精品解析：黑龙江省富锦市某校2024-2025学年高一上学期第三次考试数学试卷

2024-2025学年度高一学年上学期第三次考试 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集和交集的概念求出答案. 【详解】因为集合，， 所以，则. 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【分析】命题“，”是全称题词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是“，”. 故选：C 3. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系 【详解】，，， 故. 故选：B 4. 函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出的值，再计算出的值. 【详解】因为，所以， 故选：B. 5. 已知幂函数的图象与x轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的概念与性质求解. 【详解】∵是幂函数，∴，解得或， 当时，，图象与x轴有公共点，不合题意； 当时，，图象与x轴没有公共点，符合题意， 综上，. 故选：B. 6. 已知函数，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项. 【详解】易知函数的图象的分段点是，且过点，，又， 故选：B． 【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题. 7. 已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出各选项的解析式，结合奇函数的定义及单调性判断即可. 【详解】对于A，， 定义域为，在上单调递减； 对于B，， 定义域为，在上单调递减； 对于C，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数不为奇函数； 对于D，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数为奇函数，符合题意. 故选：D. 8. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】则原问题转化为方程：在上有解问题，结合对称轴和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】设为奇函数，且当时，， 则时，， 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列结论正确的是（    ） A. 是第二象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 与角终边相同的最小正角是 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用终边相同的角的概念求解选项A和C，利用扇形面积公式求解选项B，举的反例判断选项D. 【详解】对于选项，且为第二象限角， 为第二象限角，正确； 对于选项，扇形的半径为， 因此，该扇形的面积，正确； 对于选项，因为， 所以与角终边相同的最小正角是，正确； 对于选项，取，则角为锐角， 但，即角为锐角，错误. 故选：ABC. 10. 已知x、y都是正数，则（ ） A. B. 若，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求解判断ABC；举例说明判断D. 【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当时，，D错误. 故选：BC 11. 已知定义在上的函数满足，，，当时，都有，则不等式成立的充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】令，进而可得的奇偶性和单调性，将不等式转化为，结合单调性可求得其解集，再充分不必要条件可知所求集合为此不等式集合的真子集即可. 【详解】不妨令，则由可得， 令，则在上单调递增， 又因为，所以， 所以在上为奇函数， 所以在上单调递增， 由可得，即， 所以，解得，即的解集为， 设不等式成立的充分不必要条件为，的解集为，则， 则 是的真子集， 故A、C符合题意. 故选：AC. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 函数且过定点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，求出所对应的函数值，即可得解. 【详解】对于函数且，令，解得， 所以， 所以恒过点，即， 所以. 故答案为： 13. 求值：__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分数指数幂、分数指数幂与根式的互化和对数运算法则计算出答案. 【详解】由题意可得： . 故答案为：. 14. 已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数定义域要求可求得定义域，根据定义域和值域的区间端点值大小关系可确定，从而确定是方程的两根，由此将问题转化为方程在有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结果. 【详解】 定义域为 且 在上单调递增 在上单调递减 ， 且是方程的两根 即 在上有两个不等实根 即在上有两个不等实根 ，解得： 的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定是方程的两根，将问题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为的非负半轴，终边经过点. （1）求与的值： （2）求的值. （3）求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求出与. （2）（3）由（1）的结论，利用正余弦齐次式法计算即得. 【小问1详解】 点到原点的距离， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）求y的最大值，并求取得最大值时的x值. 【答案】（1）；（2）y的最大值为1，此时x=1. 【解析】 【分析】（1）由题意结合对数函数的性质可得，解不等式即可得解； （2）由题意结合二次函数的性质可得，由对数函数的性质可得，即可得解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以y的最大值为1，此时x=1. 【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域及最值的求解，考查了对数函数性质的应用及一元二次不等式的求解，属于基础题. 17. 已知定义在上的奇函数， 当时， （1）求函数在上的解析式； （2）在坐标系中作出函数的图象； （3）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，求函数的解析式； （2）根据函数的解析式，作出函数的图象； （3）根据函数的图象，结合函数的单调性，转化为子集问题，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 因为函数是奇函数，所以， 且，所以函数在在上的解析式为； 【小问2详解】 根据函数的解析式，作出函数的图象如图所示， 【小问3详解】 函数在区间上是单调函数，根据图象可知， 或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数（其中） （1）当时，求函数的零点； （2）讨论关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）求解方程的根即可得解， （2）由因式分解得，即可分离讨论，结合一元二次不等式的解的特征求解. 【小问1详解】 当时， 由解得. 故函数的零点为. 【小问2详解】 由可得，即， ①当时，不等式的解集为 ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 19. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1），． （2）在上为减函数，证明：由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减涵数． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，原函数为奇函数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一学年上学期第三次考试 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知幂函数的图象与x轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 1 D. 或1 6. 已知函数，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列结论正确的是（    ） A. 是第二象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 与角终边相同的最小正角是 D. 若角为锐角，则角为钝角 10. 已知x、y都是正数，则（ ） A. B. 若，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 11. 已知定义在上的函数满足，，，当时，都有，则不等式成立的充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 函数且过定点，则__________. 13. 求值：__________． 14. 已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a的取值范围为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为的非负半轴，终边经过点. （1）求与的值： （2）求的值. （3）求的值. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）求y的最大值，并求取得最大值时的x值. 17. 已知定义在上的奇函数， 当时， （1）求函数在上的解析式； （2）在坐标系中作出函数的图象； （3）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 18. 已知函数（其中） （1）当时，求函数的零点； （2）讨论关于的不等式的解集. 19. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $