7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数的加、减运算及其几何意义 高中数学 学习目标与任务 能进行复数代数形式的加、减运算； 了解复数相加、减的几何意义； 经历复数加法交换律、结合律的证明过程; 会利用数形结合思想解决复数中的相关问题. 高中数学 重点难点 重点：复数代数形式的加、减的运算法则及其运算律. 难点： 复数减法的运算法则及其加、减运算的几何意义. 高中数学 复习回顾 1.复数的概念 把形如a  bi（a, b  R ）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部. 高中数学 2.复数的几何意义 任意一个复数z  a  bi与复平面内 一点Z a, b对应，复平面内任意一 点Z a, b又可以与以原点为起点， 点Z a, b为终点的向量 对应. OZ 这些对应都是一一对应 高中数学 a2 b2 OZ .    复数的模：z  a  bi  高中数学 新课探究、得出新知 实数有加、减运算且有运算律 a  b  b  a (交换律)， (a  b)  c  a  (b  c) (结合律). 那么复数应怎样进行加、减运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减运 算？运算律仍成立吗？ 高中数学 探究1 复数的加法 复数的加法法则是直接规定的，在将实数集扩充到复数 集时，希望数集扩充后，在复数集规定的加法运算与实数集 规定的加法运算协调一致. 高中数学 新知1 复数的加法法则 我们规定.复数的加法法则如下： 设z1  a  bi, z2  c  di (a, b, c, d  R)是任意两个复数，那么它们的和 (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i. 高中数学 说明： 两个复数相加，实际上就是实部与实部相加为它们和的实部，虚部与 虚部相加为它们和的虚部； 复数的加法法则是一种规定，当两个复数的虚部都为零时，复数的加 法与实数的加法法则保持一致； 两个复数的和仍然是一个复数，复数的加法可以推广到多个复数相加. 高中数学  a1 )  (b2  b1 )i, 探究2 复数的加法满足交换律、结合律 设z1  a1  b1i, z2  a2  b2i, z3  a3  b3i, 其中a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3  R (1)因为 z1  z2  (a1  b1i)  (a2  b2i)  (a1  a2 )  (b1  b2 )i, z2  z1  (a2  b2i)  (a1  b1i)  (a2 又 a1  a2  a2  a1，b1  b2  b2  b1， 所以 z1  z2  z2  z1 . 复数的加法满足交换律 高中数学 (z1  z2 )  z3  (a1  b1i)  (a2  b2i)  (a3  b3i)  (a1  a2 )  (b1  b2 )i  (a3  b3i)  (a1  a2 )  a3   (b1  b2 )  b3 i, z1  (z2  z3 )  (a1  b1i)  (a2  b2i)  (a3  b3i)  (a1  b1i)  (a2  a3 )  (b2  b3 )i  a1  (a2  a3 )  b1  (b2  b3 )i, (2)因为 高中数学 又 (a1  a2 )  a3  a1  (a2  a3 ), (b1  b2 )  b3  b1  (b2  b3 )， 所以 ( z1  z2 )  z3  z1  ( z2  z3 ). 复数的加法满足结合律 新知2 复数的加法满足交换律、结合律 对任意z1，z2，z3  C，有 z1  z2  z2  z1， （z1  z2） z3  z1 （z2  z3）. 高中数学 探究3 复数的减法 类比实数的减法，规定复数的减法是加法的逆运算，即把满足 （c  di）（x  yi） a  bi 的复数x  yi（x，y  R ）叫做复数a  bi（a，b  R ）减去c  di （c，d  R ）的差，记作（a  bi）（c  di）. 高中数学 根据复数相等的含义， c  x  a，d  y  b， 因此 x  a  c，y  b  d， 所以 x  yi  (a  c)  (b  d )i， 即 (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i. 高中数学 新知3 复数的减法法则 复数的减法法则如下： 设z1  a  bi, z2  c  di (a, b, c, d  R)是任意两个复数，那么它们的差 (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i. 高中数学 说明： 两个复数相减，实际上就是实部与实部相减为它们差的实部，虚部与 虚部相减为它们差的虚部； 两个复数的差是一个确定的复数 . 高中数学 题型1 复数的加、减法 例1 计算5  6i  2  i  3  4i . 解： 5  6i  2  i  3  4i  5  2  3  6 1 4i  11i. 说明： 复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减； 把“i”看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项. 高中数学 探究4 复数加法的几何意义 复数与复平面内以原点为起点 的平面向量一一对应； 向量加法的坐标形式及其几何 意义； 复数的加法法则. 高中数学       1 2 1 1 2               设     OZ ，OZ 分别与复数a  bi, c  di 对应，则OZ a, b ， OZ2  c, d  .由平面向量的坐标运算法则，得 OZ1  OZ2  a  c, b  d  . 这说明两个向量  OZ 与 OZ 的和就是与复数 a  c  b  d i对 应的向量. 高中数学 因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行图 7.2 1，这就是复数加法的几何意义. 高中数学 新知4 复数加法的几何意义 复数 平面向量 向量加法的平行四边形法则 复数加法的几何意义 高中数学 探究5 复数减法的几何意义 类比复数加法的几何意义，容易得到复数减法的几 何意义，即复数的减法可以按照向量减法来进行， 如图所示. 高中数学 新知5 复数减法的几何意义 复数 平面向量 向量减法的三角形法则 复数减法的几何意义 思考：z1  z2 表示什么？ 高中数学 1 2 1 2 Z2 Z1 z  z     ，即点Z ，Z 之间的距离 . 高中数学   1 2 2 2 2 1 2 1 . Z Z Z1Z2  z2  z1   x2  y2i   x1  y1i   x2  x1    y2  y1 i   x  x   y y     题型2 复数及其运算的几何意义 例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1  x1 , y1 , Z2  x2 , y2 之间的距离. 解： 因为复平面内的点Z1  x1 , y1  , Z2  x2 , y2 对应的复数分别为 z1  x1  y1i，z2  x2  y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为 高中数学 课堂小结 复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数， 复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算. 在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关 复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理. 高中数学 作业 课本P77练习 高中数学 祝同学们健康快乐！ $$