精品解析：山东省新泰市第一中学北校2024-2025学年高一上学期第二次大单元考试数学试题

新泰一中北校第二次大单元考试 数学试题 考试时间：120分钟 第I卷选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间为（ ） A B. C. D. 5. 已知偶函数在单调递减，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于方程有两不等实数根，则的取值范围 A. （0，） B. （） C. （1，） D. 01 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项时符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 11. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“不都为”的________条件. 13. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是______． 14. 函数最小值为___________． 四、解答题 15. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围. 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期与单调增区间； （2）求函数在上的最大值与最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中北校第二次大单元考试 数学试题 考试时间：120分钟 第I卷选择题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集定义可直接得到结果. 【详解】由交集定义知：. 故选：C. 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再利用零点存在定理即可确定零点所在区间. 【详解】由可知，该函数在上减函数， 又，而， 由,利用零点存在定理，可得函数的零点所在区间是. 故选：C. 3. 若函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况分别解不等式即可. 详解】当时，由，即所以，解得； 当时，由，即所以，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据同增异减可求递增区间. 【详解】， 由题设有，故或， 设或，，则在上为增函数， 而在上为减函数，在上为增函数， 故在上为减函数，在上为增函数， 故选：A. 5. 已知偶函数在单调递减，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性得，，利用对数的运算得到，结合题设条件，即可求解. 【详解】因为，，， 又偶函数在单调递减， 所以， 即. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】 ， 故选：D. 7. 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图像和性质即可解得. 【详解】因为图像经过， 所以. 即. 解得. 由图像可知，即， 解得，所以，. 所以的最小正周期为. 故选：C 8. 已知函数，若关于方程有两不等实数根，则的取值范围 A. （0，） B. （） C. （1，） D. 0,1 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数和程的图象，结合图象即可求得答案 【详解】作出函数和的图象，如图所示 由图可知当方程有两不等实数根时， 则实数的取值范围是0,1 故选 【点睛】本题是一道关于分段函数的应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握对数函数与指数函数的图象与性质，考查了数形结合思想，属于中档题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项时符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由基本不等式及二次函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A: ，等号成立当且仅当，故A错误； 对于B: 当时，等号成立，故B正确； 对于C：当时， ，当时，等号成立， 当时，，当时，等号成立，故C错误； 对于D: ， 当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为且为第二象限角， 故是第二象限角，A错； 对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对； 对于D选项，因为为锐角，不妨取，则为直角，D错. 故选：BC. 11. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】首先求出函数解析式，由周期知A正确；整体代入法求函数增区间、对称轴、对称中心知其他选项是否正确. 【详解】因为，向右平移个单位得， 对于选项A：则最小正周期为，故A选项正确； 对于选项B：令，解得， 所以单调递增区间为，故B选项错误； 对于选项C：令，解得，故C选项错误； 对于选项D：令，解得所以函数对称中心为，故D选项正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“不都为”的________条件. 【答案】充分非必要 【解析】 【分析】根据逆否命题的等价性先判断是充分非必要条件即可得到结论 【详解】解：令命题，命题，不都为； ，，都是， 则当，都是时，满足， 反之当，时，满足，但，都是不成立， 即是充分非必要条件，则根据逆否命题的等价性知是的充分非必要条件， 故答案为：充分非必要． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性先判断是充分不必要条件是解决本题的关键． 13. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性以及奇偶性可求解，即可根据的单调性求解. 【详解】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 故答案为： 14. 函数的最小值为___________． 【答案】. 【解析】 【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解. 【详解】， ，当时，， 故函数的最小值为． 【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误． 四、解答题 15. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，求出相关的三角函数值即可求解； （2）求出相关角的范围，利用，求解即可. 【小问1详解】 ，且，，， ，， 且，，，， ； 【小问2详解】 ，.，， ，∴， ，. 16. 已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）有两个不等实根时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由指数函数性质得定点坐标，代入解析式求得； （2）利用单调性解不等式； （3）利用函数图象交点个数确定结论． 【小问1详解】 函数的图像恒过定点A，A点的坐标为， 又因为A点在上，则：； 【小问2详解】 由题意知：， 而在定义域上单调递增，知 ，即， ∴不等式的解集为. 【小问3详解】 由知：，方程有两个不等实根 令，，它们的函数图像有两个交点，如图， 由图像可知：，故的取值范围为. 17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，．每件产品售价为6元．假设小王生产的商品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，取得最大值15（万元） 【解析】 【分析】根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分和当两种情况得到的分段函数关系式；(2）当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可． 【小问1详解】 因为每件产品售价为6元，则x（万件）商品销售收入为万元， 依题：当时， 当时，， 所以； 【小问2详解】 当时，， 此时，当时，取得最大值（万元）； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最大值15（万元）， 因为，所以当产量为10（万件）时，利润最大，为15万元. 18. 已知函数，. （1）求函数最小正周期与单调增区间； （2）求函数在上最大值与最小值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后求得最小正周期，利用整体代入法来求得单调区间. （2）根据三角函数最值的求法来求得正确答案. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期， 令，， 解得，， 所以单调递增区间为 【小问2详解】 ∵，∴，∴， 即， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $