精品解析：重庆市长寿区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

长寿区2024年秋期初中期末质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm签字笔书写． 4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，关键是首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A．，最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； C．，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意； D．是一元二次方程，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 以下四个交通标志，其中是中心对称图形（不含下方的文字注释）的是（ ） A. 直行 B. 掉头 C. 十字路口 D. 环形车道 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，熟知定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此逐项判断可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 故选：C． 3. 如图，点，，都在上，且点在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直接利用同弧所对圆周角是圆心角的一半即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由圆周角定理可得：， 故选：． 4. 康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念，理解随机事件的概念是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念即可解答． 【详解】解：∵经过有交通信号灯的路口，可能遇见绿灯，可能遇见红灯，可能遇见黄灯， ∴经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件． 故选A． 5. 如图，半圆的直径，为圆心，过点作，交弦于点，交半圆于点，且点为的中点，则弦的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，线段中点的特点，连接，根据题意得到，利用线段中点的特点得到，利用勾股定理求出，再结合垂径定理，即可得到弦的长． 【详解】解：连接， 半圆的直径， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， 故选：A． 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是轴 C. 函数有最小值 D. 当时，函数随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为y轴， 当时，函数有最大值，为； 当时，函数值随x的增大而减小． ∴四个选项中只有B选项的说法正确． 故选：B 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2. 故选：D． 8. 如图，这是一把2024年长寿区冬季运动会开幕式中一个表演节目的道具．它是以A为圆心，，为半径的扇形，其展开后夹角为，若的长为，扇面的长为，则展开后的扇面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转化为已学图形的面积是解决本题的关键．根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积． 【详解】解：，， ， ． 故选：C． 9. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，与坐标轴的交点个数和位置，对称轴的位置，以及抛物线上的点的特征，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，即：， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴；选项正确，不符合题意； B、由A知：， ∴，选项正确，不符合题意； C、抛物线经过点， ∴，即 ∴，选项错误，符合题意； D、抛物线关于直线对称， ∴的函数值等于的函数值，即：，选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数系数的关系．正确的识图，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 10. 依次排列的两个整式，，将第1个整式乘2再加上第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再加上第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再加上第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；…，以此类推，下列3个说法： ①第8个整式为； ②第7次操作后得到的整式的各项系数之和为； ③若，则第2024次操作完成后，所有整式之和为0． 其中正确的结论个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出整式各项系数之间的关系，找到系数和的规律是解题的关键．①按要求分别列出即可求解；②根据题意知第7次操作是第9个整式：，整式的各项系数之和为；③找到规律奇数次操作是，偶数次操作是，即可求解． 【详解】解：①第1个整式：， 第2个整式：， 第3个整式：， 第4个整式：， 第5个整式：， 第6个整式：， 第7个整式：， 第8个整式：，故①符合题意； ②根据题意知第7次操作是第9个整式：，整式的各项系数之和为，故②符合题意； ③， 第1次操作是第3个整式：， 第2次操作是第4个整式：， 第3次操作是第5个整式：， 第4次操作是第6个整式：， …… 奇数次操作是，偶数次操作是， 第2024次操作完成后，所有整式之和为0，故③符合题意； 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由的顶点坐标为，从而可得答案． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．掌握顶点式的特点是解题关键． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．直接把1代入进而方程，进而得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为1， ， 则的值为：． 故答案是：． 13. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝下次数 22 46 94 143 236 473 944 1413 2350 盖面朝下频率 0.440 0.460 0.470 0.477 0.472 0.473 0.472 0.471 0.470 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝下”的概率约为______．（精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，熟练掌握频率估计概率的知识是解答本题的关键，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝下”的概率接近， 故答案为：． 14. 一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的内角和是______． 【答案】##1080度 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的内角和与外角和．由一个多边形的每一个外角都是，可求得其边数，然后由多边形内角和定理，求得这个多边形的内角和． 【详解】解：一个多边形的每一个外角都是，多边形的外角和等于， 这个多边形的边数为：， 这个多边形内角和为：． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称问题及有理数的加法运算，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得，然后问题可求解． 【详解】解：由点关于原点对称的点的坐标是， ∴， ∴； 故答案． 16. 长寿柚在邻封镇有130多年的种植历史，因其味美又有营养，成为了长寿特产，享誉全国，为长寿经济的发展作出了贡献．2022年，长寿柚年产量为4300万个．近两年，政府加大扶持，传授科学种植，2024年又遇天公作美，长寿柚喜获大丰收，年产量达到6900万个，若设这两年平均增长率为，则可列一元二次方程表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可得：2022年的长寿柚年产量增长率年的长寿柚年产量，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设2022年与2024年这两年的平均增长率为x，由题意得： ． 故答案为：． 17. 如图，已知绕点顺时针方向旋转到，且点、、共线，交于点，若，时，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得到，因此，即可求解． 【详解】解：∵绕点A旋转得到， ∴， ∴ ． 故答案为：4 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，并满足，那么称这个四位数为“长寿数”，例如：四位数4128，，是“长寿数”；又如四位数7143，，不是“长寿数”，则最小的“长寿数”是______；已知“长寿数”（其中），将的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，若能被14整除，则满足条件的的最小值为______． 【答案】 ①. 2108 ②. 【解析】 【分析】本题考查列代数式以及数字变化类的问题，由于为“长寿数”，因为，所以，可得最小的“长寿数”；因为M可被14整除，则M可被2整除，可被7整除，可得或8或2，由题意得：，且，，，要使尽可能小，即，即 尽可能小，分类讨论即可． 【详解】解：∵为“长寿数”， ∴， ∵， ∴， ∴最小的“长寿数”是2108； 又∵M可被14整除， ∴M可被2整除，可被7整除， ∴或6或4或2， 由题意得：，且，，， ∵，， ∴， ， 要使尽可能小，即 尽可能小， ∴，此时，十位和百位数字相同，不合题意； ，此时，不能被14整除，不合题意； ，此时，符合题意， ∴，， ∴的最小值为：， 故答案为：2108；． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： 开方，得， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 20. 长寿区某校非常重视培养学生的语文核心素养，在学期中段开展了名著知识竞赛，为了解初三学生的名著阅读情况，随机抽查了初三甲、乙两班各20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩为整数），将成绩分为四个组进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分，其中：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 初三甲班20名学生的竞赛成绩为： 61，62，76，79，79，79，79，83，84，88，88，89，90，90，91，92，94，96，100，100． 初三乙班20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：82，86，86，86，87，88，89，89． 初三甲、乙两班所抽学生竞赛成绩统计表 班级 初三甲班 初三乙班 平均数 85 85 中位数 88 众数 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，扇形统计图中圆心角的度数是______； （2）根据以上数据分析，你认为该校初三甲、乙两班中哪个班级学生的名著知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校准备在甲、乙两班抽查的学生中，各挑选1名名著知识竞赛成绩优异（）的学生，进行读书心得分享，其中初三甲班成绩优异的两名学生是一名男生、一名女生，初三乙班成绩优异的三名学生是一名男生、两名女生，请用树状图或列表法求出挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率． 【答案】（1），， （2）甲班的学生竞赛成绩较好，理由见解析． （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数分布直方图、频数分布表的意义，理解中位数的意义、掌握中位数的求法是正确解答的前提． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据中位数和众数的意义求解即可； （3）根据树状图即可求恰好选到一名男生与一名女姓的概率． 【小问1详解】 解：初三甲班20名学生的竞赛成绩中，79分出现次数最多，共4次，所以，众数； 初三乙班所抽学生的竞赛成绩中，A组人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为8人，D组人数为：（人）， 最中间的是第10，11个成绩数，即86，87，所以，（分）； ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：甲班的学生竞赛成绩较好，理由如下： 甲、乙两班的平均数相同，但甲班成绩的中位数比乙班的大，所以甲班的学生竞赛成绩较好； 【小问3详解】 解：用Aa，Ab表示初三甲班的一名男生、一名女生，用Ba1，Ba2，Bb表示初三乙班的两名男生、一名女生， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生有3种情况， 所以，挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率为． 21. 学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． （1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹）； （2）求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ①______， ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且②______于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， （④______）（填推理的依据）， ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②垂直；③；④． 【解析】 【分析】本题考作查了过圆外一点作圆的切线，直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键在于根据题意作出图形． （1）根据作线段垂直平分线，以及题干中作图的步骤画图，即可解题； （2）连接，，根据直径所对的圆周角是直角得到，即可证明，是的切线，再结合圆的特点证明，即可证明． 【小问1详解】 解：根据题意可作图如下： 【小问2详解】 证明：连接，，如图． 为的直径， ①， ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且②垂直于这条半径的直线是圆的切线） 在和中，， （④）（填推理的依据）， ． 故答案为：①；②垂直；③；④． 22. 近年来，为了激发新消费潜力，拉动城市消费的新增长，长寿区“光合梦工厂”夜市在长寿时代中心逐渐盛行起来了．某文创产品的摊主从网商处购进、两种文创产品进行销售，其中款产品进价为每个30元，标价为每个45元；款产品进价为每个25元，标价为每个37元．（注：利润售价进价） （1）该摊主第一次用850元购进、两种文创产品共30个，求将这些产品全部按标价售出后的利润； （2）临近春节，该摊主打算将款文创产品进行降价销售，若按照标价销售，平均每天可售出4个．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，为了尽快地清空库存，将售价定为每个多少元时，才能使款产品平均每天的销售利润为90元？ 【答案】（1）420元 （2）每件元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元二次方程在实际中的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设购进产品个，购进产品个，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设每个产品售价定为元，才能使每天的销售利润为90元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 设购进产品个，购进产品个，由题意得： 解得： （元）． 答：产品全部按标价售出后的总利润为420元． 【小问2详解】 设每个产品售价定为元，才能使每天的销售利润为90元，由题意得： ， 化简得：， 解得：，， 因为要尽快清空库存，所以． 答：当售价定为每件元时，才能使款产品平均每天的销售利润为90元． 23. 某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 0 … 其中，______； （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分； （3）探究与应用： ①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是______； ②结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）直接将代入函数解析式中求解即可； （2）根据表格数据描点、连线即可画出函数另一部分图象； （3）①根据函数图象与x轴的交点个数以及最小值，得到函数的图象与直线有4个交点时的取值范围可得答案； ②在同一直角坐标系中画直线，根据图象，求得函数的图象位于直线的下方的点的横坐标的取值范围即可． 【小问1详解】 解：当时，，即； 故答案为：； 【小问2详解】 解：描点、连线，如图： 【小问3详解】 解：①由图象知，函数有最小值，且与x轴有3个交点， ∴当函数的图象与直线有4个交点时，， 则方程有4个实数根时，的取值范围是； 故答案为：； ②当时，由得或， 直线与函数有两个交点和， 同一直角坐标系中画直线，如图， 由图可知，当时，由得或， 直线与函数有两个交点和， 故当或时，函数的图象位于直线的下方， ∴不等式的解集是或． 24. 路口导向线是一个交通指示，是指车辆转弯时必须沿导向线有序行驶．如图1中的虚线，就是一个左转弯导向线． （1）如图2，车辆在一个十字路口时，既有左转弯导向线，也有右转弯导向线．如图3，已知左转弯导向线和右转弯导向线的圆心分别为点和点，且半径和分别为10米和4米，圆心角都为，求比长多少（结果保留）？ （2）如图4，已知五边形是一个商场，为地下车库入口，一个小汽车沿道路标线的方向驶向车库入口，途中没有红绿灯．已知和为笔直道路，且米，左转弯导向线和的圆心分别为点和点，且半径和均为10米，圆心角分别为，，汽车在笔直道路上的行驶速度为14米／秒，在左转弯时，为了安全起见，速度降为5米／秒，求该小汽车沿着标线从行驶到车库门口的行驶时间为多少秒（取3.14，汽车加速和减速的时间忽略不计）？ 【答案】（1）米 （2）秒 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接利用弧长公式，代入计算即可； （2）先计算的长为：（米），的长为：（米），再分别计算在笔直道路和转弯处行驶时间即可． 【小问1详解】 解：的长为：（米）， 的长为：（米）， 且（米）． 比长米； 【小问2详解】 解：的长为：（米）， 的长为：（米）， 则该小汽车沿路线行驶的时间为： （秒）． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）分别令的，即可求出直线与坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，设，则，（其中），利用三角形面积公式，即可求出点的坐标； （3）作交抛物线于点，作于点， 设，，得，，根据即可得，解方程可得； 作关于轴对称点，连接，作交抛物线于点，作于点，设，则，同法可得，进而得解． 【小问1详解】 解：在中， 当时，； 当时，， 解得：， ，， 将，代入中， 得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：过点作轴，交于点，如图： 设，则，（其中）， ； 由（1）得：，， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 此时，， ； 【小问3详解】 解：①作交抛物线于点， ， 在中， ， 作于点， 设，， ，， ， ， ， ， ． 整理得：， 解得：（舍去），， 当时，， ； ②作关于轴对称点， 连接，则， 作交抛物线于点， ， ， ， 作于点 设，则， ，， ， ， 整理得， 解得：（舍去），， 当时，， ； 综上所述,点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，三角函数，会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程的问题．是正确解答此题的关键． 26. 在中，，，点线段上一点，连接． （1）如图1，当时，求线段的长； （2）如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点是的中点，连接并延长到点，连接，若． ①求证：； ②如图3，连接、、，点从点移动到点的过程中，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，利用勾股定理及等腰三角形的三线合一的性质求出，得到，再根据勾股定理求出线段的长； （2）①连接，，由旋转得，证明，得到，，推出，进而得到，在上截取，连接，则，得到，，证得，由此得到，即； ②连接，由①得，故，由，因此得到当最小时，的值最小，此时，则，根据，，得到，求出，，过点H作于点M，在上截取，连接，则，得到，由此求出，得到，即可根据得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，连接，， 由旋转得， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在上截取，连接，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②如图，连接， 由①得， ∴， ∵， ∴当最小时，的值最小，此时，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点H作于点M，在上截取，连接， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长寿区2024年秋期初中期末质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：8页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm签字笔书写． 4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C D. 2. 以下四个交通标志，其中是中心对称图形（不含下方的文字注释）的是（ ） A. 直行 B. 掉头 C. 十字路口 D. 环形车道 3. 如图，点，，都在上，且点在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 5. 如图，半圆的直径，为圆心，过点作，交弦于点，交半圆于点，且点为的中点，则弦的长是（ ） A. B. C. D. 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是轴 C. 函数有最小值 D. 当时，函数随的增大而增大 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，这是一把2024年长寿区冬季运动会开幕式中一个表演节目的道具．它是以A为圆心，，为半径的扇形，其展开后夹角为，若的长为，扇面的长为，则展开后的扇面面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 依次排列的两个整式，，将第1个整式乘2再加上第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再加上第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再加上第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；…，以此类推，下列3个说法： ①第8个整式为； ②第7次操作后得到的整式的各项系数之和为； ③若，则第2024次操作完成后，所有整式之和为0． 其中正确的结论个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则______． 13. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝下次数 22 46 94 143 236 473 944 1413 2350 盖面朝下频率 0.440 0.460 0.470 0.477 0.472 0.473 0.472 0.471 0.470 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝下”的概率约为______．（精确到0.01） 14. 一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的内角和是______． 15. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，则______． 16. 长寿柚在邻封镇有130多年的种植历史，因其味美又有营养，成为了长寿特产，享誉全国，为长寿经济的发展作出了贡献．2022年，长寿柚年产量为4300万个．近两年，政府加大扶持，传授科学种植，2024年又遇天公作美，长寿柚喜获大丰收，年产量达到6900万个，若设这两年平均增长率为，则可列一元二次方程表示为______． 17. 如图，已知绕点顺时针方向旋转到，且点、、共线，交于点，若，时，则______． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，并满足，那么称这个四位数为“长寿数”，例如：四位数4128，，是“长寿数”；又如四位数7143，，不是“长寿数”，则最小的“长寿数”是______；已知“长寿数”（其中），将的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，若能被14整除，则满足条件的的最小值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 长寿区某校非常重视培养学生的语文核心素养，在学期中段开展了名著知识竞赛，为了解初三学生的名著阅读情况，随机抽查了初三甲、乙两班各20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩为整数），将成绩分为四个组进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分，其中：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 初三甲班20名学生的竞赛成绩为： 61，62，76，79，79，79，79，83，84，88，88，89，90，90，91，92，94，96，100，100． 初三乙班20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：82，86，86，86，87，88，89，89． 初三甲、乙两班所抽学生的竞赛成绩统计表 班级 初三甲班 初三乙班 平均数 85 85 中位数 88 众数 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，扇形统计图中圆心角的度数是______； （2）根据以上数据分析，你认为该校初三甲、乙两班中哪个班级学生的名著知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校准备在甲、乙两班抽查学生中，各挑选1名名著知识竞赛成绩优异（）的学生，进行读书心得分享，其中初三甲班成绩优异的两名学生是一名男生、一名女生，初三乙班成绩优异的三名学生是一名男生、两名女生，请用树状图或列表法求出挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率． 21. 学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． （1）请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹）； （2）求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ①______， ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且②______于这条半径的直线是圆的切线） 和中， （④______）（填推理的依据）， ． 22. 近年来，为了激发新消费潜力，拉动城市消费的新增长，长寿区“光合梦工厂”夜市在长寿时代中心逐渐盛行起来了．某文创产品的摊主从网商处购进、两种文创产品进行销售，其中款产品进价为每个30元，标价为每个45元；款产品进价为每个25元，标价为每个37元．（注：利润售价进价） （1）该摊主第一次用850元购进、两种文创产品共30个，求将这些产品全部按标价售出后的利润； （2）临近春节，该摊主打算将款文创产品进行降价销售，若按照标价销售，平均每天可售出4个．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，为了尽快地清空库存，将售价定为每个多少元时，才能使款产品平均每天的销售利润为90元？ 23. 某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 0 … 其中，______； （2）根据上表数据，在如图所示平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分； （3）探究与应用： ①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是______； ②结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 24. 路口导向线是一个交通指示，是指车辆转弯时必须沿导向线有序行驶．如图1中的虚线，就是一个左转弯导向线． （1）如图2，车辆在一个十字路口时，既有左转弯导向线，也有右转弯导向线．如图3，已知左转弯导向线和右转弯导向线的圆心分别为点和点，且半径和分别为10米和4米，圆心角都为，求比长多少（结果保留）？ （2）如图4，已知五边形是一个商场，为地下车库入口，一个小汽车沿道路标线的方向驶向车库入口，途中没有红绿灯．已知和为笔直道路，且米，左转弯导向线和的圆心分别为点和点，且半径和均为10米，圆心角分别为，，汽车在笔直道路上的行驶速度为14米／秒，在左转弯时，为了安全起见，速度降为5米／秒，求该小汽车沿着标线从行驶到车库门口的行驶时间为多少秒（取3.14，汽车加速和减速的时间忽略不计）？ 25. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 在中，，，点是线段上一点，连接． （1）如图1，当时，求线段的长； （2）如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点是的中点，连接并延长到点，连接，若． ①求证：； ②如图3，连接、、，点从点移动到点的过程中，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$