精品解析：重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期期末试卷数学试题

重庆八中2024—2025学年上期末九年级 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值的性质是正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 分别计算各选项绝对值比较即可． 【详解】分别计算各选项绝对值，，，，， 比较大小：，所以绝对值最小的是0， 故答案选：C． 2. 如图，是一个正方体展开图，那么在该正方体中，和“成”相对的字是（　　） A. 细 B. 节 C. 决 D. 败 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，选择任意一个面作为正方体的底面，将展开图折叠即可求解． 【详解】若以“决”为正方体的下底面，则“败”为上底面； “节”、“定”分别为正方体的左右侧面； “成”、“细”分别为正方体的前后面； 故选：A 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为整式的乘积形式． 【详解】A． 是整式乘法运算，属于展开而非分解，不符合题意． B． 利用平方差公式，将多项式分解为两个整式的乘积，符合因式分解的定义． C． 右边为单项式与多项式的和，未形成乘积形式，不符合题意． D． 右边含分式，非整式乘积，不符合题意． 故选B 4. 如图，已知与位似，点是位似中心，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的性质可得位似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点是位似中心，， ∴， ∴则与的面积比为， 故选：C ． 5. 设，则实数m的值应在（ ） A. 7和6之间 B. 6和5之间 C. 5和4之间 D. 4和3之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，再计算，最后由无理数的估算的计算方法即可求解． 本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，掌握二次根式的性质化简，二次根式的加减运算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 7. 2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了31元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，找到等量关系，列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： 根据题意得：． 故选：D． 8. 两个半径相等的半圆按如图所式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．连接，得出为等边三角形，据此再结合扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】连接， ∵半圆与半圆的半径相等， ， ∴是等边三角形， ， ， 又， ． 故选：A． 9. 如图，在菱形中，，点E为对角线上一点，F为边上一点，连接，，若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明； 连接，根据菱形的性质证得，，进而得到，证明，得到，由等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理和直角三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形，E点在对角线上， ， ∴， ， ∴ ∵ ∴A，E，C三点共线∶ 在和中 ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴． 故选：C． 10. 将正整数1，2，3，…，n按顺时针方向依次排在一个圆上，然后从1开始，按顺时针方向，每个数删除一个数，直至剩余一个数为止，最终剩余的一个数记为．例如：若，，依次删除2，4，1，5，则；若，，依次删除3，6，4，2，5，则；下列说法中正确的个数是（ ） ①； ②当时，； ③当时，或． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，涉及代数式求值，难度较大，正确理解题意是解题的关键． 对于①表示这8个数每2个数删除1个数，则依次删除，还剩下1，故；对于②，分别把代入，发现均成立；对于③，分别把代入，计算出结果，进行验证即可． 【详解】解：①表示这8个数每2个数删除1个数， ∴依次删除，还剩下1， ∴，够①正确，符合题意； ②当时，，由上知，符合； ∴当时，，则表示这9个数每2个数删除1个数， ∴依次删除，还剩下3， ∴，符合； 同理可求：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 代入计算发现均，故②正确，符合题意； ③当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合， ∴③正确，符合题意， ∴正确的有①②③， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. _________． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算绝对值和零指数幂，再进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：3． 【点睛】本题考查了实数的运算，解答此题的关键是要掌握负数的绝对值等于它的相反数，任何不为0的数的0次幂都等于1． 12. 若八边形的内角中有一个角为，则其余七个内角之和为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和定理，掌握多边形内角和定理的计算是解题的关键．根据多边形的内角和定理（是多边形的边数）计算即可． 【详解】解：八边形的内角和的度数为：， 有一个角为，则其余七个内角之和为， 故答案为： ． 13. 3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”的字样，将卡片的背面朝上．洗匀后，从中任意抽取2张卡片，抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”3张卡片分别记为、、，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的结果有2种， 抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为， 故答案为：． 14. 若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有a的值之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组．先解不等式组，根据不等式组的有且仅有3个整数解确定的范围，根据分式方程的解为整数，确定的值，进而即可求解． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， 解方程， 得， 且y为整数，又， 或， 满足条件的所有的值之和是， 故答案为：． 15. 如图，内接于，直径交弦于点E，延长交过点C的切线于点F，连接．若， ，，则________，________． 【答案】 ①. 9 ②. ## 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点，由是的直径，与相切于点，得，则，可证明，进而证明，得，由，，求得，则，由，求得，则，求得，由，求得，则，所以，求得，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】连接，作于点，则， ∵是的直径，与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9；． 16. 我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“合十数”，并把数A分解成的过程，称为“合十分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“合十数”，616分解成的过程就是“合十分解”．按照这个规定，最小的“合十数”是________．把一个“合十数”A进行“合十分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最大值为________． 【答案】 ①. 209 ②. 5624 【解析】 【分析】本题是新定义题，主要考查了列代数式，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为，得，根据二次函数的性质可得或时，“合十数”最小；设m与n的十位数字为y，则，，，根据已知推出是整数，要使“合十数”A最大，则优先取最大数，优先代入的最大值，若满足是整数，再得出的值，代入m与n，再由即可得A的最大值． 【详解】解：由题意得，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为， ∴，， ∴， ∵， ∴当或时，“合十数”最小为； 设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，则n的个位数字为， ∴，， ∴，， ∴， ∵能被3整除， ∴是整数， 要使“合十数”A最大，则优先取最大数， 当时，不能为整数， 当时，不能为整数， 当时，，或时，可以为整数， ∴当，时，满足条件的“合十数”A最大， 此时，，，； 故答案为：209；5624． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式，完全平方公式展开，再根据整式的加减运算计算即可； （2）先算括号里异分母分式的加减，再根据分式的除法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究，小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形，小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作的垂线交于点E，交边上的高于点P．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在锐角中，，且，求证：． 证明：∵，， ① ． 在与中，， ， ∴ ③ ， ∴，即是等腰三角形． 小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么④ ． 【答案】，，，这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的证明以及等腰三角形，根据，再找一条公共边，证明，得到，得到，即可得出结论； 【详解】证明：∵，， ． 在与中，， ， ， ∴，即是等腰三角形． 小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么 这个三角形是等腰三角形 ． 19. 某教育平台推出A、B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A、B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：），下面给出了部分信息． 抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，89，86，88，87，88，90，88． 抽取的对A、B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 b 96.6 B 86 a 88 抽取的对B款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数． 【答案】（1），85，20 （2） 我认为B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎， 理由如下：因为B款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数为高于A款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数所以B款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎（答案不唯一）． （3）估计其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为440人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义可得的值，根据中位数的定义可得的值，用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的非常满意的人数之和即可得出答案． 本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：在款的评分数据中，85出现的次数最多，共4次， 众数； 款的评分不满意有（个，比较满意有（个，“满意”的数据为86， 86，87，88， 88，88，89，90， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是86、87， 中位数， 抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的人数为8人，占比为：, 由题意得：，即， 故答案为：，85，20； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人， 答：估计其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数为440人． 20. 某甜品店在售的两款小蛋糕，水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为每个7元和12元，已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的，已知用300元购买水果蛋糕的个数比用612元购买慕斯蛋糕的个数少9个． （1）求水果蛋糕和慕斯蛋糕的每个售价分别为多少元； （2）随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了，每个慕斯蛋糕的售价上调了，月底经统计水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个，若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值． 【答案】（1）水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元 （2）a的最小值为20 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式的实际运用，理解数量关系，正确列分式方程，不等式是解题的关键． （1）设慕斯蛋糕每个售价为3x元，则水果蛋糕每个售价为2x元，根据数量关系列分式方程求解即可； （2）根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的， ∴设慕斯蛋糕每个售价为3x元，则水果蛋糕每个售价为2x元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：水果蛋糕每个售价为12元，慕斯蛋糕每个售价为18元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 答：a的最小值为20． 21. 如图1，在中，，，，点P为上一点（点P不与A，C重合），，过点P作交于点Q，连接．点P，Q的距离为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 画出函数，的图象如图， 当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求出，易证，即得出，代入数据即可求出关于x的函数表达式；分别求出和，再作比，即可求出关于x的函数表达式； （2）根据函数关系式作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象上方时x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵，， ∴，即． 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知与相交于点， ∴当时，的图象在的图象上方， ∴时x的取值范围为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识．根据三角形相似的判定和性质正确求出，分别关于x的函数表达式是解题关键． 22. 在某城市里，同一平面内的五处饭店间的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正西方向且米，点在点的正北方向，且米，点在点的北偏西方向且米，点在点的东北方向．（参考数据：，） （）求道路的长度（结果保留根号）； （）若外卖员甲从点出发沿的路径去点，与此同时外卖员乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点？请通过计算说明． 【答案】（）米； （）乙先到达点，理由如下： 在中，，米 ， ∴米， ∴米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴甲的路程米， 乙的路程米， ∵， ∴外卖员乙先到达点． 【解析】 【分析】（）过点作于点，过点作，交的延长线于，得，，解得米，即得米，再解即可求解； （）解直角三角形分别求出的长度，进而求出甲和乙的路程即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）如图，过点作于点，过点作，交的延长线于，则四边形是矩形 ， ∴，， 在中，，米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴道路的长度为米； （）略 23. 如图，抛物线与轴交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，、的坐标分别为：、，连接、． （1） 求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作，交直线于点，过点作轴，交轴于点，点为直线上一动点，当最大时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，点为平移后抛物线对称轴上一动点，连接、，当时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法把点代入解析式，求二元一次方程组的解，即可求解； （2）过作轴交于，交于，延长交于，由三角函数得 ，，可求，由待定系数法得直线的解析式为，设，，表示出、，由，，，由二次函数的性质求出；如图，过作轴，过作，过作轴交于，作交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求，从而可得 ，当、、三点共线时，的值最小，即可求解； （3）由，该抛物线沿射线方向平移个单位，该抛物线向左平移个单位长度，由平移的性质得平移后的对称轴为直线，①当在轴上方时，过作轴交于，过作轴交于，交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形是性质得，可求，设，则，同理可证，由相似三角形是性质得，由勾股定理得，即可求解；②当在轴下方时，同理可求． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴交于，交于，延长交于， 轴， ， 当时，， ∴， ∴，， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， 取最大值， ， ， 如图，过作轴，过作，过作轴交于，作交于， 轴， 四边形、、均是矩形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 如图， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， 的最小值为； 【小问3详解】 解：， 该抛物线沿射线方向平移个单位， 该抛物线向左平移个单位长度， ， 平移后的对称轴为直线， ①当在轴上方时， 如图，过作轴交于，过作轴交于，交于， ， 四边形、、是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ， 设， ， ， 在中 ， ， 解得：，（舍去）， ； ②当在轴下方时，如图， 同理可求： ， ， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数等；能根据题意构建相似三角形，并能熟练利用二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数进行求解是解题的关键． 24. 在中，，以为边向右作等边． （1）如图1，若，，求四边形的面积； （2）如图2，连接，取的中点，连接、，求证：； （3）如图3，点为中点，连接，将沿翻折，得，连接，当取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 解：过点作，交的延长线于点，延长至点，使，连接，过点作于点，过点作于点， ∵为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形的综合，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，中位线，熟练掌握性质和定理，并根据题意正确作出辅助线，掌握轨迹圆和主动从动点模型是解题的关键． （1）过点作交点，过点作交点，在中，利用勾股定理和含直角三角形的性质求出和，再在中利用勾股定理求出，再中求出和，分别计算和面积即可； （2）过点作，交的延长线于点，延长至点，使，连接，过点作于点，过点作于点，先证，再证，再证四边形为矩形，通过证明，，，结合即可证明； （3）先利用“定弦定角模型”确定点轨迹，再利用“主动从动点模型”确定点轨迹，则易得当、、共线时，取得最大值，最大值为；设等边边长为，当最大时，连接交于点，连接交于点，过点作于点，过点作于点，设与交于点，在和中求解，，，，则可求出，利用勾股定理求出，则可求出，在和中，利用勾股定理列式求出，则可求，则知，再利用，求出，，即可求，由勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作交点，过点作交点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴四边形的面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设等边位置固定，且边长为， 如图，构造的外接圆，圆心为点， 则， 又∵， ∴为等边三角形， ∴点位置固定，， ∴是以为边长的固定圆， 则点的轨迹为固定在左侧的弧， 取中点，连接，， 又∵为中点， ∴，是固定值， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在左侧的弧， 由两点之间线段最短，知，且当、、共线时，取得最大值，最大值为； 当最大时，如图，连接交于点，连接交于点，过点作于点，过点作于点，设与交于点， 由， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴， 由翻折得， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024—2025学年上期末九年级 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图，是一个正方体展开图，那么在该正方体中，和“成”相对的字是（　　） A. 细 B. 节 C. 决 D. 败 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知与位似，点是位似中心，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则实数m的值应在（ ） A. 7和6之间 B. 6和5之间 C. 5和4之间 D. 4和3之间 6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 7. 2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了31元，设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 两个半径相等的半圆按如图所式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，点E为对角线上一点，F为边上一点，连接，，若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 将正整数1，2，3，…，n按顺时针方向依次排在一个圆上，然后从1开始，按顺时针方向，每个数删除一个数，直至剩余一个数为止，最终剩余的一个数记为．例如：若，，依次删除2，4，1，5，则；若，，依次删除3，6，4，2，5，则；下列说法中正确的个数是（ ） ①； ②当时，； ③当时，或． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. _________． 12. 若八边形的内角中有一个角为，则其余七个内角之和为________． 13. 3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小雪”、“大雪”、“冬至”的字样，将卡片的背面朝上．洗匀后，从中任意抽取2张卡片，抽到一张写有“大雪”，一张写有“冬至”的卡片的概率为________． 14. 若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有a的值之和是________． 15. 如图，内接于，直径交弦于点E，延长交过点C的切线于点F，连接．若， ，，则________，________． 16. 我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“合十数”，并把数A分解成的过程，称为“合十分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“合十数”，616分解成的过程就是“合十分解”．按照这个规定，最小的“合十数”是________．把一个“合十数”A进行“合十分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最大值为________． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究，小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形，小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作的垂线交于点E，交边上的高于点P．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在锐角中，，且，求证：． 证明：∵，， ① ． 在与中，， ， ∴ ③ ， ∴，即是等腰三角形． 小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么④ ． 19. 某教育平台推出A、B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A、B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：），下面给出了部分信息． 抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分数据中“满意”的数据：86，89，86，88，87，88，90，88． 抽取的对A、B两款人工智能学习辅导软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 b 96.6 B 86 a 88 抽取的对B款人工智能学习辅导软件评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）本次调查中，若有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A、B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数． 20. 某甜品店在售的两款小蛋糕，水果蛋糕和慕斯蛋糕的制作成本分别为每个7元和12元，已知水果蛋糕每个售价是慕斯蛋糕每个售价的，已知用300元购买水果蛋糕的个数比用612元购买慕斯蛋糕的个数少9个． （1）求水果蛋糕和慕斯蛋糕的每个售价分别为多少元； （2）随着新年临近，该甜品店对水果蛋糕和慕斯蛋糕的售价进行了调整，每个水果蛋糕的售价上调了，每个慕斯蛋糕的售价上调了，月底经统计水果蛋糕的销售总量为400个，慕斯蛋糕的销售总量为300个，若要保证本月的总利润不低于4700元，求a的最小值． 21. 如图1，在中，，，，点P为上一点（点P不与A，C重合），，过点P作交于点Q，连接．点P，Q的距离为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 22. 在某城市里，同一平面内的五处饭店间的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正西方向且米，点在点的正北方向，且米，点在点的北偏西方向且米，点在点的东北方向．（参考数据：，） （）求道路的长度（结果保留根号）； （）若外卖员甲从点出发沿的路径去点，与此同时外卖员乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点？请通过计算说明． 23. 如图，抛物线与轴交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，、的坐标分别为：、，连接、． （1） 求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作，交直线于点，过点作轴，交轴于点，点为直线上一动点，当最大时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位，点为平移后抛物线对称轴上一动点，连接、，当时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 24. 在中，，以为边向右作等边． （1）如图1，若，，求四边形的面积； （2）如图2，连接，取的中点，连接、，求证：； （3）如图3，点为中点，连接，将沿翻折，得，连接，当取得最大值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $