专题06 二次根式易错必刷题型专训（63题21个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题06 二次根式易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 二次根式的基本概念】 1．（24-25九年级上·海南海口·期末）下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 3．（24-25八年级下·全国·假期作业）判断下列式子，哪些是二次根式？ (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【易错必刷二 求二次根式的值】 1．（20-21八年级下·浙江绍兴·期末）当时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．2 C． D．0 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）当时，二次根式的值为 ． 3．（19-20七年级上·浙江宁波·期中）当a＝2，b＝1.5时，求下列代数式的值． （1）a2+2ab+b2 （2）+ab+1． 【易错必刷三 求二次根式中的参数】 1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 3．（20-21九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若实数满足，求的平方根． 【易错必刷四 二次根式有意义的条件】1．（24-25九年级上·河南南阳·期中）若 在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A．     B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ； 3．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知满足等式． (1)求出的值分别是多少？ (2)试求的值． 【易错必刷五 利用二次根式的性质化简】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）化简二次根式的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知，则x的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数a满足，化简：． 【易错必刷六 根据二次根式的性质化简数轴问题】 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简，的结果是（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 ． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 【易错必刷七 复合二次根式的化简】 1．（21-22八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·全国·单元测试）设的整数部分为，小数部分为， . 3．（2021九年级·全国·专题练习）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 【易错必刷八 二次根式的乘法计算】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期中）（1）计算：______，______，______，______． （2）请按（1）中的规律计算： ①； ②． （3）已知，用含a，b的式子表示． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）化简． (1)． (2)（）． (3) 【易错必刷九 二次根式的除法计算】 1．（22-23八年级上·上海·阶段练习）化简：（其中）． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（20-21八年级下·全国·课后作业）计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【易错必刷十 二次根式的乘除法混合运算】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）计算：． 【易错必刷十一 最简二次根式相关概念】 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下列各式①；②；③；④；⑤．其中一定是最简二次根式的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．4 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若二次根式为最简二次根式，则最小的正整数为 ． 3．（24-25八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【易错必刷十三 同类二次根式】 1．（23-24八年级上·上海·期末）下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·海南海口·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【易错必刷十四 二次根式的加减运算】 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）计算 (1) (2) 【易错必刷十五 二次根式的混合运算】 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算： (1) (2) 2．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25九年级上·重庆·期末）计算： (1)； (2) 【易错必刷十六 分母有理化】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期末）化简： ． 3．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【易错必刷十七 已知字母的值化简求值】 1．（24-25八年级上·湖南常德·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 3．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【易错必刷十八 已知条件式化简求值】 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，求的值． 2．（22-23八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知，求的值． 3．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2) 【易错必刷十八 比较二次根式的大小】 1．（24-25八年级上·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 【易错必刷二十 二次根式的应用】 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和5． (1)大正方形的边长是________，小正方形的边长是________； (2)求图中阴影部分的周长． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地，为，为，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为． (1)求长方形的周长； (2)图中的空白部分另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间______s； (2)若物体从高空落到地面的时间为，则从高空落到地面的高度______m； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中会伤害到楼下的行人吗?（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【易错必刷二十一 二次根式的新定义计算】 1．（22-23八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝．如：1※2．求（－2）※值． 2．（20-21八年级下·福建厦门·期中）定义：若（m+2）2＝n，则称m是n的“伴生数”．设m＝，n＝，判断m是不是n的“伴生数”，并说明理由． 3．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式． (1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ； (2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次根式易错必刷题型专训（63题21个考点） 【易错必刷一 二次根式的基本概念】 1．（24-25九年级上·海南海口·期末）下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、是开三次方，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【答案】③④⑥ 【分析】本题考查了二次根式的识别，形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可． 【详解】解：，中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式； 故答案为：③④⑥． 3．（24-25八年级下·全国·假期作业）判断下列式子，哪些是二次根式？ (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)是 (6)不是 【分析】根据二次根式的定义直接判断即可以得出答案． 【详解】（1）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数， >0， ∴是二次根式； （2）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，∵-3<0； ∴不是二次根式． （3）解：∵x2≥0， ∴x2+1>0， 又∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数， ∴是二次根式． （4）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，的根指数是3， ∴不是二次根式． （5）解：∵二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数，， ∴是二次根式 （6）解：∵当x>2时，2-x<0，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数， ∴不是二次根式． 【点睛】此题的主要考查了二次根式的知识，解题的关键就是理解二次根式的意义，二次根式需要具备两个条件:一是形式如“”；二是所含被开方数是非负数． 【易错必刷二 求二次根式的值】 1．（20-21八年级下·浙江绍兴·期末）当时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的求值．将代入代数式求值即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：2． 3．（19-20七年级上·浙江宁波·期中）当a＝2，b＝1.5时，求下列代数式的值． （1）a2+2ab+b2 （2）+ab+1． 【答案】（1）12.25；（2）7； 【分析】（1）把a，b的值代入算式计算即可求出值； （2）把a，b的值代入算式计算即可求出值． 【详解】解：（1）当a＝2，b＝1.5时，原式＝22+2×2×1.5+1.52＝12.25； （2）当a＝2，b＝1.5时，原式＝+2×1.5+1＝7． 【点睛】本题考查代数式求值、二次根式和平方运算，熟练掌握二次根式和平方的运算是解本题的关键． 【易错必刷三 求二次根式中的参数】 1．（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【详解】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 3．（20-21九年级上·湖南衡阳·阶段练习）若实数满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入上式得， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b的值是关键． 【易错必刷四 二次根式有意义的条件】 1．（24-25九年级上·河南南阳·期中）若 在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A．     B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数和分式有意义的条件：分母，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意可知： 解得： 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，不等式的解法，解题的关键是熟练掌握以上知识．根据分母不为零，被开方数大于等于零，列不等式，解答即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知满足等式． (1)求出的值分别是多少？ (2)试求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式和二次根式有意义的条件： （1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出a的值，进而求出b的值即可； （2）根据（1）所求，代值计算即可． 【详解】（1）解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴ ． 【易错必刷五 利用二次根式的性质化简】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）化简二次根式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据有意义的条件可得，则有，再根据二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简和解一元一次不等式，能根据二次根式的性质得出是解此题的关键．根据二次根式的性质得出，再求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 解得． x的取值范围是． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知实数a满足，化简：． 【答案】7 【分析】首先解不等式，然后根据公式，化简即可．本题考查二次根式的化简、不等式的性质，绝对值的简等知识，记住，属于基础题，中考常考题型． 【详解】解：， ∴ ， 原式 ． 【易错必刷六 根据二次根式的性质化简数轴问题】 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简，的结果是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， 则 ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质，根据二次根式的性质化简等知识，正确判断a、b、c的大小关系是解题的关键．根据数轴可得：，且，即可化简求出结果． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， ， 则原式 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 【答案】(1)①4，；② (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算,实数与数轴以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出； （2）先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简， 合并后即可得出结果． 【详解】（1）解：依题意①； ； 探究：对于任意非负有理数，． 故答案为：4，； ②； 探究：对于任意负有理数，． 综上，对于任意有理数，． 故答案为：2，3，，； （2）解：观察数轴可知：，，，． ． 【易错必刷七 复合二次根式的化简】 1．（21-22八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 2．（20-21八年级上·全国·单元测试）设的整数部分为，小数部分为， . 【答案】 【分析】根据分母有理化进行化简,然后判断出整数部分和小数部分,相乘解出即可. 【详解】∵,,∴,∴,∴,,∴. 【点睛】本题考查分式的有理化,熟悉定义是本题关键. 3．（2021九年级·全国·专题练习）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 【答案】（1），；（2）； 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题． （2）模仿例题解决问题即可． 【详解】解：（1）根据题目意思， ∵和, 点的“横负纵变点”为， 点的“横负纵变点”为， 故答案为：，； （2）∵2+5=7,2×5=10, ∴； 【点睛】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型． 【易错必刷八 二次根式的乘法计算】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)12； (2)36． 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． （1）将化简为再计算即可； （2）将化简为再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期中）（1）计算：______，______，______，______． （2）请按（1）中的规律计算： ①； ②． （3）已知，用含a，b的式子表示． 【答案】（1）12，12，20，20（2）①12，②4（5） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，以及算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出每个算术平方根，再运算乘法，即可作答． （2）按（1）中的规律，进行运算，即可作答． （3）因为，所以，因为，所以含a，b的式子表示，即可作答． 【详解】解：（1）， ， ； 故答案为：12，12，20，20； （2）； ； （3）∵， ∴ 即 ∴． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）化简． (1)． (2)（）． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简及乘法运算， （1）根据二次根式性质化简即可； （2）利用二次根式的乘法法则计算，化为最简即可得到结果； （3）原式各项利用二次根式的乘法法则计算，化为最简即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）∵， ∴； （3）． 【易错必刷九 二次根式的除法计算】 1．（22-23八年级上·上海·阶段练习）化简：（其中）． 【答案】 【分析】将除法转化为乘法，再利用二次根式的乘除法则计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握运算法则，从而正确化简算式． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 3．（20-21八年级下·全国·课后作业）计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4） 【分析】分别利用二次根式的除法法则以及二次根式的性质计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则以及二次根式的性质． 【易错必刷十 二次根式的乘除法混合运算】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算．掌握相应的运算法则、运算顺序及性质是解题的关键． 【详解】解： ． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 3．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解： 【易错必刷十一 最简二次根式相关概念】 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）下列各式①；②；③；④；⑤．其中一定是最简二次根式的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题考查最简二次根式，熟记最简二次根式满足的条件即可正确解题． 根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可． 【详解】解：①；②=；③=；④是最简二次根式；⑤是最简二次根式． 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是，； (2)是； (3)不是，． 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． （1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可； （2）根据定义判断是最简二次根式； （3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，； （2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式． （3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式， ． 【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．4 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义判断即可； 【详解】由题意得：3m﹣1=2， 解得：m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，准确计算是解题的关键． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若二次根式为最简二次根式，则最小的正整数为 ． 【答案】2 3．（24-25八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 【易错必刷十三 同类二次根式】 1．（23-24八年级上·上海·期末）下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·海南海口·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“同类二次根式的定义”是解本题的关键． 把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得：． 故答案为：3． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查同类二次根式，根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个最简二次根式为同类二次根式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 【易错必刷十四 二次根式的加减运算】 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算， （1）先把每个二次根式化简，再进行加减计算即可； （2）先把每个二次根式化简，最后再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加减运算，熟练掌握二次根式化简是解题的关键． 先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算及立方根，熟练掌握二次根式的加减运算及立方根是解题的关键． （1）化为最简二次根式即可进行求解． （2）根据二次根式的加减运算及立方根和绝对值可进行求解． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【易错必刷十五 二次根式的混合运算】 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）先化简二次根式和计算立方根，再进行合并即可； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据乘方，二次根式，立方根的计算方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25九年级上·重庆·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先根据完全平方公式及平方差公式进行计算，再化为最简二次根式，最后计算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷十六 分母有理化】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，先根据二次根式的性质化简，然后分母有理化即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．（24-25八年级上·上海·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．分母分子同乘以，计算二次根式的乘法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 【易错必刷十七 已知字母的值化简求值】 1．（24-25八年级上·湖南常德·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据，根据二次根式混合运算法则进行计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 【答案】(1)16 (2)4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用； （1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可； （2）原式化为，再整体代入即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； （2）解：． 3．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与求值，注意利用因式分解，是使得问题能得以简算的关键． （1）先计算、和的值，将原式分解因式，再整体代入计算即可； （2）将原式分解因式，再将和的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，， ∴； （2）解： ． 【易错必刷十八 已知条件式化简求值】 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为负数， ∴ ． 2．（22-23八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的值，进而得到y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：，即， ， 当时，， 将，代入， ． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、求二次根式的值、解一元一次不等式组，熟记二次根式有意义的条件并正确求一元一次不等式组的解集是解题的关键． 3．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）已知，求下列式子的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件式得出，然后根据完全平方公式变形求值即可求解； （2）将，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关键． 【易错必刷十八 比较二次根式的大小】 1．（24-25八年级上·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【答案】A 【分析】将分别化成，再进行比较即可． 【详解】且 即 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法． 2．（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小； （2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 【易错必刷二十 二次根式的应用】 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和5． (1)大正方形的边长是________，小正方形的边长是________； (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)3，； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算的应用，明确题意，求出大小正方形的边长是解题的关键． （1）根据题意可得小正方形边长为 ，大正方形边长为3，即可求解； （2）根据大小正方形的边长为和3，列式即可求解． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为9，小正方形的面积为5， ∴大正方形边长为 ，小正方形边长为 ， 故答案为：3，； （2）解：∵大正方形边长为 ，小正方形边长为 ， ∴阴影部分的周长 ． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地，为，为，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为． (1)求长方形的周长； (2)图中的空白部分另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 【答案】(1)长方形的周长是 (2)定期维护的总费用为2360元 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质，二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据长方形周长公式，列出算式，进行计算即可； （2）求出空白部分的面积，然后乘以40，求出结果即可． 【详解】（1）解：长方形的周长为： ， 答：长方形的周长是； （2）定期维护的总费用为： （元）． 答：定期维护的总费用为2360元． 3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间______s； (2)若物体从高空落到地面的时间为，则从高空落到地面的高度______m； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中会伤害到楼下的行人吗?（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)45 (3)会伤害到楼下的行人 【分析】（1）把代入公式即可， （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论． （3）求出，代入能量计算公式即可求出． 本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：当时，， ； 故答案为：45； （3）解：当时，，， 鸡蛋产生的能量． 故此时鸡蛋都能砸伤人，会伤害到楼下的行人． 【易错必刷二十一 二次根式的新定义计算】 1．（22-23八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝．如：1※2．求（－2）※值． 【答案】 【分析】根据新定义的运算代入求解即可得出结果． 【详解】解：∵m※n＝， ∴（－2）※ ． 【点睛】题目主要考查新定义的实数运算及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 2．（20-21八年级下·福建厦门·期中）定义：若（m+2）2＝n，则称m是n的“伴生数”．设m＝，n＝，判断m是不是n的“伴生数”，并说明理由． 【答案】m不是n的“伴生数”，理由见解析 【分析】利用二次根式的性质分别计算 和 ，再比较大小，即可求解． 【详解】解：m不是n的“伴生数”，理由如下： ∵m＝， ∴ ， 又n＝ ∵ ， ∴ ， ∴m不是n的“伴生数”． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式． (1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ； (2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】根据“黔一相依”多项式列方程组可得结论； 先计算对应，，，，可得，，从而得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，解得， 的“黔一相依”多项式为， 故答案为：； （2）证明：当时，， ， ， 若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式． 【点睛】本题考查了对新定义：“黔一相依”多项式的理解和掌握，二次根式的化简等知识，解决本题的关键是理解“黔一相依”多项式的定义． 学科网（北京）股份有限公司 $$