精品解析：广东省广州市真光中学汾水校区2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

广东省广州市真光中学汾水校区 2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数y＝，则使函数值为5的x的值是（ ） A. －2 B. 2或－ C. 2或－2 D. 2或－2或－ 4. “为第一或第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，则函数零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分 9. 用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的近似解为（ ） （精确度） A. B. C. D. 10. 下列判断正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 11. 在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若角的终边经过点，且，则________． 13. 已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值的差为1，则a的值为________． 14. 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）若，求； （2）若是的充分条件，求实数a的取值范围. 16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. （1）求的值，并求，，的值. （2）求的值； （3）若，求的坐标. 17. 已知函数的图象经过点，其中且． （1）若，求实数和的值； （2）设函数，请你在平面直角坐标系中作出的简图． ①根据图象写出该函数的单调递增区间： ②求的解集． 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 水温/℃ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05 设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①（，）； ②（，，）； ③（，，）． （1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．） 19. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市真光中学汾水校区 2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式化简集合，即可由交运算即可求解. 【详解】集合. 故选：B 2. 设命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据特称命题的否定写出命题的否定即可解决. 【详解】命题的否定是 故选：A 3. 已知函数y＝，则使函数值为5的x的值是（ ） A. －2 B. 2或－ C. 2或－2 D. 2或－2或－ 【答案】A 【解析】 【分析】分x≤0和x>0两种情况求解即可 【详解】当x≤0时， x2＋1＝5，x＝－2. 当x>0时，－2x<0，不合题意. 故x＝－2. 故选：A 4. “为第一或第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案. 【详解】当为第一或第四象限角时， ， 所以“为第一或第四象限角”是“”的充分条件， 当时，为第一或第四象限角或轴正半轴上的角， 所以“为第一或第四象限角”不是“”的必要条件， 所以“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知函数，则函数零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数，求得，根据函数的零点的存在定理，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数， 可得，， 即，根据函数的零点的存在定理， 可得函数零点所在的区间为. 故选C. 【点睛】本题主要考查了对数函数的运算，以及函数零点的存在定理的应用，其中解答中熟记函数零点的存在定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，对于任意实数，都有成立， 不妨设，则， 所以在上单调递减， 所以，解得. 故选：D 7. 玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解 【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，， 该扇形玉雕壁画面积 （）． 故选：D． 8. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据函数的奇偶性，可排除A，C，根据当时，即可排除B．得出答案. 【详解】因为，所以， 所以为奇函数，故排除A，C． 当时，，，则，故排除B， 故选:D． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分 9. 用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的近似解为（ ） （精确度） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据可得方程在上有解，结合即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，在上有解， 又， 所以方程的近似解精确度为可以为，， 故选：BC 10. 下列判断正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据指数函数单调性知A正确，计算得到B正确，不成立，C错误，计算得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，故，，正确； 对选项C：要证，即，即，不成立； 对选项D：，错误； 故选：AB. 11. 在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】函数的图象关于成中心对称,可得所以的图象关于原点对称，令，可求得，故错误,正确；又，故正确，令此式中，可求得,判断出选项 【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为， 所以的图象关于原点对称， 则， 所以，故错误,正确； 所以对任意，都有，故正确； 在中令得 ，且， 所以，故正确. 故选:BCD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若角的终边经过点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，解得（舍去）， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值的差为1，则a的值为________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，函数为减函数；当时，函数为增函数. 证明如下： 由，得函数的定义域为， ，且，则， ， 当时，函数在上为减函数， 所以，即， 此时函数在上为减函数； 当时，函数在上为增函数， 所以，即， 此时函数在上为增函数； 当时，函数在上为减函数； 则在上，， 得，解得； 当时，函数在上为增函数； 则在上，， 得，解得； 综上，a的值为或. 14. 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义简化不等式得出或，再根据已知画出函数草图，即可根据草图得出不等式，解出答案. 【详解】为奇函数， ，即， 则或， ，且为奇函数， ， 函数在上是增函数， 函数在上也为增函数，画出函数单调性示意图如下， 结合函数的单调性示意图可得或. 解得 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）若，求； （2）若是的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由集合描述可得，，根据集合交运算即可求；（2）由是的充分条件知列不等式组即可求a的范围. 【详解】（1）， 当时，， 则； （2）∵， ∴ 是的充分条件， ， ，解得， 即实数a的取值范围是. 【点睛】本题考查了集合的关系以及基本运算，首先根据集合描述写出集合，利用交运算求交集，再由充分条件得到包含关系，列不等式组求参数范围. 16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. （1）求的值，并求，，的值. （2）求的值； （3）若，求的坐标. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用点在单位圆上与角的范围求得，再利用三角函数的定义即可得解； （2）利用三角函数的诱导公式与正余弦的齐次式法即可得解； （3）根据题意得，再利用三角函数的诱导公式与定义即可得解. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且， 所以且，解得，即， 由三角函数定义得，. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 依题意，得， 则， ， 故. 17. 已知函数的图象经过点，其中且． （1）若，求实数和的值； （2）设函数，请你在平面直角坐标系中作出的简图． ①根据图象写出该函数的单调递增区间： ②求的解集． 【答案】（1）, （2）；①；②. 【解析】 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式求得的值，再由求解的值； （2）直接由函数解析式作出图象；①由图象可得函数的增区间，②求出满足的值，结合图象可得的解集. 【小问1详解】 由函数的图象经过点可得， 解得，即； 又，因此，可得， 解得； 【小问2详解】 易知， 在平面直角坐标系中作出的简图如下： ①根据图象可得该函数的单调递增区间为和； ②由可得或或； 结合图象可得的解集为. 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 水温/℃ 100.00 91.00 82.90 75.61 69.05 设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①（，）； ②（，，）； ③（，，）． （1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．） 【答案】（1） 选择②（，，）作为函数模型． 由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③； 当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①． 故应选择②（，，）， 将表中前的数据代入，得， 解得， 所以函数模型的解析式为：； （2）5.54min 【解析】 【分析】（1）根据数据的增减性，以及增减的快慢，即可判断选择的函数，再利用待定系数法求解函数的解析式； （2）根据（1）的解析式，求解方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）中函数模型，有， 即，所以， 所以刚泡好的乌龙茶大约放置5.54min能达到最佳饮用口感． 19. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意； （2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案； （3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数， 所以，所以，解得， 所以， 当时，， 所以为奇函数，故； （2）有解，所以有解， 所以只需， 因为（时，等号成立）， 所以； （3）因为，所以， 可令，可得函数t在递增，即， 则，可得函数，， 由为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以时，取得最小值， 此时，解得， 所以在上的最小值为，此时． 【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $