7.2.2复数的乘、除运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2 复数的乘、除运算 高中数学 【学习目标】 掌握复数的乘法和除法运算法则. 掌握复数乘法的运算律. 理解共轭复数的概念及有关性质． 会在复数范围内解实系数的一元二次方程. 【重点难点】 复数的乘、除法运算. 共轭复数的有关性质. 高中数学 【预备知识】 1. 复数的加法、减法的运算法则： ①运算法则：a  bi  c  d i= a  c  b  d i. 其运算法则类似于多项式的合并同类项. ②复数加法的运算律 ： 对于任意的 z1, z2 , z3 C , 有： 交换律： z1  z2  z2  z1. 结合律：  z1  z2   z3  z1   z2  z3 . 高中数学 【预备知识】 2．共轭复数： (设 z  a  bi, (a, b  R).) a  bi 与 a  bi 互为共轭复数. 即当两个复数的实部相等， 虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． z 的共轭 复数用 z 表示. 特别地，当b  0时，它们叫做共轭虚数. 高中数学 【新课内容】 问题：请同学们思考一下，根据数系扩充的原则， 如何规定复数的乘法法则呢？ (a  bi)(c  d i) ？？？ 高中数学 【新课内容】 1.复数的乘法法则： 设 z1  a  bi, z2  c  di, a, b, c, d  R  是任意两个复数， 那么它们的积: (a  bi)(c  d i)  ac  bci  ad i  bd i2  (ac  bd )  (ad  bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要 在所得的结果中把 i2换成−1，并且把实部与虚部分别合并即可. 高中数学 很明显，两个复数的积是一个确定的复数. 特别地， 当z1, z2 都是实数时，把它们看作复数时的积就是这 两个实数的积. 例 1 计算（1） (1  4i)(7  2i). （2） (7  2i)(1  4i). （3）[(3  2i)(4  3i)](5  i). （4） (3  2i)[(4  3i)(5  i)]. . 解：（1） (1 4i)(7  2i)  7  8  2  28i  15  26i. （2） (7  2i)(1 4i)  7  8  28  2i  15  26i. （3）[(3  2i)(4  3i)](5  i).  6 17i5  i  47  79i. （4） (3  2i)[(4  3i)(5  i)]  (3  2i)23 11i  47  79i. 数学上，定义了一种运算，就要研究它的运算律. 高中数学 【例题】 高中数学 探究：观察上述计算，复数的乘法是否满足交换律、结合律？ 乘法对加法满足分配律吗？ 我们容易得到复数乘法的运算律,对于任意 z1,z2,z3 C ，有 z1 z2  z2 z1 ,  z1 z2  z3  z1  z2 z3 , z1  z2  z3   z1 z2  z1 z3 . 下面我们来证明复数乘法满足交换律. 交换律. 结合律. 乘法对加法的分配律. 请大家课后自己再来证明一下乘法结合律及乘法对加法的分配律. z2 a2 b2i, a1,b1, a2 ,b2 R. 因为 又 所以 z1z2  a1  b1ia2  b2i  a1a2 b1b2  a1b2  b1a2 i . z2 z1  a2  b2ia1  b1i  a2a1 b2b1  a2b1  b2a1 i . a1a2 b1b2  a2a1 b2b1, a1b2 b1a2  a2b1 b2a1 . z1z2  z2z1 . 高中数学 证明：设 z1 a1 b1i, 高中数学 小结： 通常给定运算法则之后，人们就要研究它的运算律. 应用运算律, 有助于我们进行简化计算，且解题思路、方 法可能会更多一些.  17(7  2i)  119  34i. 高中数学 【例题】 例2 计算 （1） (2  3i)(2  3i). （2） (1  4i)(7  2i)(1  4i).（3） (3  2i)2 . 分析：本例可以用复数的乘法法则、运算律，以及乘法公式计算. 解：（1） (2  3i)(2  3i)  22  3i2  4  9  13 . 平方差公式 （2） (1  4i)(7  2i)(1  4i)  (1  4i)(1  4i)(7  2i) =17(7  2i)  119  34i （3） (3  2i)2  32  12i  2i2  9  12i  4  5  12i . 完全平方公式 高中数学 发现：由（1）推广得(a  bi)(a  bi)  a2 bi2  a2  b2 . 即两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数. 高中数学 关于共轭复数有：（设 z  a  bi, 则 z  a  bi, a,bR）. ①若 z 为实数，则 z  z ；若 z 为纯虚数，则 z  z  0 ； ②| z || z | ； ③共轭复数的和为实数，即 z  z =2a ； 共轭复数的积为实数, 即 zz =a2  b2 且 z z | z |2 . 高中数学 2. 复数的除法法则： 类比实数的除法是乘法的逆运算. 我们规定复数的除法 是乘法的逆运算,下面探求复数除法的法则. 我们把满足 c  dix  yi  a  bi,(a,b,c, d, x, y R,且c  di  0). ① 的复数x  yi ，叫做a  bi除以复数 c  d i的商. 高中数学 c2 c2  d 2  d 2  ac  bd  bc  ad i, a, b, c, d  R,且c  d i  0 c2  d 2 c2  d 2 于是我们得到: x  y i  a  bi  c  d i 由①可得， cx  dy   cy  dx i  a  bi, 根据复数相等的定义，有cx  dy  a, cy  dx  b. 由此得 x  ac  bd , y  bc  ad . 高中数学 其中c  di 叫做实数化因式. c2 c2  d 2  d 2 即： c2  ac  ad i  bci  bd i2  ac  bd  bc  ad i d 2 c  d i c  d ic  d i x  yi =(a  bi)  (c  d i)  a  bi  a  bic  d i 高中数学 例3 计算(1 + 2i) ÷ (3 − 4i). 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 32 + 42 (1 + 2i)(3 + 4i) 3 − 8 + 6i + 4i −5 + 10i = = = 25 =− 1 2 5 + 5 i. 解 ：(1 + 2i) ÷ (3 − 4i) = 1 + 2i 小结：复数的除法：先把两个复数相除写成“分数”的形式， 然后分子、分母同乘以分母的共轭复数． 高中数学 例4 在复数范围内解下列方程： (1)x2 + 2 = 0; (2)ax2 + bx + c = 0，其中a, b, c ∈ R， 且 a ≠ 0, △= b2 − 4ac < 0. 高中数学 （2）将方程ax2 + bx + c = 0的二次项系数化为1，得 2 b c x + a x + a = 0. 解： 2 2 （1）因为( 2i) = (− 2i) =− 2， 所以方程x2 + 2 = 0的根为x =± 2a 2 (x + b ) = 2 b −4ac 4a 2 . 配方，得 2i.（共轭复数） 高中数学 b 2 (x + ) =− −(b2 − 4ac) 2a (2a )2 即 −(b2 − 4ac) −△ (2a)2 = (2a)2 > 0. 由△< 0，知 x =− b 2a ± −(b2 − 4ac) 2a i. 所以原方程的根为 2a ± 2a −(b2 − 4ac) i. 类似（1），可得 x + b = △= b2 − 4ac < 0 = (2a)2 −(b2 − 4ac) 2 i . 高中数学 (1) 当△≥ 0时，x = −b ± b2 − 4ac 2a ; (2) 当△< 0时，x = 2 −b ± −(b − 4ac)i 2a . 如果实系数一元二次（多项式）方程有虚根，那么虚根 以共轭复数的形式“成对”出现. （共轭复数） 小结： 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2 + bx + c = 0， (a ≠ 0)的求根公式为： 高中数学 例5 计算 解： (1) 原式 i 1  i 1  i  i . 1  i2  i  i i 12i 1 i4 i3  i (2) 原式   i3  i4  i5 . (1) i  i2 i3 (2) 1i2i. . 2  i3 1  2i (3)  2  i1  2i 2  i (3)法1：原式  1  2i 1  2i1  2i 法2：原式 2  i 1  2i  1 3i. 3i 3   i.    2  i i 2  i i 2 + i    i. 1  2i i 高中数学 小结： 虚数i 的乘方及其规律： i1  i, i2  1, i3  i, i4  1, i5  i, i6  1, i7  i, i8  1, 可见， i4n1  i, i4n2  1, i4n3  i, i4n4  1n  N . 即虚数i 的乘方具有周期性且最小正周期为 4. 高中数学 【课堂小结】 复数的乘法可以按照乘法法则进行，要学会恰当、合理 使用运算律和乘法公式进行简便运算． 复数的除法是要先把两个复数相除写成“分数”的形式， 再化简. 如果实系数一元二次（多项式）方程有虚根，那么虚根 以共轭复数的形式“成对”出现. 虚数i的乘方具有周期性且最小正周期为4. 高中数学 【课后作业】 人教版数学必修二P80练习 高中数学 谢 谢 观 看 $$