精品解析：广东省东莞市可园中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024－2025学年第一学期期末质量自查 初三年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 2. 关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数解， ∴ 解得： 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 3. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】解：∵， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，， ∴函数图象的对称轴为直线， 故选：A． 4. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 5. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第二、第四象限 C. 当 时，随增大而增大 D. 当 时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，图像与点的关系，逐一判断即可． 【详解】∵反比例函数， ∴xy= -5， ∵1×（-5）=-5； ∴图象经过点， ∴选项A正确； ∵k= -5＜0， ∴图象分布在二、四象限， ∴选项B正确； ∵k= -5＜0， ∴图象分布在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵当 时，图像分布在第二象限， ∴随的增大而增大 ∴选项C正确； ∵当0＞ 时，；当 时，， ∴选项D错误； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，性质，熟记图像分布与性质是解题的关键． 6. 已知二次函数，其中，则该二次函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的判断，根据可得出抛物线开口向下，再根据，可得出对称轴在y轴左侧．再根据可得出抛物线交y轴的正半轴，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴直线， ∴对称轴在y轴左侧． ∵， ∴抛物线交y轴的正半轴， 故选：B． 7. 如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求旋转角，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据点C、A、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵点C、A、在同一条直线上， ∴ ∵， ∴． ∴旋转角等于． 故选：C． 8. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，要设计一座高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设下部应设计为，表示出上部长为，然后根据题意列出方程． 【详解】解：设下部应设计为，则上部的长度为， 根据题意得，， 整理得． 故选：A． 10. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，过点作于点，根据解直角三角形求得，从而求得，最后根据列式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 12. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 13. 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴，即， 故答案为：． 14. 如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，则，得出，则四边形是菱形，得出，，由，即可得出结论． 【详解】设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了正多边形和圆、菱形的判定与性质等知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键． 15. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为________________． 【答案】，或， 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．当与轴相切时，点的纵坐标是2或，把点的坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标． 【详解】依题意，可设或． ①当的坐标是时，将其代入，得 ， 解得， 此时，或，； ②当的坐标是时，将其代入，得 ，即，此时无解． 综上所述，符合条件的点的坐标是，或，； 故答案为：，或，． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法求解即可．能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法． 【详解】解：，即， 则，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）将绕原点按逆时针方向旋转得； （2）求点在（1）中经过的路径长． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，弧长公式，熟练掌握利用关键点进行旋转作图是解题的关键． （1）分别将，，绕点按逆时针方向旋转得到，，，再分别连接，，即可； （2）可知点到点的路径为以为圆心，长为半径，圆心角为的弧，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，，， 分别将，，绕点按逆时针方向旋转得到，，， 再分别连接，，即可； 【小问2详解】 解：如图，可知点到点的路径为以为圆心，长为半径，圆心角为的弧， 则点经过的路径长． 18. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回、再随机摸出一个小球．求下列事件的概率： （1）第一次取出标号为3的小球； （2）两次取出的小球标号的和小于5． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表，再利用概率公式即可求解； 【小问1详解】 解：共有4个小球，第一次取出标号为3的小球的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有16种等可能结果，其中两次取出的小球标号的和小于5，有种， ∴两次取出的小球标号的和小于5的概率为． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，若，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可； （2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式：． 【小问2详解】 解：∵轴于点D，， ∴， ∴将代入得， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点E、D，垂直于F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质． （1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由30度直角三角形的性质的性质得，再证得，再利用30度直角三角形的性质得，再由可得答案． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴，， 又∵， ∴， 如图所示，连接， ∴， 又∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴在中，， 在中，， ∴． 21. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为； （2）①收纳盒的高为厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 【小问2详解】 ①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ②∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解； （3）连接，根据矩形的性质结合勾股定理即可求解． 详解】解：（1）如图① 四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为； （2）解：如图②，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为； （3）解：的值为， 如图③， 连接， 由矩形旋转可知：，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 则可证：， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， 则的值为． 【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 23. 【问题背景】 如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点． 【知识技能】 （1）求点、的坐标及抛物线的解析式； 【构建联系】 （2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于． ①求线段的最大值； ②当t取何值时，的面积为． 【深入探究】 （3）在（2）②的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标． 【答案】（1）；（2）①当时，有最大值②；（）点坐标为，或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、锐角三角函数、平行四边形，解题的关键是求出函数的解析式，利用数形结合的思想求解． （1）首先求得、点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式． （2）①求得线段的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段的最大值； ②根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解． （3）明确点的可能位置有三种情形，其中、在轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；点在第一象限，是直线和的交点，利用直线解析式求得交点坐标． 【详解】解：（1）分别交轴、轴于、两点， 当时，；当时，， 、点的坐标为：，，代入得， 解得： 抛物线解析式为：． （2）①如图1， 设交轴于点，则，． ， ． 又点在抛物线上，且， ． ． 当时，有最大值． ②如图所示，连接 的面积为． 解得： （3）由（2）可知， 则，． 如图2， 以、、、为顶点作平行四边形，点的可能位置有三种情形． ①当在轴上时，设的坐标为， 由，得，解得，， 从而为或． ②当不在轴上时，由图可知为与的交点， 设直线的解析式为，代入， ， 解得：； 直线的解析式为 设直线解析式为，代入， ， 解得：； 的解析式为． 由两方程联立 解得 为． 综上所述，所求的点坐标为，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期期末质量自查 初三年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，下列坐标系中的数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第二、第四象限 C. 当 时，随增大而增大 D. 当 时， 6. 已知二次函数，其中，则该二次函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将（其中，）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，要设计一座高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____． 12. 若点与点关于原点对称，则____________． 13. 杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________． 14. 如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为_____． 15. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为________________． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）将绕原点按逆时针方向旋转得； （2）求点在（1）中经过的路径长． 18. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回、再随机摸出一个小球．求下列事件的概率： （1）第一次取出标号为3小球； （2）两次取出的小球标号的和小于5． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，若，求的面积． 20. 如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点E、D，垂直于F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 21. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 五、解答题三（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，． 【知识技能】 （1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； 【数学理解】 （2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； 【拓展探索】 （3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求值． 23. 问题背景】 如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点． 【知识技能】 （1）求点、的坐标及抛物线的解析式； 【构建联系】 （2）作垂直轴直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于． ①求线段的最大值； ②当t取何值时，的面积为． 【深入探究】 （3）在（2）②的情况下，以、、、为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $