,10.3)内的概率相等 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)， 所以测量的结果的概率分布关于直线x＝10对称，且方差σ2越小，则分布越集中， 对于A，σ越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故选项A正确； 对于B，不管σ取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确； 对于C，由于概率分布关于直线x＝10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为随机变量X～B(6，p)， 所以E(X)＝6p， 即E(Y)＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某中学抽取了1 600名同学进行身高调查，已知样本的身高(单位：cm)服从正态分布N(170，σ2).若身高在165 cm到175 cm的人数占样本总数的 ，则样本中不高于165 cm的同学数目约为 A.80 　　　　B.160 　　　　C.240 　　　　D.320 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知三个正态密度函数fi(x)＝ (x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是 A.σ1＝σ2 B.μ1>μ3 C.μ2＝μ3 D.σ2<σ3 √ 根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠近右边，所以μ1<μ2＝μ3，故B错误，C正确； 又σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，所以σ1＝σ2<σ3，A，D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是 A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B.三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小 依次为甲、乙、丙 C.三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙 D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的 平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲 线越扁平，σ越小，正态曲线越瘦高， 故三种手表日走时误差的标准差(或方差σ2)从小到大依次为甲、乙、丙，甲品牌的质量最好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，若P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，则实数a＝ . 由题意，随机变量ξ服从正态分布N(4,3)，可得μ＝4，σ2＝3， 又由P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，可得x＝a－5和x＝a＋1关于直线x＝4对称， 所以a－5＋a＋1＝8，解得a＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为 . 因为正态分布的均值为1，所以P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＝0.4， 所以P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.8. 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.若X～N(μ，σ2)，根据P(μ≤X≤μ＋σ)≈0.341 35，P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ) ≈0.135 9，写出下列各概率值： (1)P(μ－σ≤X≤μ)； 根据对称性，P(μ－σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋σ)≈0.341 35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)P(μ－2σ≤X≤μ). P(μ－2σ≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋2σ) ＝P(μ≤X≤μ＋σ)＋P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ) ≈0.341 35＋0.135 9＝0.477 25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 还有7分钟时： 若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5<X≤7) 若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率 P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6<X≤7) 因为P1<P2，所以应选第二条路线. 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知某批零件的长度X(单位：毫米)服从正态分布N(60，σ2)，且P(X<62)＝0.8，从中随机取一个零件，其长度落在区间(58,60)内的概率为 A.0.3 　　　　B.0.4 　　　　C.0.5 　　　D.0.6 √ 由题意知X～N(60，σ2)，所以μ＝60， 所以P(X<62)＝0.8＝P(X<60)＋P(60<X<62)，又P(X<60)＝0.5， 所以P(60<X<62)＝0.3，由正态密度曲线的对称性可得P(58<X<60)＝0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布X～N(100,1).现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下： 101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.根据行业标准，概率低于0.002 7视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97,103]内， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.一批电阻的阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，则下列结论正确的是 A.甲、乙两箱电阻均可出厂 B.甲、乙两箱电阻均不可出厂 C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意N(1 000,52)，μ－3σ＝1 000－15＝985，μ＋3σ＝1 000＋15＝1015， [μ－3σ，μ＋3σ]＝[985,1 015]， 1 011∈[985,1 015]，982∉[985,1 015]， 所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为 ，则μ＝ . 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)若随机变量ξ～N(0,2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的有 A.φ(－x)＝1－φ(x) B.φ(2x)＝2φ(x) C.P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1 D.P(|ξ|>x)＝2－2φ(x) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为ξ～N(0,2)，所以其正态曲线关于直线x＝0对称， 因为φ(x)＝P(ξ≤x)，x>0，所以φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝1－φ(x)，A正确； 因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)不一定成立，B不正确； 因为P(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝2φ(x)－1，C正确； 因为P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝2－2φ(x)，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表： X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 (1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)： X 4 5 6 7 8 9 P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02 E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7， 方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2 ×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8. 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间[7.9,8.8]的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， 即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间[7.9,8.8]的概率约为0.135 9. 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