2025年九年级中考数学复习课件 专题四 图形的初步认识与三角形

题组❶ 等腰三角形 题组❷ 直角三角形 题组❸ 角的平分线与线段的垂直平分线 考点❶ 等腰三角形 考点❷ 直角三角形 考点❸ 角的平分线与线段的垂直平分线 模拟考题讲练 真题考向解读 图形的初步认识与三角形——等腰三角形与直角三角形 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❶ 等腰三角形 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 真题考向解读 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 100 66 100° 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❷ 直角三角形 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 6或12 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 x2＋22＝(x＋0.5)2 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 60 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❸ 角的平分线与线段的垂直平分线 第1题 第2题 第3题 第4题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 2 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 13 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 第1题 第2题 题组❶ 等腰三角形 第3题 模拟考题讲练 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❷ 直角三角形 第9题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第10题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❸ 角的平分线与线段的垂直平分线 第11题 第12题 第13题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 24 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考向1　等腰三角形的性质和判定 1．[2024湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________°. 2．[2024黑龙江绥化]如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE，则∠A＝________°. 3．[2024四川内江]如图，在△ABC中，∠DCE＝40°， AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为________． 4．[2024山东滨州]【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C. ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB＋BD＝AC＋CD.若把①中的BD＝CD替换为AB＋BD＝AC＋CD，还能推出∠B＝∠C吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC，∴△ADB 与△ADC均为直角三角形．根据勾股定理，得…… 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整． 备用图 　　　　 (1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△ADB和△ADC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,∠ADB＝∠ADC，,BD＝CD，)) ∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B＝∠C. (2)解：小军的证明过程： 分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝AB，CF＝AC，如图所示． ∵AB＋BD＝AC＋CD， ∴BE＋BD＝CF＋CD，即DE＝DF. ∵AD⊥BC，∴∠ADE＝∠ADF＝90°. 在△ADE和△ADF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,∠ADE＝∠ADF，,DE＝DF，)) ∴△ADE≌△ADF(SAS)，∴∠E＝∠F. ∵BE＝AB，CF＝AC，∴∠E＝∠BAE，∠F＝∠CAF. ∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝2∠E，∠ACB＝∠F＋∠CAF＝2∠F，∴∠ABC＝∠ACB. 小民的证明过程： ∵AD⊥BC，∴△ADB 与△ADC均为直角三角形． 根据勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2， ∴AB2－BD2＝AC2－CD2，∴AB2＋CD2＝AC2＋BD2. ∵AB＋BD＝AC＋CD，∴AB－CD＝AC－BD， ∴(AB－CD)2＝(AC－BD)2， ∴AB2－2AB·CD＋CD2＝AC2－2AC·BD＋BD2， ∴AB·CD＝AC·BD，∴ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(BD,CD) ， ∴Rt△ADB∽Rt△ADC，∴∠B＝∠C. 考向2　等边三角形的性质和判定 5．[2024山东泰安]如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　) A．45° B．39° C．29° D．21° 6．[2024四川遂宁]在等边三角形ABC三边上分别取点D，E，F，使得AD＝BE＝CF，连接三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1－3S△ADF. 如图1，当 eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,2) 时，S△DEF＝1－3× eq \f(1,4) ＝ eq \f(1,4) ； 如图2，当 eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,3) 时，S△DEF＝1－3× eq \f(2,9) ＝ eq \f(1,3) ； 如图3，当 eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,4) 时，S△DEF＝1－3× eq \f(3,16) ＝ eq \f(7,16) ； …… 直接写出，当 eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,10) 时，S△DEF＝______________________． 图 3　… 图 2 eq \f(73,100) 解析：如题图1，当 eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,2) 时，S△DEF＝1－3× eq \f(1,4) ＝1－3× eq \f(2－1,22) ＝ eq \f(1,4) ；如题图2，当 eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,3) 时，S△DEF＝1－3× eq \f(2,9) ＝1－3× eq \f(3－1,32) ＝ eq \f(1,3) ；如题图3，当 eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,4) 时，S△DEF＝1－3× eq \f(3,16) ＝1－3× eq \f(4－1,42) ＝ eq \f(7,16) ；……由此可知，当 eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,n) 时，S△DEF＝1－3× eq \f(n－1,n2) .所以当 eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(1,10) 时，S△DEF＝1－3× eq \f(10－1,102) ＝ eq \f(73,100) . eq \f(73,100) 7．[2024四川宜宾]如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F.求证：AD＝BE. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC. 在△ABD和△BCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABD＝∠C，,BD＝CE，)) ∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE. 8．[2023湖北荆州]如图，BD是等边三角形ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE.求证：CD＝CE. 证明：∵BD是等边三角形ABC的中线， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∠ACB＝60°. ∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°. ∵∠CDE＋∠E＝∠ACB＝60°， ∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE. 考向1　直角三角形的判定 1．[2024陕西]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考向2　含30°角的直角三角形的性质 2．[2024四川自贡]如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢(　　) A．(24－12 eq \r(3) )m B．(24－8 eq \r(3) )m C．(24－6 eq \r(3) )m D．(24－4 eq \r(3) )m 3．[2024新疆]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为________________． 考向3　勾股定理 4．[2024四川宜宾]如图，在△ABC中，AB＝3 eq \r(2) ，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为(　　) A．2＋3 eq \r(2) B．6＋2 eq \r(2) C．5 D．8 解析：如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE， ∴BE＝BA，∠ABE＝90°，∴AE＝ eq \r(2) AB＝6. ∵∠DBC＝∠ABE＝90°， ∴∠DBE＋∠EBC＝∠CBA＋∠EBC，∴∠DBE＝∠CBA. 又∵BD＝BC，BE＝BA，∴△DBE≌△CBA(SAS)， ∴ED＝AC＝2. ∵在△ADE中，AD＜AE＋ED， ∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值， ∴AD的最大值为AE＋ED＝6＋2＝8.故选D. 5．[2024吉林]图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为___________________． 图 2 6．[2024陕西]如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为______________． 7．[2024黑龙江]已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN＝ eq \f(1,2) ∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M，N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM，NC，MN之间的数量关系． (1)如图1，当∠BAC＝90°时，探究如下： 由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN＝BP且∠PBM＝90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2＋BP2＝MP2，则有BM2＋NC2＝MN2. (2)当∠BAC＝60°时，如图2，当∠BAC＝120°时，如图3，分别写出线段BM，NC，MN之间的数量关系，并选择图2或图3进行证明． 图 3 图 2 解：题图2的结论是BM2＋NC2＋BM·NC＝MN2. 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. 如图1，将△ACN绕点A顺时针旋转60°，得到△ABQ，连接QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为点H. ∵AC＝AB，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ， ∴△ACN≌△ABQ(SAS)， ∴AN＝AQ，∠CAN＝∠BAQ. 又∵∠MAN＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝30°，∴∠CAN＋∠BAM＝30°， ∴∠BAQ＋∠BAM＝30°，即∠MAQ＝∠MAN. 又∵AM＝AM，∴△AMQ≌△AMN(SAS)，∴MQ＝MN. ∵∠ABQ＝60°，∠ABC＝60°，∴∠QBH＝60°， ∴∠BQH＝30°，∴BH＝ eq \f(1,2) BQ，QH＝ eq \f(\r(3),2) BQ， ∴HM＝BM＋BH＝BM＋ eq \f(1,2) BQ. 在Rt△QHM中，由勾股定理，得QH2＋HM2＝MQ2， 即( eq \f(\r(3),2) BQ)2＋(BM＋ eq \f(1,2) BQ)2＝MQ2， 整理，得BM2＋BQ2＋BM·BQ＝MQ2， ∴BM2＋NC2＋BM·NC＝MN2. 图 2 题图3的结论是BM2＋NC2－BM·NC＝MN2. 证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝30°. 如图2，将△ACN绕点A顺时针旋转120°，得到△ABQ，连接QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为点H. ∵AC＝AB，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ， ∴△ACN≌△ABQ(SAS)，∴AN＝AQ，∠CAN＝∠BAQ. 又∵∠MAN＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝60°，∴∠CAN＋∠BAM＝60°， ∴∠BAQ＋∠BAM＝60°，即∠MAQ＝∠MAN. 又∵AM＝AM，∴△AMQ≌△AMN(SAS)，∴MQ＝MN. 在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∴∠BQH＝30°， ∴BH＝ eq \f(1,2) BQ，QH＝ eq \f(\r(3),2) BQ. ∴HM＝BM－BH＝BM－ eq \f(1,2) BQ. 在Rt△QHM中，由勾股定理，得QH2＋HM2＝MQ2， 即(BQ)2＋(BM－BQ)2＝MQ2， 整理，得BM2＋BQ2－BM·BQ＝MQ2， ∴BM2＋NC2－BM·NC＝MN2. 考向1　角的平分线的性质 1．[2024四川南充]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为(　　) A． eq \r(2) B． eq \r(3) C．2 D．3 2．[2024重庆]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为________． 考向2　线段的垂直平分线的性质 3．[2024四川凉山]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(　　) A．25 cm B．45 cm C．50 cm D．55 cm 4．[2023青海]如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是________． 1.[2024广东深圳模拟]春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图1，为更好地将帐篷固定，需在4个角分别另加一根固定绳(DE)，其主视图如图2所示，测得α＝125°，CD＝CE，则∠DEC＝(　　) 图 2 A．37.5° B．27.5° C．22.5° D．17.5° 2．[2024山东济南模拟]如图，△ABC的面积为9 cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为(　　) A．3 cm2 B．4 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2 3．[2024福建泉州模拟]如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是边AC的中线，根据下列作图步骤： ①分别以点B，C为圆心，大于 eq \f(1,2) BC为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点； ②连接MN并延长，交BD于点P； ③连接AP，CP. 则下列结论正确的是(　　) A．延长CP，则CP垂直平分AB B．AP平分∠BAC C．△APB是等腰三角形 D．AP＝BP＝CP 4.[2024广西模拟]生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离．某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测得多媒体屏幕的长是12拃，宽是5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是(1拃≈20 cm)(　　) A．100 cm B．240 cm C．260 cm D．340 cm 5．[2024陕西榆林模拟]如图，在 Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB于点D，若∠A＝22.5°，则∠DCE的度数为(　　) A．30° B．55° C．50° D．45° 6．[2024内蒙古包头模拟]如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，AO＝2，则OC2的值为(　　) 图 2 A．6 B．5 C．4 D．3 7．[2024广东模拟]如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt△ABC的斜边BC，直角边AB，AC.Rt△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，阴影部分记为Ⅱ，其余部分(两个白色弓形部分)记为Ⅲ.设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为S1，S2，S3，则下列结论一定正确的是(　　) A．S1＝S2＋S3 B．S1＝S3 C．S2＝S3 D．S1＝S2 8．[2024山东聊城模拟]如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是________． 1＋ eq \r(3) 解析：如图，取AB的中点D，连接OD，DC. ∵OC≤OD＋CD， ∴当O，D，C三点共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD. ∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴BD＝1，BC＝2， ∴CD＝ eq \r(BC2－BD2) ＝ eq \r(3) . ∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点， ∴OD＝ eq \f(1,2) AB＝1， ∴OD＋CD＝1＋ eq \r(3) ，即OC的最大值是1＋ eq \r(3) . 9．[2024河南信阳模拟]请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明． (提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程) 解：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°. 求证：BC＝ eq \f(1,2) AB. 证明：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD. ∵∠ACB＝90°，∴AC是BD的垂直平分线，∴AD＝AB. ∵∠BAC＝30°，∴∠B＝90°－∠BAC＝60°， ∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB. ∵BC＝CD＝ eq \f(1,2) BD，∴BC＝ eq \f(1,2) AB. 10．[2024广东英德模拟]综合与实践 主题：检测雕塑(如图)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB. 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边AD，边BC和底边AB的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB. 解决问题： (1)通过测量得到边AD的长是60 cm，边AB的长是80 cm，BD的长是100 cm，边AD垂直于边AB吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为30 cm的刻度尺，你能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 解：(1)AD⊥AB. ∵AD＝60 cm，AB＝80 cm，BD＝100 cm，602＋802＝1002，∴AD2＋AB2＝BD2， ∴△ABD是直角三角形且∠BAD＝90°，∴AD⊥AB. (2)能．在边AD上取AE＝3 cm，在边AB上取AF＝4 cm，连接EF，测量出EF＝5 cm，则AD⊥AB. 证明：如图． ∵AE＝3 cm，AF＝4 cm，EF＝5 cm，32＋42＝52， ∴AE2＋AF2＝EF2， ∴△AEF是直角三角形且∠EAF＝90°，∴AD⊥AB. 11.[2024山东济南模拟]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于 eq \f(1,2) AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点P，Q，作直线PQ交BC于点D，连接AD.以下结论不正确的是(　　) A．∠BAD＝72° B．BD＝AC C． eq \f(S△ABD,S△ACD) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) D． eq \f(BD,CD) ＝ eq \f(\r(5)＋1,2) 12．[2024山东泰安模拟]如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，以点C为圆心，适当长为半径画弧交BC，AC于D，E两点，分别以点D，E为圆心，大于 eq \f(1,2) DE的长为半径画弧交于点M，作射线CM交AB于点K.以点K为圆心，CK的长为半径画弧交射线CM于点H，分别以点C，H为圆心，大于 eq \f(1,2) CH的长为半径画弧交于N，L两点，作直线NL交BC于点G，AC＝4，CG＝5，则GK＝(　　) A． eq \r(5) B． eq \r(3) C．3 D． eq \r(6) 13．[2024吉林长春模拟]出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，其中“将一个几何图形任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，且点O到AB的距离OD为3.若△ABC的周长为16，则△ABC的面积为________． $$题组❶ 三角形的相关概念 题组❷ 全等三角形的判定和性质 考点❶ 三角形的相关概念 考点❷ 全等三角形的判定和性质 模拟考题讲练 真题考向解读 图形的初步认识与三角形——三角形及其全等 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❶ 三角形的相关概念 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 真题考向解读 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 100° 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 24 4 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❷ 全等三角形的判定和性质 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 100° (1，4) 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 AB＝DC 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 第1题 第2题 题组❶ 三角形的相关概念 第3题 第4题 模拟考题讲练 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 180 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❷ 全等三角形的性质和判定 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考向1　三角形的边角关系 1．[2023河北]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 2．[2023福建]若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是(　　) A．1 B．5 C．7 D．9 解析：由题意，得4－3<m<4＋3，即1<m<7，则m的值可以是5.故选B. 3．[2023湖北黄冈]如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝(　　) A．55° B．45° C．35° D．25° 解析：∵a∥b，∴∠ABC＝∠1＝55°. 又∵∠ABC＋∠2＝90°， ∴∠2＝90°－∠ABC＝90°－55°＝35°.故选C. 4．[2023山东济宁]如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于(　　) A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α 解析：如图． ∵GD＝HE＝1，∠CGD＝∠BHE＝90°，CG＝BH＝4， ∴△CGD≌△BHE(SAS)，∴∠GCD＝∠HBE. ∵CG∥BD，∴∠CAB＝∠ABD. ∵∠CFB＝∠CAB＋∠GCD＝α， ∴α＝∠ABD＋∠HBE， ∴∠ABE＝∠ABD＋∠DBH＋∠HBE＝90°＋α.故选C. 5．[2024四川凉山]如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是________． 6．[2024四川达州]如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝ eq \f(1,3) ∠CAB，∠E1BD＝ eq \f(1,3) ∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝ eq \f(1,3) ∠E1AB，∠E2BD＝ eq \f(1,3) ∠E1BD，……以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝________°. eq \f(1,3n) m 解析：∵∠E1AD＝ eq \f(1,3) ∠CAB，∠E1BD＝ eq \f(1,3) ∠CBD， ∴设∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β. 由三角形的外角的性质，得β＝α＋∠E1，3β＝3α＋∠C， ∴∠E1＝ eq \f(1,3) ∠C. 同理可得∠E2＝ eq \f(1,3) ∠E1，即∠E2＝( eq \f(1,3) )2∠C，…， 则∠En＝( eq \f(1,3) )n∠C，即∠En＝ eq \f(1,3n) m°. 考向2　三角形的重要线段 7．[2024四川广安]如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(　　) A．45° B．50° C．60° D．65° 8．[2022浙江杭州]如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则(　　) A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD 是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 9．[2024湖南长沙]如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE.若DE＝12，则AB的长为________． 10．[2024浙江]如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为________． 考向1　全等三角形的性质 1．[2024四川成都]如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为________． 2．[2024甘肃临夏]如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(4，1)，点C的坐标为(3，4)，点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是_____________． 解析：根据点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与△ABC全等，得到△BAD≌△ABC，得到AD＝BC，BD＝AC，画出图形，利用数形结合的思想求解即可． 考向2　全等三角形的判定和性质的综合应用 3．[2024四川遂宁]如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”，如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”(　　) 图 2　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．[2024安徽]在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是(　　) A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC 解析：将每个选项的条件分别作为已知条件，结合题干，通过证三角形全等，再看能否证明AF⊥CD即可． 5．[2023吉林长春]如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是(　　) A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所截的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 解析：∵点O为AA′，BB′的中点， ∴OA＝OA′，OB＝OB′. 在△AOB和△A′OB′中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OA′，,∠AOB＝∠A′OB′，,OB＝OB′，)) ∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB＝A′B′.故选A. 6．[2023黑龙江牡丹江]如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件：___________________，使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可) 解析：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D，∠B＝∠C， 若AB＝DC，则△AOB≌△DOC(ASA)； 若AO＝DO，则△AOB≌△DOC(AAS)； 若BO＝CO，则△AOB≌△DOC(AAS). ∴可添加条件AB＝DC或AO＝DO或BO＝CO. 7．[2024湖南长沙]如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE. (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． (1)证明：在△ABC和△ADE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝DE，,∠B＝∠D，,AB＝AD，)) ∴△ABC≌△ADE(SAS). (2)解：由(1)，得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠AEC＝∠ACE. ∵∠AEC＋∠ACE＝2∠ACE＝180°－∠DAE＝120°， ∴∠ACE＝60°，∴∠ACE的度数是60°. 8．[2024四川内江]如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． (1)证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE. 在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,AC＝DF，,BC＝EF，)) ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)解：由(1)可知，△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠FDE. ∵∠A＝55°，∠E＝45°，∴∠FDE＝55°， ∴∠F＝180°－(∠FDE＋∠E)＝180°－(55°＋45°)＝80°. 9．[2024四川南充]如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. (1)求证：△BDE≌△CDA； (2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE. 证明：(1)∵点D为BC边的中点，∴BD＝CD. ∵BE∥AC，∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD. 在△BDE和△CDA中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBD＝∠C，,∠E＝∠CAD，,BD＝CD，)) ∴△BDE≌△CDA(AAS). (2)∵点D为BC边的中点，AD⊥BC， ∴直线AD为线段BC的垂直平分线，∴BA＝CA. 由(1)可知，△BDE≌△CDA，∴BE＝CA，∴BA＝BE. 1.[2024福建漳州模拟]如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得PA＝8 m，PB＝6 m，那么A，B之间的距离不可能是(　　) A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m 2．[2024河北邯郸模拟]老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5 cm，9 cm，10.5 cm，并且只能对10.5 cm的小木棍进行裁切(裁切后，参与拼接的小木棍的长度为整数)，则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 3．[2024湖南邵阳模拟]在我们现代社会中，三角尺是学数学、量角度的主要作图工具之一．每副三角尺由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角尺，另一个是含有30°角的直角三角尺．现有一副三角尺如图所示摆放，其中A，D，B三点共线，此时∠FEB的度数为(　　) A．150° B．100° C．135° D．120° 4．[2024甘肃武威模拟]如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________度． 5.[2024广西桂林模拟]如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个试验说明(　　) A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 6．[2024北京模拟]如图，点C为线段AB的中点，∠BAM＝∠ABN，点D，E分别在射线AM，BN上，∠ACD与∠BCE均为锐角．若添加一个条件一定可以证明△ACD≌△BCE，则这个条件不能是(　　) A．∠ACD＝∠BCE B．CD＝CE C．∠ADC＝∠BEC D．AD＝BE 7．[2024黑龙江齐齐哈尔模拟]数学活动课上，老师将两个大小不一样的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE摆在一起，其中直角顶点A重合，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°. (1)用数学的眼光观察． 如图，连接BD，CE，判断BD与CE的数量关系为________． (2)用数学的思维思考． 求证：△ABD≌△ACE. (1)解：BD＝CE (2)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，)) ∴△ABD≌△ACE(SAS). 8．[2024浙江舟山模拟]小聪自编一题：“如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：△BAD≌△CAD”，并将自己的证明过程与小明交流． 小聪：在△BAD和△CAD中， ∠ABD＝∠ACD， AD＝AD，)) ∴△BAD≌△CAD. 小明：你的想法不对，这组相等的角不是相等的两组边的夹角，不符合课本上的全等三角形的判定定理，我认为这道题可以适当添加辅助线来完成证明． 若赞同小聪的证法，请在方框左栏内打“√”；若赞同小明的说法，请你完成证明． 解：赞同小明的说法． 证明：如图，连接BC. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABD－∠ABC＝∠ACD－∠ACB， 即∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD. 在△BAD和△CAD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AD，,BD＝CD，)) ∴△BAD≌△CAD(SSS). 9．[2024河北邢台模拟]【问题情境】 (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且∠FAE＝∠AFE.若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长． 【拓展提升】 (3)如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F.求证：BE＋CF＞EF. 图 3 图 2 (1)解：2＜AD＜11 (2)解：如图1，延长AD至点M，使DM＝AD，连接BM. ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD. 在△ADC和△MDB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝BD，,∠ADC＝∠MDB，,AD＝MD，)) ∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M. ∵∠FAE＝∠AFE，即∠CAD＝∠AFE，∴EF＝AE＝4. ∵EC＝3，∴AC＝AE＋EC＝7，∴BM＝AC＝7. ∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC，∴BF＝7. 图 2 (3)证明：如图2，延长ED至点G，使GD＝ED，连接CG，GF. ∵D为BC的中点，∴CD＝BD. 在△CDG和△BDE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(GD＝ED，,∠CDG＝∠BDE，,CD＝BD，)) ∴△CDG≌△BDE(SAS)，∴CG＝BE. ∵CG＋CF＞GF，∴BE＋CF＞GF. ∵DE⊥DF，GD＝ED，∴DF垂直平分EG， ∴GF＝EF，∴BE＋CF＞EF. $$题组❶ 锐角三角形 题组❷ 特殊角的三角函数值 题组❸ 锐角三角函数与计算器 题组❹ 解直角三角形及其应用 考点❶ 锐角三角形 考点❷ 解直角三角形及其应用 模拟考题讲练 真题考向解读 图形的初步认识与三角形——解直角三角形 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❶ 锐角三角形 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 真题考向解读 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❷ 特殊角的三角函数值 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 74 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 11.5 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ① 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 冬至 14° 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 第1题 第2题 题组❶ 锐角三角函数 第3题 第4题 模拟考题讲练 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❷ 特殊角的三角函数值 第5题 第6题 第7题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 1 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❸ 锐角三角函数与计算器 第8题 第9题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 20.8 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❹ 解直角三角形及其应用 第10题 第11题 第12题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考向1　借助网格求锐角三角函数 1．[2024四川达州]如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan ∠BCD的值为(　　) A．2 B．2 eq \r(3) C． eq \f(3,2) D．3 \a\vs4\al(（第1题图）) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK329.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 eq \a\vs4\al(（第2题图）) 2．[2023江苏淮安]如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则tan ∠ACB的值是____________． eq \f(2\r(3),3) 考向2　借助特殊四边形求锐角三角函数 3．[2024内蒙古包头]如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG.若AB＝4，BC＝6，则sin ∠GBF的值为(　　) A． eq \f(\r(10),10) B． eq \f(3\r(10),10) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3) 解析：过点G作GH⊥BC于点H(图略)，根据矩形的性质得到CD＝AB＝4，由BE＝EF＝CF＝ eq \f(1,3) BC＝2，求得BF＝CE＝4，推出△ABF和△DCE是等腰直角三角形，得到∠AFB＝∠DEC＝45°，求得△EGF是等腰直角三角形，根据三角函数的定义即可得到结论． 4．[2023江苏南通]如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接BE，DE，BD.若AB＝4，BC＝8，则∠ABE的正切值为(　　) A． eq \f(4,3) B． eq \f(4,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(3,5) 5．[2024江西]将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan ∠CAB＝_____________． INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK333.TIF" \* MERGEFORMATINET 图 1　　 图 2 eq \f(1,2) 6．[2024山西]如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF＝∠CAF，线段AB，CF的延长线交于点G.若AB＝ eq \r(5) ，AD＝4，tan ∠ABC＝2，则BG的长为________． eq \f(20\r(5),19) 7．[2024湖南长沙]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝90°. (1)求证：AC＝BD； (2)点E在BC边上，满足∠CEO＝∠COE.若AB＝6，BC＝8，求CE的长及tan ∠CEO的值． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD. (2)解：如图，过点O作OH⊥BC于点H， 则∠OHE＝∠OHC＝90°. ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10， ∴OC＝OA＝ eq \f(1,2) AC＝5. ∵∠CEO＝∠COE，∴CE＝OC＝5.∵OC＝OA＝ eq \f(1,2) AC，OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD，且AC＝BD， ∴OC＝OB，∴HC＝HB＝ eq \f(1,2) BC＝4，∴EH＝CE－HC＝5－4＝1. ∵ eq \f(OH,HC) ＝ eq \f(AB,BC) ＝tan ∠ACB，∴OH＝ eq \f(AB,BC) ·HC＝ eq \f(6,8) ×4＝3，∴tan ∠CEO＝ eq \f(OH,EH) ＝ eq \f(3,1) ＝3， ∴CE的长为5，tan ∠CEO的值为3. 8．[2023江苏连云港]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2.求OD的长及tan ∠EDO的值． 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝ eq \f(1,2) AC. ∵AC＝4，∴OA＝2.∵E为AD的中点，∴OE＝ eq \f(1,2) AD. ∵OE＝2，∴AD＝4， ∴OD＝ eq \r(AD2－OA2) ＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) ， ∴tan ∠EDO＝ eq \f(OA,OD) ＝ eq \f(2,2\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) . 考向3　特殊角的三角函数值 9．[2024内蒙古]计算：－(－ eq \f(1,2) )－3＋tan 60°＋| eq \r(3) －2|＋(π－2 024)0. 解：原式＝－(－8)＋ eq \r(3) ＋2－ eq \r(3) ＋1＝8＋2＋1＋ eq \r(3) － eq \r(3) ＝11. 10．[2024青海]计算： eq \r(18) －tan 45°＋π0－|－ eq \r(2) |. 解：原式＝3 eq \r(2) －1＋1－ eq \r(2) ＝3 eq \r(2) － eq \r(2) ＋1－1＝2 eq \r(2) . 考向1　解直角三角形 1．[2024甘肃临夏]如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝ eq \f(4,5) ，则BC的长是(　　) A．3 B．6 C．8 D．9 2．[2024浙江]如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan ∠ACB＝1. (1)求BC的长； (2)求sin ∠DAE的值． 解：(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝ eq \r(AB2－AD2) ＝ eq \r(102－62) ＝8. ∵tan ∠ACB＝ eq \f(AD,CD) ＝1，∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14. (2)∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝ eq \f(1,2) BC＝7，∴DE＝CE－CD＝7－6＝1. ∵AD⊥BC，∴AE＝ eq \r(AD2＋DE2) ＝ eq \r(62＋12) ＝ eq \r(37) ， ∴sin ∠DAE＝ eq \f(DE,AE) ＝ eq \f(1,\r(37)) ＝ eq \f(\r(37),37) . 考向2　解直角三角形的应用—— 仰角、俯角问题 3．[2024四川德阳]某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10 m的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为(　　) A．20 m B．15 m C．12 m D．(10＋5 eq \r(3) )m 4．[2024山东泰安]在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机．如图，无人机在河上方距水面高60 m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12 m(图中点A，B，C，P在同一平面内).那么大汶河此河段的宽AB为___________m.(参考数据：sin 40°≈ eq \f(3,5) ，sin 63.6°≈ eq \f(9,10) ，tan 50°≈ eq \f(6,5) ，tan 63.6°≈2) 5．[2024内蒙古赤峰]综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10 m，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为_____________m．(结果精确到0.1 m；参考数据：sin 65°≈0.906，cos 65°≈0.423，tan 65°≈2.145) 6．[2024内蒙古通辽]在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6 m，在距离C点4 m处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度(精确到0.1 m，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据： eq \r(3) ≈1.73). INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK343.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 解：如图，延长AB交DC于点H，则∠AHD＝90°. ∵∠BCH＝30°，BC＝6 m， ∴BH＝ eq \f(1,2) BC＝3 m，CH＝ eq \f(\r(3),2) BC＝3 eq \r(3) m. ∵∠ADC＝45°，∴AH＝DH＝CD＋CH＝(4＋3 eq \r(3) )m， ∴AB＝AH－BH＝4＋3 eq \r(3) －3＝1＋3 eq \r(3) ≈6.2(m). 答：杨树AB的高度约为6.2 m. 7．[2024内蒙古包头]如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小). (1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上(测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示)，并对设计进行说明； (2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度(用字母表示). INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK345.TIF" \* MERGEFORMATINET 　 　 解：(1)如图，在地面上取点C，测得BC＝m，∠ACB＝α， 根据tan α＝ eq \f(AB,BC) ，即可得出教学楼AB的高度． (2)∵∠ABC＝90°，∴tan α＝ eq \f(AB,BC) ， ∴AB＝BC·tan α＝m tan α. 8．[2024河北]中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4 m，仰角为α；淇淇向前走了3 m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6 m，点P到BQ的距离PQ＝2.6 m，AC的延长线交PQ于点E.(注：图中所有点均在同一平面) (1)求β的大小及tan α的值； (2)求CP的长及sin ∠APC的值． 解：(1)由题意，可得PQ⊥AE，PQ＝2.6 m，AB＝CD＝EQ＝1.6 m，AE＝BQ＝4 m，AC＝BD＝3 m， ∴CE＝4－3＝1(m)，PE＝2.6－1.6＝1(m)，∠CEP＝90°， ∴CE＝PE，∴β＝∠PCE＝45°，tan α＝ eq \f(PE,AE) ＝ eq \f(1,4) . (2)如图，过点C作 CH⊥AP于点H. ∵CE＝PE＝1 m，∠CEP＝90°， ∴CP＝ eq \r(12＋12) ＝ eq \r(2) (m). ∵tan α＝ eq \f(CH,AH) ＝ eq \f(1,4) ，∴设CH＝x m，则AH＝4x m. ∵在Rt△ACH中，CH2＋AH2＝AC2， ∴x2＋(4x)2＝32. 解得x1＝－ eq \f(3\r(17),17) (不符合题意，舍去)，x2＝ eq \f(3\r(17),17) ， ∴CH＝ eq \f(3\r(17),17) m，∴sin ∠APC＝ eq \f(CH,CP) ＝ eq \f(\f(3\r(17),17),\r(2)) ＝ eq \f(3\r(34),34) . 9．[2024河南]如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时(如图2)，在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB； (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6 m，求塑像AB的高．(结果精确到0.1 m．参考数据： eq \r(3) ≈1.73) 图 2 解：(1)如图，设AD与圆的交点为点M，连接BM， 则∠AMB＝∠APB. ∵∠AMB>∠ADB，∴∠APB>∠ADB. (2)在Rt△AHP中，∠APH＝60°，PH＝6 m. ∵tan ∠APH＝ eq \f(AH,PH) ， ∴AH＝PH·tan 60°＝6× eq \r(3) ＝6 eq \r(3) (m). ∵∠APB＝30°， ∴∠BPH＝∠APH－∠APB＝60－30°＝30°. 在Rt△BHP中，tan ∠BPH＝ eq \f(BH,PH) ， ∴BH＝PH·tan 30°＝6× eq \f(\r(3),3) ＝2 eq \r(3) (m)， ∴AB＝AH－BH＝6 eq \r(3) －2 eq \r(3) ＝4 eq \r(3) ≈6.9(m). 答：塑像AB的高约为6.9 m. 考向3　解直角三角形的应用——方位角问题 10．[2024四川甘孜]如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 解：如图，由题意知，AB⊥PC. 在Rt△APC中，∠A＝37°，AP＝100 n mile， ∴PC＝AP·sin 37°≈100×0.60＝60(n mile)， AC＝AP·cos 37°≈100×0.80＝80(n mile)， 在Rt△PBC中，∠B＝45°， ∴BC＝PC≈60 n mile， ∴AB＝AC＋BC≈80＋60＝140(n mile). 答：B处距离A处约有140 n mile. 11．[2024四川泸州]如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30 n mile，求C，D间的距离．(计算过程中的数据不取近似值) 解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，过点D作DG⊥AB，交AB的延长线于点G. ∵∠CAB＝45°，AC＝30 n mile，∴AH＝CH＝15 eq \r(2) n mile， ∵∠CBH＝60°，∴BC＝ eq \f(CH,sin 60°) ＝ eq \f(15\r(2),\f(\r(3),2)) ＝10 eq \r(6) (n mile)， ∵∠DBG＝180°－60°－30°－60°＝30°， ∴∠BDG＝60°，∴∠CDB＝180°－60°－60°＝60°， ∵∠CBD＝30°＋60°＝90°， ∴CD＝ eq \f(BC,sin 60°) ＝ eq \f(10\r(6),\f(\r(3),2)) ＝20 eq \r(2) (n mile). 答：C，D间的距离为20 eq \r(2) n mile. 12．[2024重庆]如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2 km.(参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73， eq \r(6) ≈2.45) (1)求BC的长度；(结果精确到0.1 km) (2)甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为D－C－B，乙选择的路线为D－A－B，请计算说明谁选择的路线较近． 解：(1)过点B作BE⊥AC于点E，如图． 根据题意，得∠DAB＝90°， ∵∠DAC＝30°，∴∠EAB＝60°，∠EBA＝30°， ∴AE＝ eq \f(1,2) AB＝1 km，BE＝ eq \r(3) AE＝ eq \r(3) km， ∵C在B的北偏西15°方向，∴∠EBC＝90°－30°－15°＝45°， ∴△EBC是等腰直角三角形， ∴CE＝BE＝ eq \r(3) km，∴BC＝ eq \r(2) BE＝ eq \r(6) ≈2.5(km). 答：BC的长度约为2.5 km. (2)过点C作CF⊥AD于点F，如图． 由(1)知，AE＝1 km，CE＝ eq \r(3) km，∴AC＝AE＋CE＝(1＋ eq \r(3) )km， 在Rt△ACF中，∠FAC＝30°， ∴CF＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(1＋\r(3),2) km，AF＝ eq \f(CF,tan 30°) ＝ eq \f(\r(3)＋3,2) km， ∵D在C的北偏西60°方向，∴∠DCF＝30°， ∴DF＝CF·tan 30°＝＝ eq \f(\r(3)＋3,6) km，CD＝2DF＝ eq \f(\r(3)＋3,3) km， ∴AD＋AB＝ eq \f(\r(3)＋3,6) ＋ eq \f(\r(3)＋3,2) ＋2＝ eq \f(2\r(3)＋12,3) ≈5.15(km)， CD＋BC＝ eq \f(\r(3)＋3,3) ＋ eq \r(6) ≈4.03(km)， ∵4.03 km<5.151 cm，∴CD＋BC＜AD＋AB. 答：甲选择的路线较近． 考向4　解直角三角形的应用——坡角、坡度问题 13．[2024四川眉山]如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为___________________m. (4 eq \r(15) －2 eq \r(5) ) 14．[2024山东威海]某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表(尚不完整). 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××　组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿，点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离，∠α是要测量的倾斜角 测量数据 …… …… (1)设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏； (2)根据(1)中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程； (3)假设sin α≈0.86，cos α≈0.52，tan α≈1.66，根据(2)中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为______________________． ① eq \x(2ndF) eq \x(sin) eq \x(0) eq \x(·) eq \x(8) eq \x(6) eq \x(＝) ② eq \x(sin) eq \x(0) eq \x(·) eq \x(8) eq \x(6) eq \x(＝) ③ eq \x(2ndF) eq \x(cos) eq \x(0) eq \x(·) eq \x(5) eq \x(2) eq \x(＝) ④ eq \x(cos) eq \x(0) eq \x(·) eq \x(5) eq \x(2) eq \x(＝) ⑤ eq \x(2ndF) eq \x(tan) eq \x(1) eq \x(·) eq \x(6) eq \x(6) eq \x(＝) ⑥ eq \x(tan) eq \x(1) eq \x(·) eq \x(6) eq \x(6) eq \x(＝) (1)设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏； 解：(1)AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f(答案不唯一，合理即可) (2)根据(1)中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程； (2)如图，过点A作AM⊥CB于点M，则∠AMB＝90°， ∵DE⊥CB，∴DE∥AM，∴△CDE∽△CAM， ∴ eq \f(DE,AM) ＝ eq \f(CD,CA) ，即 eq \f(e,AM) ＝ eq \f(f,c) ，∴AM＝ eq \f(ec,f) ， ∴sin α＝ eq \f(AM,AB) ＝ eq \f(\f(ec,f),a) ＝ eq \f(ec,af) . (3)假设sin α≈0.86，cos α≈0.52，tan α≈1.66，根据(2)中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为______________________． ① eq \x(2ndF) eq \x(sin) eq \x(0) eq \x(·) eq \x(8) eq \x(6) eq \x(＝) ② eq \x(sin) eq \x(0) eq \x(·) eq \x(8) eq \x(6) eq \x(＝) ③ eq \x(2ndF) eq \x(cos) eq \x(0) eq \x(·) eq \x(5) eq \x(2) eq \x(＝) ④ eq \x(cos) eq \x(0) eq \x(·) eq \x(5) eq \x(2) eq \x(＝) ⑤ eq \x(2ndF) eq \x(tan) eq \x(1) eq \x(·) eq \x(6) eq \x(6) eq \x(＝) ⑥ eq \x(tan) eq \x(1) eq \x(·) eq \x(6) eq \x(6) eq \x(＝) 考向5　解直角三角形的应用——其他问题 15．[2024四川成都]中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺．在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD.已知∠ACB＝73.4°，∠ADB＝26.6°，求春分和秋分时日影长度．(结果精确到0.1尺；参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 73.4°≈0.96，cos 73.4°≈0.29，tan 73.4°≈3.35) 解：在Rt△ABC中，AB＝8尺，∠ACB＝73.4°， ∴BC＝ eq \f(8,tan ∠ACB) ≈ eq \f(8,3.35) ≈2.39(尺). 在Rt△ABD中，AB＝8尺，∠ADB＝26.6°， ∴BD＝ eq \f(8,tan ∠ADB) ≈ eq \f(8,0.50) ＝16(尺). ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数， ∴ eq \f(2.39＋16,2) ≈9.2(尺). 答：春分和秋分时日影长度约为9.2尺． 16．[2024江西]图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量，ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝152°. (1)求“大碗”的口径AD的长； (2)求“大碗”的高度AM的长． (结果精确到0.1 m；参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88) 图 2 解：(1)∵AM⊥MN，DN⊥MN， ∴∠AMN＝∠DNM＝90°， ∵AD∥MN，∴∠DAM＝180°－∠AMN＝90°， ∴四边形AMND是矩形， ∴AD＝MN＝ME＋EF＋FN＝20.0＋40.0＋20.0＝80.0(m)， 答：“大碗”的口径AD的长为80.0 m. (2)如图，延长CB交AM于点G， 由题意，得GM＝BE＝2.4 m，BG＝ME＝20.0 m，BG⊥AM，∠EBG＝90°， ∵∠ABE＝152°，∴∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝62°， 在Rt△ABG中，AG＝BG·tan 62°≈20.0×1.88＝37.6(m)， ∴AM＝AG＋GM≈37.6＋2.4＝40.0(m). 答：“大碗”的高度AM约为40.0 m. 17．[2024广东]中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个停车位的宽，所有停车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1 m，参考数据 eq \r(3) ≈1.73) (1)求PQ的长； (2)该充电站有20个停车位，求PN的长． 解：(1)∵四边形PQMN是矩形，∴∠Q＝∠P＝90°， 在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m， ∴AQ＝AB·sin ∠ABQ＝ eq \f(27\r(3),10) m，∠QAB＝30°， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°， ∴∠CBE＝30°，∴BC＝ eq \f(CE,tan ∠CBE) ＝ eq \f(8\r(3),5) m，∴AD＝ eq \f(8\r(3),5) m. ∵∠PAD＝180°－30°－90°＝60°，∴AP＝AD·cos ∠PAD＝ eq \f(4\r(3),5) m， ∴PQ＝AP＋AQ＝ eq \f(7\r(3),2) ≈6.1(m). 答：PQ的长度为6.1 m. (2)在Rt△BCE中，BE＝ eq \f(CE,sin ∠CBE) ＝3.2 m， 在Rt△ABQ中，BQ＝AB·cos ∠ABQ＝2.7 m， ∵该充电站有20个停车位，∴QM＝BQ＋20BE＝66.7 m， ∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝66.7 m. 答：PN的长度为66.7 m. 18．[2024四川广元]小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值 eq \f(sin α,sin β) 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cos α＝ eq \f(\r(7),4) ，β＝30°，求该介质的折射率； (2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图2，已知α＝60°，CD＝10 cm，求截面ABCD的面积． 图 2 解：(1)如图，∵cos α＝ eq \f(\r(7),4) ，∴设b＝ eq \r(7) x，则c＝4x， 由勾股定理，得a＝ eq \r(（4x）2－（\r(7)x）2) ＝3x， ∴sin α＝ eq \f(a,c) ＝ eq \f(3x,4x) ＝ eq \f(3,4) ， 又∵β＝30°，∴sin β＝sin 30°＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(sin α,sin β) ＝ eq \f(\f(3,4),\f(1,2)) ＝ eq \f(3,2) . 答：该介质的折射率为 eq \f(3,2) . (2)由题意可得，α＝60°，折射率为 eq \f(3,2) ，∴ eq \f(sin α,sin β) ＝ eq \f(sin 60°,sin β) ＝ eq \f(3,2) ，∴sin β＝ eq \f(\r(3),3) ， ∵四边形ABCD是矩形，O是AD的中点，∴AD＝2OD，∠D＝90°， 又∵∠OCD＝β，∴sin ∠OCD＝sin β＝ eq \f(\r(3),3) ， 在Rt△ODC中，设OD＝ eq \r(3) x，OC＝3x， 由勾股定理，得CD＝ eq \r(（3x）2－（\r(3)x）2) ＝ eq \r(6) x， ∴tan β＝ eq \f(OD,CD) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∴OD＝10× eq \f(\r(2),2) ＝5 eq \r(2) (cm)， ∴AD＝2OD＝10 eq \r(2) cm，∴AD·CD＝10 eq \r(2) ×10＝100 eq \r(2) (cm2). 答：截面ABCD的面积为100 eq \r(2) cm2. 19．[2024江苏苏州]图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm. (1)如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度；(结果保留根号) (2)如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tan α＝ eq \f(3,4) (α为锐角)，求此时可伸缩支撑杆CD的长度．(结果保留根号) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK362.TIF" \* MERGEFORMATINET 图 1　 图 2 图 3 解：(1)如图1，过点C作CE⊥AD，垂足为点E. 由题意，得CE＝AB＝10 cm，AE＝BC＝20 cm， ∵AD＝50 cm， ∴DE＝AD－AE＝50－20＝30(cm)， 在Rt△CED中，CD＝ eq \r(CE2＋DE2) ＝ eq \r(102＋302) ＝10 eq \r(10) (cm). 答：可伸缩支撑杆CD的长度为10 eq \r(10) cm. (2)如图2，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD′于点G， 由题意，得FG＝AB＝10 cm，AG＝BF，∠AGD＝90°， 在Rt△ADG中，tan α＝ eq \f(DG,AG) ＝ eq \f(3,4) ，∴设DG＝3x cm，AG＝4x cm， ∴AD＝ eq \r(AG2＋DG2) ＝ eq \r(（4x）2＋（3x）2) ＝5x(cm)， ∵AD＝50 cm，∴5x＝50，解得x＝10，∴AG＝40 cm，DG＝30 cm， ∴DF＝DG＋FG＝30＋10＝40(cm)，BF＝AG＝40 cm， ∵BC＝20 cm，∴CF＝BF－BC＝40－20＝20(cm)， 在Rt△CFD中，CD＝ eq \r(CF2＋DF2) ＝ eq \r(202＋402) ＝20 eq \r(5) (cm). 答：此时可伸缩支撑杆CD的长度为20 eq \r(5) cm. 20．[2024山东烟台]根据收集的素材，探索完成任务. 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器的主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76° sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25， sin 29°≈0.48，cos 29°≈0.87，tan 29°≈0.55， sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93， sin 76°≈0.97，cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.01 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54 m，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3 m．AE为某时刻的太阳光线 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日(填“冬至”或“夏至”)时，α为________(填“14°”“29°”“43°”“76°”中的一个)进行计算 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器 任务二：如图，过点E作EF⊥AB于点F，则∠AFE＝90°，EF＝54 m，BF＝DE， 在Rt△AFE中，tan α＝ eq \f(AF,EF) ， ∴AF＝EF·tan 14°≈54×0.25＝13.5(m)， ∵AB＝11×3.3＝36.3(m)， ∴DE＝BF＝AB－AF≈36.3－13.5＝22.8(m)， ∴22.8÷3.3≈7(层). 答：乙楼中7层及7层以下不能安装该品牌太阳能热水器． 1.[2024山东青岛模拟]如图，点A为∠B边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tan B的值，错误的是(　　) A． eq \f(AD,AC) B． eq \f(AD,CD) C． eq \f(AC,BC) D． eq \f(CD,BD) 解析：证明∠B＝∠ACD，推出tan B＝tan ∠ACD，可得tan B＝ eq \f(CD,BD) ＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(AD,CD) ，由此即可判断． 3．[2024四川雅安模拟]在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则cos ∠AOB的值等于(　　) A． eq \f(2\r(5),5) B． eq \f(\r(5),2) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(1,2) 4．[2024江苏连云港模拟]如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin eq \f(∠ADC,2) 的值是________________． eq \f(\r(5),5) 解析：根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再证明D是AB的中点，然后利用直角三角形斜边上的中线的意义得出CD＝BD，从而可得∠ADC＝2∠CBD，进而可得sin eq \f(∠ADC,2) ＝sin ∠BCD，进行计算即可解答． 5.[2024河南商丘模拟]在△ABC中，若|sin A－ eq \f(1,2) |＋( eq \f(\r(3),2) －cos B)2＝0，则∠C的度数是(　　) A．120° B．105° C．75° D．45° 6.[2024四川宜宾模拟]阅读理解：为计算tan 15°的三角函数值，我们可以构建Rt△ACB(如图)，使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan 15°＝ eq \f(AC,CD) ＝ eq \f(1,2＋\r(3)) ＝ eq \f(2－\r(3),（2＋\r(3)）（2－\r(3)）) ＝2－ eq \r(3) .类比这种方法，则tan 67.5°的值为(　　) A． eq \r(2) ＋1 B． eq \r(2) －1 C． eq \r(2) D． eq \f(1,2) 7．[2024甘肃武威模拟]已知tan (α＋15°)＝ eq \r(3) ，则tan α的值为________． 8.[2024山东淄博模拟]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝6.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是(　　) A． eq \x(6) eq \x(÷) eq \x(tan) eq \x(2) eq \x(6) eq \x(＝) B． eq \x(6) eq \x(÷) eq \x(sin) eq \x(2) eq \x(6) eq \x(＝) C． eq \x(6) eq \x(×) eq \x(cos) eq \x(2) eq \x(6) eq \x(＝) D． eq \x(6) eq \x(×) eq \x(tan) eq \x(2) eq \x(6) eq \x(＝) 9．[2024山东泰安模拟]如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB(与水平地面BF垂直)形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3 m，CD＝8.48 m，斜坡的坡角∠ECF＝32°，则立柱AB的高为________m.(结果精确到0.1 m) 科学计算器按键顺序 计算结果(已取近似值) eq \x(sin) eq \x(3) eq \x(2) eq \x(＝) 0.530 eq \x(cos) eq \x(3) eq \x(2) eq \x(＝) 0.848 eq \x(tan) eq \x(3) eq \x(2) eq \x(＝) 0.625 解析：延长AD交BF于点H(图略)， 在Rt△DCH中，CD＝8.48 m，∠DCH＝32°， ∵cos ∠DCH＝ eq \f(DC,HC) ，∴HC＝ eq \f(DC,cos ∠DCH) ≈ eq \f(8.48,0.848) ＝10(m)， ∴BH＝HC＋BC≈13 m， ∵∠DCH＋∠AHB＝90°，∠A＋∠AHB＝90°，∴∠A＝∠DCH＝32°， 在Rt△AHB中，tan A＝ eq \f(BH,AB) ， ∴AB＝ eq \f(BH,tan A) ≈ eq \f(13,0.625) ＝20.8(m). 10.[2024山东菏泽模拟]实验是培养学生创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24 cm，BE＝ eq \f(1,3) AB，试管倾斜角α为10°. (1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度；(结果精确到0.1 cm) (2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF(点C，D，N，F在一条直线上)，经测量，DE＝27.36 cm，MN＝8 cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度．(结果精确到0.1 cm)(参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18) 解：(1)如图，过点E作EG⊥AC于点G， ∵AB＝24 cm，BE＝ eq \f(1,3) AB， ∴BE＝8 cm，AE＝16 cm， 在Rt△AEG中，AE＝16 cm，∠AEG＝10°， ∴EG＝AE·cos 10°≈16×0.98≈15.7(cm)， ∴CD＝EG≈15.7 cm. 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7 cm. (2)如图，过点B分别作BH⊥DE，BP⊥FC，垂足分别为点H，P， 在Rt△BEH中，BE＝8 cm，∠EBH＝10°， ∴HE＝BE·sin 10°≈1.36 cm，BH＝BE·cos 10°≈7.84 cm， ∴BP＝HD＝DE－HE≈27.36－1.36＝26(cm)，DP＝BH＝7.84 cm， ∵∠ABF＝145°，∴∠PBF＝145°－90°－10°＝45°， ∴BP＝PF＝HD≈26 cm， ∵MN⊥CF，∠NMF＝45°，MN＝8 cm， ∴NF＝MN＝8 cm， ∴DN＝DP＋PF－NF≈7.84＋26－8≈25.8(cm). 答：线段DN的长度约为25.8 cm. 11．[2024河北唐山模拟]图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160 cm，识别的最远水平距离OB＝150 cm. (1)如图2，张亮站在摄像头前水平距离100 cm的点G处，恰好能被识别(头的顶部在仰角线AD上)，求张亮的身高约是多少厘米． (2)夕夕身高136 cm，头部高度为18 cm，踮起脚尖可以增高3 cm，此时夕夕能被识别吗？请通过计算说明．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27) 备用图 图 2 解：(1)如图1，过点G作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点M，N，交水平线于点F， 图 1 由题意知，∠AOG＝∠OAF＝∠FGO＝90°， ∴四边形AOGF是矩形， ∴GF＝OA＝160 cm，AF＝OG＝100 cm， 在Rt△AMF中，∠MAF＝15°，tan ∠MAF＝ eq \f(MF,AF) ， ∴MF＝AF·tan 15°≈100×0.27＝27(cm)， ∴GM＝GF＋MF≈160＋27＝187(cm). 答：张亮的身高约是187 cm. (2)此时夕夕能被识别．说明如下： 如图2，过点B作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点H，I，交水平线于点P， 图 2 由题意知，∠AOB＝∠OAP＝∠PBO＝90°，∴四边形AOBP是矩形， ∴AP＝OB＝150 cm，AO＝BP＝160 cm， ∴PI＝AP·tan 15°≈150×0.27＝40.5(cm)， ∴BI≈160－40.5＝119.5(cm)，136＋3－18＝121(cm)， ∵121 cm>119.5 cm，∴此时夕夕能被识别． 12．[2024福建龙岩模拟]根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳棚的学问 素材1 为建设美好和谐社区，增强居民生活幸福感，某社区服务中心活动室墙外安装如图1所示的遮阳棚，便于社区居民休憩．如图2为侧面示意图，墙记为AD，遮阳棚记为AB，直线BC为太阳光线，CD为太阳光的阴影．据研究发现，当一个人从遮阳棚进出，遮阳棚外端到地面的距离小于2.3 m时，人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉地低下头或者用手护着头 素材2 如图2，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得遮阳棚AB长为4.4 m，与墙面AD的夹角∠BAD＝60°，∠ADC＝90°，靠墙端A离地高AD为4.2 m 素材3 如图3，在侧面示意图中，太阳光线如图所示．测得AB＝a m，BC＝b m，∠ABC＝120°，∠BCD＝θ(60°＜θ＜90°)，∠ADC＝90° 示意图 图 3 图 2 问题解决 任务1 如图2，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时有没有安全感？如果没有安全感，请你写出一条增强安全感的建议 任务2 如图2，当太阳光线BC与地面DE的夹角为45°时，求阴影CD的长．(结果精确到0.1 m；参考数据： eq \r(3) ≈1.7) 任务3 如图3，求墙AD的长，阴影CD的长 解：任务1：如图1，过点B作BF⊥CE于点F，BG⊥AD于点G，则四边形DGBF是矩形， ∴BF＝DG，BG＝DF， 在Rt△ABG中，∠BAD＝60°，∠AGB＝90°，AB＝4.4 m， ∴AG＝AB·cos ∠BAG＝4.4×cos 60°＝2.2(m)， ∴BF＝DG＝AD－AG＝4.2－2.2＝2(m)， ∵2 m＜2.3 m，∴人进出此遮阳棚时没有安全感． 增强安全感的建议如下：适当扩大∠BAD的度数，使BF≥2.3 m. 任务2：如图1，在Rt△BCF中，CF＝ eq \f(BF,tan ∠BCF) ＝ eq \f(2,tan 45°) ＝2(m). 在Rt△ABG中，BG＝AB·sin ∠BAG＝4.4×sin 60°≈3.74(m). ∴CD＝DF－CF＝BG－CF≈3.74－2≈1.7(m). 答：阴影CD的长约为1.7 m. 任务3：如图2，过点B作BF⊥AD于点F，BE⊥CD于点E， ∵∠EDF＝∠BFD＝∠BED＝90°， ∴四边形BEDF为矩形， ∴∠EBF＝90°，BE＝DF，DE＝BF， ∵∠BCE＝θ，∴∠EBC＝90°－θ， ∵∠ABC＝120°，∴∠ABF＝120－90°－(90°－θ)＝θ－60°， 在Rt△BCE中，EC＝BC·cos ∠BCE＝b cos θ m， BE＝BC·sin ∠BCE＝b sin θ m， ∴DF＝BE＝b sin θ m， 在Rt△ABF中，BF＝AB·cos ∠ABF＝a cos (θ－60°)m， AF＝AB·sin ∠ABF＝a sin (θ－60°)m， ∴DE＝BF＝a cos (θ－60°)m， ∴CD＝EC＋DE＝[b cos θ＋a cos (θ－60°)]m， AD＝AF＋DF＝[a sin (θ－60°)＋b sin θ]m. 答：墙AD的长为[a sin (θ－60°)＋b sin θ]m，阴影CD的长为[b cos θ＋a cos (θ－60°)]m. $$题组❶ 互余和互补 题组❷ 平行线的性质和判定 考点❶ 线与角 考点❷ 平行线的性质和判定 考点❸ 命题 模拟考题讲练 真题考向解读 图形的初步认识与三角形——线与角、相交线与平行线 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❶ 线与角 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 真题考向解读 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 两点之间，线段最短 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 35 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❷ 平行线的性质和判定 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题 第13题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 120° 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 30 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❸ 命题 第1题 第2题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 第1题 第2题 题组❶ 互余和互补 模拟考题讲练 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❷ 平行线的性质和判定 第8题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 20° 72°15′ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 110 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 24 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 25 考向1　线段的性质 1．[2024吉林]如图，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是__________________________． \a\vs4\al(（第1题图）) INCLUDEPICTURE "ZK175.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK175.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 \a\vs4\al(（第2题图）) 考向2　钟面角 2．[2024广西]如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为(　　) A．20° B．40° C．60° D．80° 考向3　互余和互补 3．[2024甘肃]若∠A＝55°，则∠A的补角为(　　) A．35° B．45° C．115° D．125° 考向4　垂线的性质 4．[2024四川雅安]如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于点O，若∠1＝35°，则∠2的度数是(　　) A．55° B．45° C．35° D．30° 5．[2024北京]如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为(　　) A．29° B．32° C．45° D．58° 考向5　对顶角的性质 6．[2024广西]已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝________°. 考向1　平行线的判定 1．[2023江苏苏州]如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是(　　) A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQ C．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ 考向2　平行线的性质 2．[2024内蒙古包头]如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．[2024江苏苏州]如图，AB∥CD，若∠1＝65°，∠2＝120°，则∠3的度数为(　　) A．45° B．55° C．60° D．65° 4．[2024福建]在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 5．[2024黑龙江齐齐哈尔]将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是(　　) A．30° B．40° C．50° D．60° 6．[2024内蒙古赤峰]将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为(　　) A.100° B．105° C．115° D．120° 7．[2024四川凉山]一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为(　　) A．10° B．15° C．30° D．45° 8．[2024四川泸州]把一块含30°角的直角三角尺按如图方式放置于两条平行线间，若∠1＝45°，则∠2＝(　　) A．10° B．15° C．20° D．30° 9．[2024四川乐山]如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若∠1＝60°，则∠2＝______________． 考向3　平行线的应用 11．[2024河南]如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为(　　) A．60° B．50° C．40° D．30° 10．[2024江苏连云港]如图，直线a∥b，直线l⊥a，∠1＝120°，则∠2＝________°. 13．[2023四川绵阳]光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝122°，∠2的度数为(　　) A.32° B．58° C．68° D．78° 12．[2023山西]如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　　) A．45° B．50° C．55° D．60° 考向　命题真假的识别 1．[2023江苏无锡]下列命题是假命题的是(　　) A．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 2．[2023辽宁盘锦]下列命题正确的是(　　) A．方差越小则数据波动越大 B．等边三角形是中心对称图形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．正多边形的外角和为360° 1.[2024山东济南模拟]如图，将一副三角尺按不同位置摆放，其中∠α和∠β不一定相等的是(　　) D C　　 B　 2．[2024北京模拟]如图，利用工具测量角，有如下4个结论： ①∠AOC＝90°；②∠AOB＝∠BOC； ③∠AOB与∠BOC互为余角；④∠AOB与∠AOD互为补角． 上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A．①②③ B．①②C．③④ D．①③④ 3.[2024安徽芜湖模拟]将一副直角三角尺按如图方式摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，AB∥CD，则下列结论不正确的是(　　) A．GE∥MP B．∠EFN＝150° C．∠BEF＝60° D．∠AEG＝∠PMN 4．[2024广东惠州模拟]如图，有一条公路修到湖边时，需拐弯而过，若第一次拐弯处∠A＝120°，第二次拐弯处∠B＝150°，第三次拐弯后道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第三次拐弯处的∠C的度数为(　　) A．120° B．130° C．140° D．150° 5．[2024甘肃武威模拟]六分仪(如图1)是一种用来测量远方两个目标之间夹角的光学仪器，通常用它测量某一时刻太阳或其他天体与海平线或地平线之间的夹角，以便迅速得知轮船或飞机所在位置的经纬度．其原理如图2所示，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC与0°刻度线AE保持平行(即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D，六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC＝ω，观测角为∠SDM.已知某一时刻测得ω＝28°，则∠SDM的度数为(　　) 图 1　 　图 2 A．34° B．45° C．56° D．70° 解析：∵∠CAD＝∠SAN＝α，∴∠DAE＝α－ω. ∵BC∥AE，∴∠AKB＝∠CBD＝β，∠ABF＝∠BAE， ∴∠ADB＝∠AKB－∠DAE＝β－(α－ω)＝β－α＋ω. ∵β＝α＋ω，∴β－α＝ω，∴∠ADB＝2ω＝2×28°＝56°. 即∠SDM的度数为56°.故选C. 6．[2024湖南娄底模拟]某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，∠D＝70°，则∠ACD＝________． 7．[2024吉林松原模拟]如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是72°15′，那么光线与纸板左上方所成的∠2的度数是____________． 8．[2024山东济宁模拟]如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝100°，则∠CDE的度数为________°. 解析：∵EF⊥MN，∴∠MFE＝90°. 如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB. ∵AB∥MN，∴AB∥DG∥EH∥MN， ∴∠BCD＋∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEH，∠HEF＝∠MFE＝90°. ∵∠DEF＝120°，∠BCD＝100°， ∴∠GDE＝∠DEH＝30°，∠CDG＝180°－100°＝80°， ∴∠CDE＝∠CDG＋∠GDE＝110°. $$题组❶ 相似 题组❷ 相似三角形的应用 题组❸ 以圆为背景考查相似 题组❹ 与相似有关的探究题 考点❶ 相似 考点❷ 相似三角形的判定和性质 考点❸ 相似三角形的应用 模拟考题讲练 真题考向解读 图形的初步认识与三角形——图形的相似与位似 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❶ 相似 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题 第13题 真题考向解读 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 △MCB 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❷ 相似三角形的判定和性质 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 3 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 (4，－4) 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 6 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❸ 相似三角形的应用 第1题 第2题 第3题 第4题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 20 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 18.2 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 第1题 第2题 题组❶ 相似 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 模拟考题讲练 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 6 (－4，－3) 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❷ 相似三角形的应用 第9题 第10题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 48 25 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❸ 以圆为背景考查相似 第11题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❹ 与相似有关的探究题 第12题 第13题 第14题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考向1　平行线分线段成比例 1．[2024河南]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为(　　) A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \f(4,3) D．2 2．[2024四川自贡]如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD，BC上的点A′，B′处，EF，A′F分别交AC于点G，H.若GH＝2，HC＝8，则BF的长为(　　) A． eq \f(20\r(2),9) B． eq \f(20\r(3),9) C． eq \f(5\r(3),2) D．5 解析：由AD∥BC，推出 eq \f(AE,CF) ＝ eq \f(AG,CG) ， eq \f(AA′,CF) ＝ eq \f(AH,CH) ，推出 eq \f(2AE,CF) ＝ eq \f(AA′,CF) ，推出 eq \f(2AG,CG) ＝ eq \f(AH,CH) ，可得 eq \f(2AG,10) ＝ eq \f(AG＋2,8) ，所以AG＝ eq \f(10,3) ，再证明FG＝AG，利用勾股定理求出CF， eq \f(AE,CF) ＝ eq \f(AG,CG) 求出AE＝ eq \f(20\r(2),9) ，所以BF＝ eq \f(20\r(2),9) .故选A. 考向2　黄金分割 3．[2024四川德阳]宽与长的比是 eq \f(\r(5)－1,2) 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形(AB＜BC)，点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 4．[2024四川泸州]宽与长的比是 eq \f(\r(5)－1,2) 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin ∠DAE的值为(　　) A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,5) D． eq \f(2\r(5),5) 解析：设AD＝BC＝( eq \r(5) －1)a，AB＝CD＝2a，根据翻折的性质及等角对等边得出EC＝EA，最后利用勾股定理表示出DE及AE的长即可．故选A. 5．[2024山西]黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“ \f(BC,AB) INCLUDEPICTURE "ZK272A.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK272A.TIF" \* MERGEFORMATINET ”的位置在AB的黄金分割点C处，且＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，若NP＝2 cm，则BC的长为____________________cm.(结果保留根号) ( eq \r(5) －1) 6．[2024山东泰安]综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 (1)同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连接BG.EF与BG相交于点H.同学们发现图形中四条线段成比例，即 eq \f(EF,BG) ＝ eq \f(AB,BC) ，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 (2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF.将纸片展平，连接EG，FH，FG.同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD·GD.请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 图 2 解：(1)同学们的发现正确．理由如下： 如图，过点E作EM⊥BC于点M. 由折叠知，∠BHF＝90°，∴∠FBH＋∠BFH＝90°. ∵∠EMF＝90°，∴∠MEF＋∠BFH＝90°. ∴∠FBH＝∠MEF， ∵∠EMF＝∠C＝90°，∴△EMF∽△BCG， ∴ eq \f(EF,BG) ＝ eq \f(EM,BC) . ∵四边形ABCD是矩形，EM⊥BC， ∴四边形ABME是矩形，∴AB＝EM，∴ eq \f(EF,BG) ＝ eq \f(AB,BC) . ∴同学们的发现正确． (2)同学们的发现正确．理由如下： ∵CD∥FG，∴ eq \f(CD,FG) ＝ eq \f(BD,BG) ，∠CDF＝∠DFG. 由折叠知，∠CDF＝∠BDF， ∴∠DFG＝∠BDF，∴GD＝FG，∴ eq \f(CD,GD) ＝ eq \f(BD,BG) . 由平行四边形的性质及折叠知，AB＝BG，AB＝CD， ∴ eq \f(BG,GD) ＝ eq \f(BD,BG) ，∴BG2＝BD·GD. 即点G是BD的一个“黄金分割点”． ∴同学们的发现正确． 考向3　相似三角形的判定 7．[2023黑龙江大庆]在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是_________________． 8．[2024广东广州]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 证明：∵BE＝3，EC＝6，∴BC＝BE＋EC＝3＋6＝9. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°. ∵ eq \f(AB,EC) ＝ eq \f(9,6) ＝ eq \f(3,2) ， eq \f(BE,CF) ＝ eq \f(3,2) ，∴ eq \f(AB,EC) ＝ eq \f(BE,CF) ，∴△ABE∽△ECF. 9．[2024四川德阳]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G. (1)证明：△BEF∽△BCO； (2)证明：△BEG≌△AEG. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD. 又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC. ∵点F为BC的中点，∴AF⊥BC，∴∠BFE＝∠BOC＝90°. 又∵∠EBF＝∠CBO，∴△BEF∽△BCO. (2)∵BO⊥AC，AF⊥BC，△ABC是等边三角形， ∴CG⊥AB，∴∠BGE＝∠AGE. 又∵AC＝BC，∴BG＝AG. 在△BEG和△AEG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BG＝AG，,∠BGE＝∠AGE，,GE＝GE，)) ∴△BEG≌△AEG(SAS). 考向4　相似三角形的性质 10．[2024重庆]若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　) A．1∶3 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶9 11．[2024四川内江]已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　) A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9 考向5　位似 12．[2024浙江]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　) A.(－4，8) B．(8，－4) C．(－8，4) D．(4，－8) 13．[2023四川遂宁]在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为(　　) A．(－1，0) B．(0，0) C．(0，1) D．(1，0) 1.[2024湖南]如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是(　　) A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADE＝ eq \f(1,2) S△ABC 2．[2024陕西]如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为(　　) A．2 B．3 C． eq \f(5,2) D． eq \f(8,3) 解析：由题意可得AD∥GF，△ADH∽△FGH，DH∶GH＝AD∶FG＝6∶2＝3∶1，由DG＝6－2＝4，得DH＝4÷(1＋3)×3＝3.故选B. 3．[2023山东东营]如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为(　　) A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 解析：先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长． 4．[2024重庆]如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝________． 解析：由平行线的等分线段定理推出AF＝EF，由三角形中位线定理推出DE＝2CF＝2，得到CA＝DE＝2，可证△CAF∽△CBA，推出AC∶BC＝CF∶CA，求出BC＝4，即可得到BF的长． 5．[2024内蒙古]如图，点A(0，－2)，B(1，0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点D的坐标是_________________． 解析：过点D作DE⊥y轴于点E(图略)，利用点A，B的坐标表示出线段OA，OB的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定和性质求得线段DE，AE的长，进而得到OE的长，则可得点D的坐标． 6．[2023湖北十堰]如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝________． 解析：过点D作DE⊥y轴于点E(图略)，利用点A，B的坐标表示出线段OA，OB的长，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定和性质求得线段DE，AE的长，进而得到OE的长，则可得点D的坐标． 7．[2024江苏盐城]如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC. (1)求证：△ABC∽△ACD； (2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． (1)证明：如图，连接OC. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO. ∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l. ∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB. ∵∠ACB＝∠D＝90°，∴△ABC∽△ACD. (2)解：∵AC＝5，CD＝4，∠ADC＝90°，∴AD＝ eq \r(AC2－CD2) ＝3. ∵△ABC∽△ACD，∴ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AC,AD) ，即 eq \f(AB,5) ＝ eq \f(5,3) ， ∴AB＝ eq \f(25,3) ，∴⊙O的半径为 eq \f(25,6) . 8．[2024内蒙古包头]如图，在▱ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE，CE，且S△ABE＝S△DCE. (1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE，EF相交于点G，H. ①求证：H是AC的中点； ②求AG∶GH∶HC. (2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM，CE的延长线与AM相交于点N.试探究线段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论． 图 2 (1)①证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD和BC之间是等距的，且∠EAH＝∠FCH. ∵S△ABE＝S△DCE，∴AE＝DE＝ eq \f(1,2) AD. ∵F是边BC的中点，∴CF＝BF＝ eq \f(1,2) BC，∴CF＝AE， 在△AEH和△CFH中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EHA＝∠FHC，,∠EAH＝∠FCH，,AE＝CF，)) ∴△AEH≌△CFH(AAS)，∴AH＝CH， ∴H是AC的中点． ②解：∵∠EAH＝∠FCH，∠AGE＝∠CGB， ∴△AGE∽△CGB，∴ eq \f(AG,CG) ＝ eq \f(AE,CB) ＝ eq \f(1,2) ， 设AG＝2a(a>0)，则CG＝4a，∴AC＝6a， ∴AH＝CH＝3a，∴GH＝AH－AG＝a， ∴AG∶GH∶HC＝2a∶a∶3a＝2∶1∶3. (2)解：AM＝3AN. 证明：如图，过点M作MQ∥BC交CN的延长线于点Q. ∵ED∥BC，∴ eq \f(EM,BM) ＝ eq \f(ED,BC) ＝ eq \f(1,2) ，∴EM＝ eq \f(1,2) BM＝BE. ∵MQ∥BC，∴∠MQE＝∠BCE. ∵∠MEQ＝∠BEC，EM＝EB，∴△MQE≌△BCE(AAS)，∴MQ＝BC. ∵MQ∥AD，∴∠MQE＝∠AEN. ∵∠MNQ＝∠ANE，∴△MQN∽△AEN. ∴ eq \f(MN,AN) ＝ eq \f(MQ,AE) ＝2，∴MN＝2AN， ∴AM＝MN＋AN＝3AN. 9．[2024四川广元]数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力、创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图1)产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD. (1)初步探究 如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB； (2)尝试应用 如图3，在(1)的条件下，若点D为AB的中点，BC＝4，求CD的长； (3)创新提升 如图4，点E为CD中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2 eq \r(7) ，求BE的长． 　图 2 图 4 　图 3　　 (1)证明：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC，∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(AC,AB) ，∴AC2＝AD·AB. (2)解：设AD＝m，∵点D为AB的中点， ∴BD＝AD＝m，AB＝2m. 由(1)，得△ACD∽△ABC，∴ eq \f(CD,BC) ＝ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(AC,AB) ， ∴AC2＝AD·AB＝m·2m＝2m2，∴AC＝ eq \r(2) m或AC＝－ eq \r(2) m(不符合题意，舍去)， ∴ eq \f(CD,BC) ＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(\r(2)m,2m) ＝ eq \f(\r(2),2) . ∵BC＝4，∴CD＝ eq \f(\r(2),2) BC＝ eq \f(\r(2),2) ×4＝2 eq \r(2) . (3)解：如图，作BF⊥DC交DC的延长线于点F，则∠F＝90°. ∵点E为CD中点，∴CE＝DE， 设CE＝DE＝n. ∵∠CDB＝∠CBD＝30°， ∴CB＝CD＝2n，∠BCF＝∠CDB＋∠CBD＝60°， ∴∠FBC＝90°－∠BCF＝30°，∴CF＝ eq \f(1,2) CB＝n， ∴EF＝CE＋CF＝2n， BF＝ eq \r(CB2－CF2) ＝ eq \r(（2n）2－n2) ＝ eq \r(3) n， ∴BD＝2BF＝2 eq \r(3) n， BE＝ eq \r(EF2＋BF2) ＝ eq \r(（2n）2＋（\r(3)n）2) ＝ eq \r(7) n. 作CH∥EB交AB的延长线于点H，则△HDC∽△BDE， ∴∠H＝∠EBD， eq \f(HC,BE) ＝ eq \f(HD,BD) ＝ eq \f(CD,ED) ＝ eq \f(2n,n) ＝2， ∴HC＝2BE＝2 eq \r(7) n，HD＝2BD＝4 eq \r(3) n. ∵∠ACD＝∠EBD，∠H＝∠EBD，∴∠ACD＝∠H. ∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△AHC， ∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(AC,AH) ＝ eq \f(CD,HC) ＝ eq \f(2n,2\r(7)n) ＝ eq \f(1,\r(7)) ＝ eq \f(\r(7),7) . ∵AC＝2 eq \r(7) ，∴AD＝ eq \f(\r(7),7) AC＝ eq \f(\r(7),7) ×2 eq \r(7) ＝2，AH＝ eq \r(7) AC＝ eq \r(7) ×2 eq \r(7) ＝14， ∴HD＝AH－AD＝14－2＝12，∴4 eq \r(3) n＝12，解得n＝ eq \r(3) ， ∴BE＝ eq \r(7) × eq \r(3) ＝ eq \r(21) . 10．[2024广西]如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6.AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB. (1)求证：△ABC∽△CBO. (2)如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A′OC′，旋转角为α(0°＜α＜360°).连接A′M，C′M. ①求△A′MC′面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由； ②当△A′MC′是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数． 图 2 (1)证明：∵OM垂直平分AC， ∴OA＝OC，∠A＝∠ACO. ∵CO平分∠ACB，∴∠ACO＝∠BCO＝∠A. ∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBO. (2)解：①△A′MC′面积的最大值为8 eq \r(3) ，此时旋转角α＝180°.理由如下： ∵∠ACO＝∠BCO＝∠A，∠B＝90°， ∴∠ACO＝∠BCO＝∠A＝30°. 在Rt△ABC中，AB＝6， ∴AC＝ eq \f(AB,cos 30°) ＝4 eq \r(3) ， ∴AM＝2 eq \r(3) ，∴OM＝AM·tan 30°＝2. 如图1，作MH⊥A′C′于点H，ON⊥A′C′于点N，连接MN. 图 2 在△AOC旋转的过程中，对应边AC＝A′C′＝4 eq \r(3) ，对应高OM＝ON＝2. 在Rt△MHN中，MH＜MN， 在△OMN中，MN＜OM＋ON， ∴MH＜MN＜OM＋ON. 如图2，当点N，H重合时，MH取最大值，此时最大值为OM＋ON＝4，∴S△A′MC′＝ eq \f(1,2) A′C′·MH＝ eq \f(1,2) ×4 eq \r(3) ×4＝8 eq \r(3) ，即△A′MC′面积的最大值为8 eq \r(3) ， 此时M，O，N三点共线，旋转角α＝∠MON＝180°. ②当△A′MC′是直角三角形时，旋转角α为120°或240°. 解法提示：分当点C′与点A重合时，点A′恰好在MO的延长线上，满足∠A′MC′＝90°和当点A′与点C重合时，点C′恰好在MO的延长线上，满足∠A′MC′＝90°两种情况． 11．[2024贵州]综合与探究 如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A. (1)【操作判断】 如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图1中画出PC，图中∠APC的度数为________°； (2)【问题探究】 如图2，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA； (3)【拓展延伸】 点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求 eq \f(OP,OF) 的值． 备用图 图 2 (1)解：如图1所示．　90° 图 2 (2)证明：如图2，过点P作PC⊥OB于点C. 由题意知，四边形OAPC是矩形． ∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB， ∴PA＝PC，∴矩形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°. ∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC. 又∵AP＝CP，∠MAP＝∠NCP＝90°， ∴△APM≌△CPN(ASA)，∴AM＝CN， ∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2PA，∴OM＋ON＝2PA. (3)解：分情况讨论： ①当点M在线段AO上时，如图3，延长NM，PA交于点G. 由(2)知，OM＋ON＝2PA， 设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x， ∴AM＝AO－OM＝x＝OM. ∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG， ∴△MON≌△MAG(ASA)，∴AG＝ON＝3x. ∵AP∥OB，∴△ONF∽△PGF， ∴ eq \f(OF,PF) ＝ eq \f(ON,PG) ＝ eq \f(3x,3x＋2x) ＝ eq \f(3,5) ，∴ eq \f(PF,OF) ＝ eq \f(5,3) ，∴ eq \f(OP,OF) ＝ eq \f(8,3) . 图 4 ②当点M在线段AO的延长线上时，如图4，过点P作PC⊥OB于点C，并延长PC交MN于点G. 由(2)知，四边形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，PC∥AO. ∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC. 又∵AP＝PC，∠A＝∠PCN＝90°，∴△APM≌△CPN(ASA)，∴AM＝CN， ∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO. 设OM＝y，则ON＝3OM＝3y，AO＝y，CN＝AM＝2y. ∵PC∥AO，∴△CGN∽△OMN， ∴ eq \f(CG,OM) ＝ eq \f(CN,ON) ，即 eq \f(CG,y) ＝ eq \f(2y,3y) ，∴CG＝ eq \f(2y,3) . ∵PC∥AO，∴△OMF∽△PGF， ∴ eq \f(OF,PF) ＝ eq \f(OM,PG) ＝ eq \f(y,y＋\f(2y,3)) ＝ eq \f(3,5) ，∴ eq \f(PF,OF) ＝ eq \f(5,3) ，∴ eq \f(OP,OF) ＝ eq \f(2,3) . 综上所述， eq \f(OP,OF) 的值为 eq \f(8,3) 或 eq \f(2,3) . 1.[2024江苏扬州]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为________cm. 2．[2023山东潍坊]在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知AC＝20 m，CE＝10 m，CD＝7 m，EF＝1.4 m，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为________m. 3．[2024山东滨州](1)如图1，△ABC中，点D，E，F分别在三边BC，CA，AB上，且满足DF∥AC，DE∥AB. ①求证：四边形AFDE为平行四边形； ②若 eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(BD,DC) ，求证：四边形AFDE为菱形． (2)把一块三角形余料MNH(如图2所示)加工成菱形零件，使它的一个顶点与△MNH的顶点M重合，另外三个顶点分别在三边MN，NH，HM上，请在图2上作出这个菱形．(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 图 2 (1)证明：①∵DF∥AC，DE∥AB，点D，E，F分别在三边BC，CA，AB上， ∴DF∥AE，DE∥AF，∴四边形AFDE为平行四边形． ②延长BA到点G，使得AG＝AC，连接AD，CG，如图1所示，则∠G＝∠ACG. ∵ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(BD,DC) ，∴ eq \f(AB,AG) ＝ eq \f(BD,DC) ，∴ eq \f(AB,GB) ＝ eq \f(BD,BC) . ∵∠ABD＝∠GBC，∴△BAD∽△BGC，∴∠BAD＝∠G，∴AD∥GC，∴∠DAC＝∠ACG. ∵∠G＝∠ACG，∴∠BAD＝∠DAC. 又∵AB∥DE，∴∠BAD＝∠ADE，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE， 由①知，四边形AFDE为平行四边形， ∴四边形AFDE为菱形． 图 2 (2)解：如图2所示．四边形MGLO即为所求． 4．[2024四川自贡]为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m，据此可得旗杆高度为________m. (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5 m，小李到镜面距离EC＝2 m，镜面到旗杆的距离CB＝16 m．求旗杆高度． (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8 m，DG＝1.5 m．将观测点D后移24 m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2 m，D′G′＝2 m．求雕塑高度．(结果精确到1 m) 图 2(利用镜子) 　　图 4(找水平线) 图 3(利用标杆)　　 图 6(测雕塑高) 　 图 5(找定标高线)　 解：(1)11.3 (2)由题意可知，∠DCE＝∠ACB. 又∵∠DEC＝∠ABC＝90°， ∴△DEC∽△ABC，∴ eq \f(AB,DE) ＝ eq \f(BC,EC) ，即 eq \f(AB,1.5) ＝ eq \f(16,2) ，∴AB＝12 m. 答：旗杆高度为12 m. (3)∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝∠ABD＝90°， ∴△DCG∽△DAB，∴ eq \f(CG,AB) ＝ eq \f(DG,DB) . 设AB＝x m，BD＝y m，则 eq \f(1.8,x) ＝ eq \f(1.5,y) ，∴y＝ eq \f(5,6) x， 同理可得 eq \f(C′G′,AB) ＝ eq \f(D′G′,D′B) ，∴ eq \f(1.2,x) ＝ eq \f(2,24＋y) ，∴ eq \f(1.2,x) ＝ eq \f(2,24＋\f(5,6)x) ， 解得x＝28.8. 经检验，x＝28.8是原分式方程的解，且符合题意． ∴AB≈29 m. 答：雕塑高度约为29 m. 1.[2024山东菏泽模拟]如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是(　　) A．1.5 B．6 C．9 D．12 2.[2024山东菏泽模拟]如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O的坐标为(0，0)，顶点B的坐标为(6，4)，若矩形OA′B′C′与矩形OABC关于原点O位似，且矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的 eq \f(1,2) ，则点B′的坐标为(　　) A．(3，2) 　　　　 B．(－3，－2) C．(3，2)或(－3，6) 　 D．(3，2)或(－3，－2) 3．[2024山东临沂模拟]如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________cm. 4．[2024山西模拟]在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，△ABC与△A′B′C′的顶点都在正方形网格的格点上，且△ABC与△A′B′C′为位似图形，则位似中心的坐标为________． 5．[2024山东日照模拟]黄金分割比是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比(如图1)，即 eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(BC,AC) ，其比值为 eq \f(\r(5)－1,2) .如图2，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，点M是∠ABO的平分线与半径OA的交点．若OA＝4，则正十边形边长AB＝_______________． 图 2 2 eq \r(5) －2 6．[2024广东广州模拟]在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，以AC为边作△ACD，使得∠ACD＝90°，如果△ABC与△ACD相似，那么CD的长为________． eq \f(15,4) 或 eq \f(20,3) 解析：∵∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，∴AB＝ eq \r(AC2－BC2) ＝ eq \r(52－42) ＝3. 分情况讨论： (1)当 eq \f(AC,CB) ＝ eq \f(CD,BA) 时，△ACD∽△CBA，∴ eq \f(5,4) ＝ eq \f(CD,3) ，∴CD＝ eq \f(15,4) . (2)当 eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(CD,BC) 时，△ACD∽△ABC， ∴ eq \f(5,3) ＝ eq \f(CD,4) ，∴CD＝ eq \f(20,3) . 综上所述，CD的长为 eq \f(15,4) 或 eq \f(20,3) . 7．[2024安徽合肥模拟]二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短)，奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为80 cm，求“千斤”下面一截琴弦长为_____________cm.(结果保留根号) (40 eq \r(5) －40) 8．[2024湖南湘潭模拟]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高． (1)证明：△ABD∽△CBA； (2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长． (1)证明：∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC. 又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA. (2)解：由(1)知，△ABD∽△CBA， ∴ eq \f(BD,BA) ＝ eq \f(BA,BC) ，∴ eq \f(BD,6) ＝ eq \f(6,10) ，∴BD＝3.6. 9.[2024山东潍坊模拟]如图所示，先立一根长为6尺的标杆A1B1，量得影长B1C1＝4尺，在同一时间将塔影BC所到之处作一记号．在同一时刻量得标杆影长B1D1＝5尺，塔影比先前所记C处长CD＝8尺，则塔高AB＝________尺． 10．[2024河南邓州模拟]在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体，如图，有一圆形石块，要使其滚动，杠杆的端点C必须向上翘起5 cm，若杠杆AC的长度为120 cm，其中BC段的长度为20 cm，则要使该石块滚动，杠杆的另一端点A必须向下压________cm. 11.[2024浙江宁波模拟]如图1，“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输交通工具，在农村发展，甚至城市建设过程中，曾发挥过重要的作用．如图2是板车侧面部分的示意图．AB是车轮⊙O的直径，当过圆心O的车架AC的端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD. (1)求证：∠ADC＝∠DBC； (2)若CD＝2 eq \r(3) ，CB＝2，求车轮的半径长． 图 2 (1)证明：如图，连接OD. ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠OBD＝90°. ∵CD与⊙O相切于点D，∴CD⊥OD， ∴∠ODC＝90°，∴∠CDB＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠CDB. 又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDB，∴∠ADC＝∠DBC. (2)解：∵△CAD∽△CDB，CD＝2 eq \r(3) ，CB＝2， ∴ eq \f(AC,DC) ＝ eq \f(CD,CB) ＝ eq \f(2\r(3),2) ＝ eq \r(3) ，∴AC＝ eq \r(3) DC＝ eq \r(3) ×2 eq \r(3) ＝6， ∴AB＝AC－CB＝6－2＝4，∴车轮的半径长为2. 12.[2024福建泉州模拟]在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线AO，其传播方向不变，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后通过焦点F′，凸透镜的两侧各有一个焦点F和F′，焦点到光心的距离称为焦距，记为f. 【模型验证】如图2，平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后与光线AO的交点为点A′，过点A′作主光轴MN的垂线A′B′，垂足为B′，即可得出物体AB所成的像A′B′. 已知OB＝u，OB′＝v，OF′＝f，AB＝h1，A′B′＝h2，当f＜u＜2f时，求证： eq \f(1,u) ＋ eq \f(1,v) ＝ eq \f(1,f) . 证明：∵A′B′⊥MN，AB⊥MN， ∴A′B′∥AB，∴△AOB∽△A′OB′， ∴ eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(OB,OB′) ，即 eq \f(h1,h2) ＝ eq \f(u,v) ， 同理可得△COF′∽△A′B′F′， ∴ eq \f(CO,A′B′) ＝ eq \f(OF′,B′F′) ，即 eq \f(h1,h2) ＝①________， ∴ eq \f(u,v) ＝②________，∴uv－uf＝vf， ∴ eq \f(1,f) － eq \f(1,v) ＝ eq \f(1,u) ，即 eq \f(1,u) ＋ eq \f(1,v) ＝ eq \f(1,f) . 请结合上述材料，解决以下问题： (1)在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是________； (2)请补充上述证明过程中①②所缺的内容；(用含v，f的代数式表示) (3)如图3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC并交边BC于点D，设AD＝n，求 eq \f(1,AB) ＋ eq \f(1,AC) 的值．(用含n的代数式表示) 图 3 图 2　 解：(1)相似三角形对应边成比例 (2)① eq \f(f,v－f) 　② eq \f(f,v－f) (3)如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点E作EF⊥AD于点F. ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝30°. ∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠CAD，∴∠BAD＝∠ADE＝30°，∴DE＝AE. ∵EF⊥AD，∴AF＝DF＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(1,2) n. 在Rt△AEF中， eq \f(AF,AE) ＝cos ∠EAF＝cos 30°＝ eq \f(\r(3),2) ，∴AE＝ eq \f(AF,\f(\r(3),2)) ＝ eq \f(\r(3),3) n. ∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA， ∴ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(ED,EB) ＝ eq \f(ED,AB－AE) ＝ eq \f(AE,AB－AE) ， ∴AC·AE＋AB·AE＝AC·AB，∴ eq \f(1,AB) ＋ eq \f(1,AC) ＝ eq \f(1,AE) ＝ eq \f(\r(3),n) . 13．[2024山东聊城模拟]综合与实践 【问题情境】 为了研究四边形中与中点有关的“手拉手模型”问题，老师给数学社团的学生准备了一张印有四边形ABCD的纸片，E，F分别是线段AB和CD的中点，如图1. 【探究实践】 老师引导同学们用三角尺分别过点E，F作线段AB和CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG，DG，BG，CG，EF. 老师引导同学们探究：由于四边形的不稳定性，点的位置也在发生变化，在变化的过程中能有哪些发现呢？ 经过思考和讨论，大刚和小莹给同学们分享了自己的发现． 如图2，大刚发现：“当图形满足∠AGD＝∠BGC时，AD＝BC.” 如图2，小莹发现：“当图形满足条件∠AGD＝∠BGC时，△AGD∽△EGF.” (1)老师肯定了两人结论的正确性，请你说明两人结论成立的理由． 【拓展应用】 (2)如图3，小明在大刚和小莹发现的基础上，经过进一步思考发现：“若AD，BC所在的直线互相垂直，且EF＝ eq \r(2) 就能求出AD的值．”老师也肯定了小明结论的正确性，请你帮小明求出AD的值． 图 3 图 2 解：(1)理由如下： 大刚：∵EG，FG分别垂直平分线段AB，CD，∴AG＝BG，DG＝CG. 又∵∠AGD＝∠BGC，∴△ADG≌△BCG(SAS)，∴AD＝BC. 小莹：∵∠AGD＝∠BGC， ∴∠AGD＋∠BGD＝∠BGC＋∠BGD，∴∠AGB＝∠DGC. ∵AG＝BG，DG＝CG，∴ eq \f(AG,DG) ＝ eq \f(BG,CG) ，∴△AGB∽△DGC. ∵EG，FG分别是△AGB与△DGC的高，∴ eq \f(EG,FG) ＝ eq \f(AG,DG) . ∵EG，FG也分别是△AGB与△DGC的角平分线， ∴∠AGE＝ eq \f(1,2) ∠AGB，∠DGF＝ eq \f(1,2) ∠DGC， ∴∠AGE＝∠DGF， ∴∠AGE－∠DGE＝∠DGF－∠DGE， ∴∠AGD＝∠EGF， ∵ eq \f(EG,AG) ＝ eq \f(FG,DG) ，∴△AGD∽△EGF. (2)如图，延长AD，BC交于点H，AH交BG于点O，则∠AHB＝90°. ∵△ADG≌△BCG，∴∠GAD＝∠GBC. 又∵∠AOG＝∠BOH，∴△AOG∽△BOH， ∴∠AGB＝∠AHB＝90°， ∴△ABG是等腰直角三角形，∴∠GAB＝45°， ∴AG＝ eq \f(GE,sin ∠GAB) ＝ eq \f(GE,sin 45°) ＝ eq \r(2) GE. ∵△AGD∽△EGF，∴ eq \f(AD,EF) ＝ eq \f(AG,EG) . ∵EF＝ eq \r(2) ，∴ eq \f(AD,\r(2)) ＝ eq \r(2) ，∴AD＝2. 14．[2024福建漳州模拟]在数学活动课中，老师组织学生开展“如何通过折纸的方法，确定矩形纸片长边上的一个三等分点”的探究活动． 【操作探究】 “求知”小组经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作，如图1. 第1步：先将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，展开铺平，折痕为BD； 第2步：将边AD以某一合适长度向右翻折3次，折痕IJ与BD交于点K； 第3步：过点K折叠矩形纸片，使折痕LM∥AB，LM交EF于点N； 第4步：延长DN交边AB于点P，则点P为边AB的三等分点． 证明过程如下： 由题意，得LN＝ eq \f(1,3) LK. ∵LM∥AB， ∴∠DLN＝∠A，∠DNL＝∠DPA. ∴①________． ∴ eq \f(DL,DA) ＝ eq \f(LN,AP) .同理，得 eq \f(DL,DA) ＝ eq \f(LK,AB) . ∴②________． ∴ eq \f(AP,AB) ＝ eq \f(LN,LK) ＝ eq \f(1,3) .则点P为边AB的三等分点． 励志小组的操作如下，如图2. 第1步：先将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，展开铺平，折痕为BD； 第2步：再将矩形纸片对折，使点A和点B重合，展开铺平，折痕为EF； 第3步：沿CE折叠矩形纸片，折痕CE交BD于点G； 第4步：过点G折叠矩形纸片，使折痕MN∥AD. 【过程思考】 (1)补全求知小组证明过程中①②所缺的内容． (2)励志小组经过上述操作，认为点M为边AB的三等分点．请你判断励志小组的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，将矩形纸片ABCD对折，使点A和点B重合，展开铺平，折痕为EF，将边BC沿CE翻折到GC的位置，过点G折叠矩形纸片，使折痕MN∥AD，若点M为边AB的三等分点，求 eq \f(AB,BC) 的值． 图 3 图 2 解：(1)①△DLN∽△DAP　② eq \f(LN,AP) ＝ eq \f(LK,AB) (2)励志小组的结论正确．理由如下： 在矩形ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD. 由折叠，得点E是边AB的中点，点F是边CD的中点，∴EB＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) DC. ∵AB∥CD，∴∠EBG＝∠CDG，∠BEG＝∠DCG， ∴△EBG∽△CDG，∴ eq \f(EB,CD) ＝ eq \f(BG,DG) ＝ eq \f(1,2) . ∵MN∥AD，∴∠BMG＝∠BAD，∠BGM＝∠BDA， ∴△BMG∽△BAD，∴ eq \f(MB,AB) ＝ eq \f(BG,BD) ＝ eq \f(1,3) ， ∴点M为边AB的三等分点． (3)由折叠，得AE＝BE. ∵点M为边AB 的三等分点，∴AM＝ eq \f(1,3) AB. 设AM＝a，则AB＝3a，BE＝ eq \f(3,2) a，MB＝2a，ME＝ eq \f(1,2) a. 由折叠的性质，得△CBE≌△CGE， ∴EG＝EB＝ eq \f(3,2) a，CG＝CB. ∵MN∥AD，∴∠BMG＝∠A＝∠B＝90°. ∵∠BCN＝90°，∴四边形MBCN是矩形， ∴MN＝BC，CN＝MB＝2a. 在Rt△MEG中，由勾股定理，得 MG＝ eq \r(EG2－ME2) ＝ eq \r(（\f(3,2)a）2－（\f(1,2)a）2) ＝ eq \r(2) a. 设BC＝x，则GN＝x－ eq \r(2) a. ∵∠MGE＋∠MEG＝90°，∠MGE＋∠CGN＝90°，∴∠MEG＝∠CGN. ∵∠EMG＝∠GNC＝90°，∴△EMG∽△GNC， ∴ eq \f(EG,GC) ＝ eq \f(EM,GN) ，∴ eq \f(\f(3,2)a,x) ＝ eq \f(\f(1,2)a,x－\r(2)a) ，解得x＝ eq \f(3\r(2),2) a， ∴ eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(3a,\f(3\r(2),2)a) ＝ eq \r(2) . $$