专项10 流水行船问题小升初奥数思维讲义

小升初经典奥数——流水行程问题 9种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 流水行船问题又叫流水问题，是指船在江河里航行时，除了本身的前进速度 外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和路程。 流水行程问题的基本公式‌： ‌顺流速度‌：V顺 = V船+V水 （和） 逆流速度‌：V逆 =V船−V水​（差） ‌静水速度‌：V船 =( V顺+V逆)÷2 ​ 水流速度‌：V水 =（V顺−V逆）÷2 ‌‌船速：V船 =（V顺+V逆）÷2 水速：V水 =（V顺−V逆）÷2 ‌顺流时间：t顺=S顺÷V顺 ​ ​ 逆流时间：t逆=S逆÷V逆​ ​ ‌距离：S顺=V顺×t顺=S逆×t逆 这些公式是解决流水行程问题的关键，通过它们，我们可以计算出船只在不同条件下的航行速度、时间和行程。 【一船往返型】 一艘船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10 小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而上需要几小时? 【解析】 根据V顺=V船+V水=180÷10=18（千米/时）；V逆=V船−V水​=180÷15=12（千米/时），再运用和差公式求出船速和水速。 【解答】 ①船速+水速=180÷10=18（千米/时） ②船速-水速=180÷15=12（千米/时） ③船速=（18+12）÷2=15（千米/时） ④水速=（18-12）÷2=3（千米/时） ⑤顺流速度=180÷9=20（千米/时） ⑥暴雨后的水速=20-15=5（千米/时） ⑦逆水而上时间=180÷（15-5）=18（小时） 答:逆水而上需要18小时。 【点评】抓住船速不变，根据和差公式求出船速和水速是解题关键。 1.乙船顺水航行2小时行了120km,返回原地用了4小时。甲船顺水航行同一段水路用了3小时。甲船返回原地比去时多用了几小时? 2.甲、乙两港间的水路长208km,一条船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。 【相遇追及型】 A、B两码头间河流长为90千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航，如果相向而行3小时相遇，如果同向而行15小时甲船追上乙船。求两船在静水中的速度。 【解析】甲顺流速度+乙逆流速度=路程和÷相遇时间=（甲船速+水速）+（乙船速-水速）=甲速+乙速=90÷3=30（千米/小时）；甲顺流速度-乙逆流速度=路程差÷追及时间=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲速-乙速=90÷15=6（千米/小时）；再根据两船的速度和差公式求出甲速和乙速即可。 【解答】 ①两船速度和为:90÷3=30(千米/时) ②两船速度差为:90÷15=6(千米/时) ③乙船的速度为:(30-6)÷2=12(千米/时) ④甲船的速度为:12+6=18(千米/时)或（30+6）÷2=18(千米/时) 答:甲船的速度是18千米/时，乙船的速度是12千米/时。 【点评】此题是关于两船相遇和追及综合行程，在相遇和追及过程中，水速相互抵消，可以忽略水速，最后运用和差公式是解决本题关键。 1.A、B两码头间水路长为220km,甲、乙两船分别从A、B码头同时出发。如果相向而行5小时相遇,如果同向而行55小时甲船追上乙船。求两船在静水中的速度。 2.甲、乙两个港口相距120公里,船从甲到乙顺水航行需要5小时,从乙到甲逆水航行需要20小时。现有A、B两条船分别从甲、乙两港同时出发,相向而行,5小时后C船从甲港出发驶往乙港,则A、B相遇后( )小时,B、C相遇。 A.6.5 B.5.2 C.4 D.3 【两船往返型】 游船顺流而下，每小时前进7千米；逆流而上，每小时前进5千米。两条游船同时从同一个地方出发，一条顺水而下，然后返回；一条逆流而上，然后返回。结果，1小时以后它们同时回到出发点，忽略船掉头时间，在这1小时内有多少时间这两条船的前进方向相同? 【解析】顺流和逆流的速度的比是7:5，则顺流和逆流的时间的比是5:7，运用比例即可解决问题。 【解答】 解:设1小时内，每条船的顺流时间为x分钟，则逆流时间为(60-x)分钟，由已知条件列出方程: x:(60-x)=5:7 得:x=25 逆流时间：60-x=60-25=35 同方向时间：35-25=10(分) 答:有10分钟这两条船的前进方向相同。 1.甲、乙两船分别从A港顺水而下至480千米外的B港，静水中甲船每小时行56米，乙船每小时行40千米，水速为每小时8千米，乙船出发后1.5小时，甲船才出发,到B港后返回与乙船迎面相遇，此处距A港多少千米? 2.甲、乙两船同时从A地出发，甲船逆流前往B地，乙船顺流前往C地，1小时后两艘船同时掉头航向A地，甲船比乙船早1小时返回。已知甲船的静水速度是水流的3倍，求甲船的静水速度和乙船的静水速度之比。 3.A、B两个港口分别位于一条河的上游和下游，甲、乙两船分别从A、B港口同时出发相向而行，甲船到达B港口时乙船恰好到达A港口。之后两船均立即原路返回，30分钟后，乙船回到B港口，又过了30分钟，甲船回到A港口。问甲船往返共用时多少分钟？ 【一般行船型】 一艘船在静水中的速度为每小时15km,它从上游甲地开往下游乙地共用8小时,已知水速为每小时3km。那么从乙地返回甲地需要多少小时? 【解析】因为两地之间的距离=顺流速度×顺水时间=（15+3）×8=144（千米），逆流时间=逆流路程÷逆流速度=144÷（15-3）=12（小时）。 【解答】 全程=（15+3）×8=144（千米）， 逆流时间=144÷（15-3）=12（小时） 答：那么从乙地返回甲地需要12小时。 1.一艘货船往返于相距48千米的甲、乙两港之间。已知货船在静水中的速度为10千米/时，水流速度为2千米/时。这艘货船往返一次需要多长时间? 2.一条船的船速是29千米/时，它行驶在水速为1千米/时的河里，现在它顺流而行7小时可以行驶多少千米? 3.一只小船在静水中的速度为18千米/时。它在176千米的长河中逆水而行用了11小时。原路返回需用几小时? 【转换行船型】 一艘轮船顺流航行98千米、逆流航行42千米时共用了8小时，当这艘轮船顺流航行72千米、逆流航行108千米时共用了12小时。问:此艘轮船的速度是多少?如果两个码头相距315千米，则轮船往返一次需要多少小时? 【解析】把两种航行的时间转化成相同时间，再找出相同时间里顺水航行速度与逆水航行的速度比即可。 【解答】 由题意可知，这艘轮船顺水航行72千米、逆水航行108千米共用时12小时，同时乘以，把它转化为：顺水航行48千米，逆水航行72千米，用8小时。 与“顺流航行98千米、逆流航行42千米，共用了8小时”进行对比可得:顺水航行(98-48)千米与逆水航行(72-42)千米用的时间相同。得 ①v顺:v逆=5:3 ②V顺=（98+42×)÷8=21(千米/时) ③V逆=21÷5×3=12.6(千米/时) ④V静水=(21+12.6)÷2=16.8(千米/时) ⑤往返总时间：315÷21+315÷12.6=40(时) 答:轮船的速度为16.8千米/时，往返一次需要40小时。 1.一艘轮船顺流航行140千米，逆流航行80千米，共用了15小时；顺流航行60千米，逆流航行120千米，也用了15小时。求轮船在静水中的速度。 2.一艘轮船顺流航行80千米，逆流航行48千米共用9时；顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12时．求轮船在静水中的速度。 3.一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行60千米，共用12小时；顺水航行60千米，逆流航行120千米共用15小时。求轮船在静水中的速度。 【比例行船型】 一艘轮船顺水每小时行20km,逆水每小时行15km,轮船从甲城到乙城比从乙城到甲城少用8小时。甲、乙两城相距多少千米? 【解析】题意可知顺流航行时间与逆流航行的时间差为8小时，路程一定，时间与速度长反比例，根据“顺流速度：逆流速度=逆流时间：顺流时间”列出比例式，求出时间比，再运用时间差比问题解决。 【解答】 顺流速度：逆流速度=20:15=4:3 顺流时间：逆流时间=3:4 顺流时间=8÷（4-3）×3=24（小时） 甲、乙两城距离=24×20=480（千米） 或解:设轮船从甲城到乙城用了x小时。 20x=15×(x+8) 20x=15x+120 20x-15x=15x-120-15x 5x=120 5x=120÷5 x=24 20×24 =480(千米) 答:甲、乙两城相距480千米。 1.某轮船用同一速度往返于两码头之间,它顺流而下行了8小时,逆流而上行了 10小时,如果水流速度是每小时3km。两码头之间的距离是多少千米? 2. 一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机飞出去时为顺风，速度为1500千米/时,回来时为逆风，速度为1200千米/时。这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞? 3.一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米 ，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米。 4.甲、乙两船从A、B码头同时出发相向而行，甲船的静水速度比乙船的静水速度快20％，水速为乙船静水速度的10％。若两船在距离中点10千米处相遇，则A、B间距离为多少千米？ 【方程行船型】 某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时。已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流的速度为每小时2.5千米。若A、C两地的距离为10千米，求A、B两地的距离。 【解析】要考虑两种情况（见下面解答），根据顺流时间=逆流时间=总时间列出方程解答即可。 【解答】 设A，B两地之间的距离为x千米。 ①若C在A的上游，则+=4 解方程得:x= ②若C在A、B之间，则+=4 解方程得:x=20 答:A、B两地的距离为千米或 20 千米。 1.甲、乙两船在静水中速度相同,它们同时自河的两个码头相对开出3小时后相遇。已知水流速度是4km/时。相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米? 2.一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机飞出去时为顺风，速度为1500千米/时,回来时为逆风，速度为1200千米/时。这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞? 【漂流行船型】 某河有相距45km的上、下两港,每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行,这天甲船从上港出发掉下一物,此物浮于水面顺水源下,4分钟后与甲船相距1千米。预计乙船出发后几小时可与此物相遇。 【解析】物浮于水面,相对水面是不动的. 4分钟后,与甲船相距1千米.意味着甲船速（相对水面）为千米/分钟 甲、乙两艘船速相同,即乙船速（相对水面）也为千米/分钟 甲船从上港出发时掉下一物,意味着此物落水时,与乙船相距45km 45÷=45×4=180（分钟）=3（小时） 即乙船出发后3小时后相遇. 【解答】45÷（1÷4）=180（分钟）=3小时 1.有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？ 2.有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？ 3.一艘维修快艇沿着河流逆流而上执行维修任务，快艇航行到途中某处时工具包掉进了河里，10分钟后，驾驶员到达目的地时发现工具包丢失后立即返回追寻。已知水的流速为每秒1米，如果工具包会浮在水面上漂流，那么驾驶员将在距离丢失处多少米的地方找回工具包？ 【复杂行船型】 在五一期间，小明和他的父亲坐游船从甲地到乙地观光，在票大厅他们看到了表一，在游船上，他们又注意到了表二。爸爸对小明说:“我来考考你，若船在静水中的速度保持不变，你能知道船在静水中的速度和水流速度吗?”小明很快得出了答案，你知道小明是如何算的吗? 表一 表二 【解析】 从表一、表二中可以知道甲到乙是逆流而上，乙到甲是顺流而下。 因此，船逆流的速度是20千米/时，顺流的速度是 20÷=30(千米/时)。 船在静水中的速度是（20+30）÷2=25(千米/时)， 水流速度是30-25=5(千米/时)或 25-20=5(千米/时)。 答:船在静水中的速度为25千米/时，水流速度为5千米/时。 1.一条小河流过A、B、C三镇。A、B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11km。B、C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5km。已知A、C两镇水路相距50 km,水流速度为每小时1.5km。某人从A镇上汽船顺流航行到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流航行到C镇共用8小时。那么A、B两镇间的距离是多少千米? 2.A、B两座港口相距300公里且仅有1条固定航道，在某一时刻甲船从A港顺流而下前往B港，同时乙船从B港逆流而上前往A港，甲船在5小时之后抵达了B港，停留了1小时后开始返回A港，又过了6小时追上了乙船。则乙船在静水中的时速为多少公里? 3.一条河上有A、B、C三个码头，C码头距A和B两码头距离相等，水流速度是2千米/小时，一只船从上游的A码头顺流而下，到达下游的B码头，然后又掉头逆流上上到达中游的C码头，共用时6小时，已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，求A、B两码头的距离。 满分：100分 时间：60分钟 一、填空题。（24分） 1.一艘货轮顺水每小时航行20千米,逆水每小时航行14千米,货船船速是千米/时，水速是 千米/时。 2.一架民航飞机,从甲城出发,用平均每小时320千米的速度飞行,经过1.5小时到乙城;回来时逆风,每小时慢20千米,往返共用 小时。 3.一架飞机所带燃料最多可以用6小时,飞机去时顺风,每小时可以飞1500千米，飞回时逆风,每小时可以飞1200千米。这架飞机最多飞出 千米,就需往回飞。 4.沿河有甲、乙两个码头,相距45千米。上午8点整,有一只船从乙地出发,逆流而上。同时,有人从甲地向河中抛下一个皮球,漂流而下。船在静水中每分钟行 250米,在 时这只船与皮球相遇。 5.一船从甲地到乙地要航行3小时,从乙地到甲地要航行4小时。今有一条木筏从甲地漂流到乙地需要 小时。 6.一只小船在静水中的航行速度为每小时25千米,在210千米的河流中顺水而行用了7小时,它再返回原处需用 小时。 二、选择题。（12分） 7.一只小船在静水中的速度为每小时31千米。A、B两地相距215千米,小船从A到B顺水而行用了5小时。从B到A逆水而行需用( )小时。 A.15 B.17 C.11 D.12 8.一船从甲地到乙地,去时每小时行 15 千米,回来时每小时行 10 千米。这般 船往返的平均速度是( )千米/时。 A.20 B.12 C.15 D. 18 9.一艘每小时行驶30千米的客轮,在河中顺水航行165千米,水速每小时千米。这艘客轮需要航行( )小时。 A.5 B.6 C.7 三、解答题。（每题8分，共64分） 10.甲、乙两港相距 360 千米,一轮船往返这两港需 35 小时,逆流航行比顺流航行多花5小时。现有一艘帆船,静水中的速度是每小时12千米,这艘帆船往返两港需要多少小时? 11.某河上游与下游的两地相距90千米,甲、乙两船(在静水中的航速相同)分别从两地相对开出,甲船从上游出发时,抛出一物,此物浮于水面顺流漂下,一分钟后与甲船相距0.5千米。问:乙船出发后几小时能与此物相遇? 12.一艘轮船,顺水航行时,每小时行 30 千米;逆水航行时,每小时行 20千米,这艘轮船从甲城到乙城用的时间比从乙城到甲城用的时间少8小时,甲乙两城相距多少千米? 13.甲船逆水航行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水航行同样的一段水路需15小时,返回原地需要多少小时? 14.一船逆水而上,船上某人有一件东西掉入水中,船前行5分钟后才掉头追东西。若船在静水中速度是每分钟行50米,再经过多长时间船才能追上所掉的东西? 15.一只小船第一天顺流航行48千米,逆流航行8千米,用了10 小时;第二天顺流航行24千米,逆流航行14千米,也用了10小时。求小船在静水中的速度和水流的速度。 16.长江水流速度某月1日是每小时1千米,该月2日是每小时2米。有人在这两天里每天都从甲码头到乙码头乘同一条船往返一次,用的时间相等吗? 17.一只帆船的速度是每分行60米,船在水流速度为每分20米的河中,从上游的一个港口到下游某地,再返回到原地,共用3小时30分。这条船从上游港口到下游某地共走了多少米? 【巩固提升】参考答案 1.乙船顺水航行2小时行了120km,返回原地用了4小时。甲船顺水航行同一段水路用了3小时。甲船返回原地比去时多用了几小时? 【解析】顺水速度=120÷2=60（千米/小时） 逆水速度=120÷4=30（千米/小时） 水速=（60-30）÷2=15（千米/小时） 甲船顺水速度=120÷3=40（千米/小时） 甲船静水速度=40-15=25（千米/小时） 甲船逆水时间=120÷（25-15）=12（小时） 相差时间=12-3=9（小时） 2.甲、乙两港间的水路长208km,一条船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。 1.A、B两码头间水路长为220km,甲、乙两船分别从A、B码头同时出发。如果相向而行5小时相遇,如果同向而行55小时甲船追上乙船。求两船在静水中的速度。 【解析】相向而行时的速度和等于两船在静水中的速度之和，同向而行时的速度差等于两船在静水中的速度之差。 【解答】两船在静水中的速度之和为：220÷5=44(千米/时) 两船在静水中的速度之差为：220÷55=4(千米/时) 甲船在静水中的速度为：(44 ＋4)÷2=24(千米/时) 乙船在静水中的速度为：(44-4)÷2=20(千米/时) 2.甲、乙两个港口相距120公里,船从甲到乙顺水航行需要5小时,从乙到甲逆水航行需要20小时。现有A、B两条船分别从甲、乙两港同时出发,相向而行,5小时后C船从甲港出发驶往乙港,则A、B相遇后( )小时,B、C相遇。 A.6.5 B.5.2 C.4 D.3 【解析】 船顺水航行速度为120÷5=24(千米/小时) 逆水航行速度为120÷20=6(千米/时) 解：设A、B两船航行x小时后相遇,根据题意可得: 24x+6x=120 解得x=4。 设C船开出y小时后与B船相遇。由此可知: 24y+6y+6×5=120 解得y=3 A、B相遇需4小时,相遇后B继续航行l小时后,C才出发,C出发3小时后B、C相遇,从A、B相遇到B、C相遇,相隔了1+3=4(小时)。 答案为C。 1.甲、乙两船分别从A港顺水而下至480千米外的B港，静水中甲船每小时行56米，乙船每小时行40千米，水速为每小时8千米，乙船出发后1.5小时，甲船才出发,到B港后返回与乙船迎面相遇，此处距A港多少千米? 【解析】 ①甲船顺水行驶全程所需时间为:480÷(56+8)=7.5(时) ②乙船顺水行驶全程所需时间为:480÷(40+8)=10(时) ③甲船到达B港时，乙船行驶时间为:1.5+7.5=9(时) ④乙船与甲船的相遇路程为:(40+8)×(10-9)=48(千米) 2.甲、乙两船同时从A地出发，甲船逆流前往B地，乙船顺流前往C地，1小时后两艘船同时掉头航向A地，甲船比乙船早1小时返回。已知甲船的静水速度是水流的3倍，求甲船的静水速度和乙船的静水速度之比。 【解析】设甲速度为3、水速为1、乙速度为x, 根据甲往返路程相同,可得两次时间比为(3+1)∶(3-1)=2∶1, 则甲返回用了0.5小时,乙返回用了1.5小时, 根据乙往返路程相同,可得两次时间比=(x-1)∶(x+1)=1∶1.5=4∶6,可得x=5,甲、乙速度比3∶5。 3.A、B两个港口分别位于一条河的上游和下游，甲、乙两船分别从A、B港口同时出发相向而行，甲船到达B港口时乙船恰好到达A港口。之后两船均立即原路返回，30分钟后，乙船回到B港口，又过了30分钟，甲船回到A港口。问甲船往返共用时多少分钟？ 【解析】设乙船的速度是每小时x千米。 （x+6）×4=（x-6）×16      4x+24=16x-96        12x=120          x=10 答：乙在静水中划船每小时行驶10千米 1.一艘货船往返于相距48千米的甲、乙两港之间。已知货船在静水中的速度为10千米/时，水流速度为2千米/时。这艘货船往返一次需要多长时间? 【解析】 48÷(10+2)+48÷(10-2) =48÷12+48÷8 =4+6 =10(小时) 答:这艘货船先从甲港顺流而下到达乙港，再马上掉头逆流返回甲港一共需要 10小时。 2.一条船的船速是29千米/时，它行驶在水速为1千米/时的河里，现在它顺流而行7小时可以行驶多少千米? 【解析】顺水路程=顺水速度×顺水时间 【解答】7×（29+1）=210（千米） 3.一只小船在静水中的速度为18千米/时。它在176千米的长河中逆水而行用了11小时。原路返回需用几小时? 【解析】逆水速度=逆水路程÷逆水时间，顺水时间=顺水路程÷顺水速度 【解答】逆水速度：176÷11=16（千米/小时） 水速=18-16=2（千米/小时） 顺水时间：176÷（18+2）=8.8（小时） 1.一艘轮船顺流航行140千米，逆流航行80千米，共用了15小时；顺流航行60千米，逆流航行120千米，也用了15小时。求轮船在静水中的速度。 【解析】转换型。根据两次航行时间都是15小时，得出顺流航行（140-60）千米相当于逆水航行（120-80）千米的时间。运用比例求解 【解答】顺流速度：逆流速度=（140-60）：（120-80）=2:1（顺流路程：逆流路程） 则顺流时间：逆流时间=1:2 “顺流航行140千米，逆流航行80千米，共用了15小时”转化为“顺流航行140千米+顺流航行80×2=160千米，共用了15小时” 顺流速度：（140+80×2）÷15=20（千米/小时） 逆流速度：20÷2=10（千米/小时） 静水速度：（20-10）÷2=5（千米/小时） 2.一艘轮船顺流航行80千米，逆流航行48千米共用9时；顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12时．求轮船在静水中的速度。 【解析】关键是把两种航行时间爱你统一即可 【解答】“顺流航行64千米，逆流航行96千米共用12时”，转化为“顺流航行48千米，逆流航行72千米共用9时”。 则在相同时间里顺流航行80-48千米相当于逆流航行72-48千米 顺流路程：逆流路程=（80-48）：（72-48）=32:24=4:3 都转为顺流航行：“顺流航行80千米，逆流航行48千米共用9时”相当于“顺流航行80千米+顺流航行48÷3×4=64千米共用9时”。 顺流速度：（80+64）÷9=16（千米/小时） 逆流速度：16÷4×3=12（千米/小时） 静水速度：（16-12）÷2=2（千米/小时） 3.一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行60千米，共用12小时；顺水航行60千米，逆流航行120千米共用15小时。求轮船在静水中的速度。 【解析】转化法 【解答】“顺水航行60千米，逆流航行120千米共用15小时”，相当于“顺水航行48千米，逆流航行96千米共用12小时”，则在相同时间内有： 顺流路程：逆流路程=（120-48）:（96-60）=2:1 在转化：“顺水航行60千米，逆流航行120千米共用15小时”，相当于“顺水航行60千米，顺流航行96×2=192千米共用12小时” 顺流速度：（60+192）÷12=21（千米/小时） 逆流速度：21÷2=10.5（千米/小时） 静水速度：（21-10.5）÷2=5.25（千米/小时） 1.某轮船用同一速度往返于两码头之间,它顺流而下行了8小时,逆流而上行了 10小时,如果水流速度是每小时3km。两码头之间的距离是多少千米? 【解析】比例行程：路程一定，速度和时间成反比例。 【解答】 顺流速度：逆流速度=10:8=5:4 顺流速度-逆流速度=水速×2=3×2=6（千米/小时） 运用差比问题解决： 顺流速度：6÷（5-4）×5=30（千米/小时） 全程：30×8=240（千米） 2. 一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机飞出去时为顺风，速度为1500千米/时,回来时为逆风，速度为1200千米/时。这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞? 【解析】方法同上 【解答】 顺风速度：逆风速度=1500:1200=5:4 顺风时间+逆风时间=6小时 运用时间和比方法解决： 顺风时间：6÷（4+5）×4=（小时） 路程：1500×=4000（千米） 3.一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米 ，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小时4千米。求甲、乙两地相距多少千米。 【解析】运用顺流速度与逆流速度的比解决问题 【解答】 顺流速度：逆流速度=28：（28-4×2）=28:20=7:5 顺流时间：逆流速度=5:7 逆流时间-顺流时间=2小时 运用时间差比方法解决： 顺流时间：2÷（7-5）×5=5（小时） 全程：5×28=140（千米） 4.甲、乙两船从A、B码头同时出发相向而行，甲船的静水速度比乙船的静水速度快20％，水速为乙船静水速度的10％。若两船在距离中点10千米处相遇，则A、B间距离为多少千米？ 【解析】运用速度比解决问题 【解答】 甲船静水速度：乙船静水速度=（1+20%）：1=6:5 水速=5×10%=0.5 如果是乙船顺流，甲船逆流，则两船的速度比为（6-0.5）：（5+0.5）=1:1，则两船应在中点相遇，不可在距离中点10千米处相遇，所以可以确定应该是甲船顺流，乙船逆流。 甲船顺流速度：乙船逆流速度=（6+0.5）：（5-0.5）=6.5:4.5=13：9，时间相同，所行的路程与速度成正比例，所以路程之比为13:9 运用路程差比方法解决： 全程：10×2÷（13-9）×（13+9）=110（千米） 1.甲、乙两船在静水中速度相同,它们同时自河的两个码头相对开出3小时后相遇。已知水流速度是4km/时。相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米? 【解析】两船速度相同，顺水航行速度比逆流航行速度多2倍水速。 【解答】多行的路程：4×2×3=24（千米） 2.一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机飞出去时为顺风，速度为1500千米/时,回来时为逆风，速度为1200千米/时。这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞? 【解析】 设去时总计用时x小时，由已知条件可得: 1500x=1200×(6-x) x= 这架飞机最多飞出的路程为:1500×=4000(千米) 答:这架飞机最多飞出4000千米就需要往回飞。 1.有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行5小时后与漂流物相距160千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？ 【解析】因为流水航行中学生相遇与追及问题，水速相互抵消，可以看作是在静水中航行，所以漂流物的速度为0千米/小时。 【解答】甲船速度=乙船速度=160÷5=32（千米/小时） 河长：32×25=800（千米） 2.有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？ 【解析】 漂流物和水同速，甲船是划速和水速的和，甲船4小时后，距漂流物100千米，即每小时行100÷4=25（千米）。 乙船12小时后与漂流物相遇，所受的阻力和漂流物的速度等于划速。这样，即可算出河长。 【解答】 船速：100÷4=25（千米/时） 河长：25×12=300（千米） 答：河长300千米。 3.一艘维修快艇沿着河流逆流而上执行维修任务，快艇航行到途中某处时工具包掉进了河里，10分钟后，驾驶员到达目的地时发现工具包丢失后立即返回追寻。已知水的流速为每秒1米，如果工具包会浮在水面上漂流，那么驾驶员将在距离丢失处多少米的地方找回工具包？ 【解析】　　 从丢失到发现共用了10分钟即600秒，设静水中驾驶速度为v米/秒，此时工具包与快艇距离为(v-1+1)×600=600v。 追及的过程有600v=(v+1-1)×t， 可知t=600。 从丢失到追上共用时两个600秒，即1200秒，工具包漂流了1200米。 1.一条小河流过A、B、C三镇。A、B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11km。B、C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5km。已知A、C两镇水路相距50 km,水流速度为每小时1.5km。某人从A镇上汽船顺流航行到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流航行到C镇共用8小时。那么A、B两镇间的距离是多少千米? 【解析】 从A镇到C镇前后共用了8小时，吃午饭用去1小时，所以路上（包括A到B，B再到C）一共用了7小时；A到B的行进速度为11+1.5=12.5千米，B到C的行进速度为3.5+1.5=5千米；如果A到B的行进速度也为5（和B到C一样）的话，那么A到C的时间就应该为50÷5=10小时，但时间上只用了7小时，快了3小时，因为汽船比木船快，省时间，具体为每1KM省了1÷5-1÷12.5=0.12小时的时间；也就是说，假如AB两镇距离是1千米，那么就能省0.12小时的时间，而实际上省了3个小时，所以就是A、B两镇距离有3÷0.12=25千米。 【解答】 （50÷5-7）÷（1÷5-1÷12.5） =3÷0.12 =25（千米） =25000（米） 答：那么A、B两镇的水路路程是25000米。 【点评】此题较难，应结合题意认真分析，找出题中的关键量，然后理清题中的数量关系，进而计算，从而得出结论。 2.A、B两座港口相距300公里且仅有1条固定航道，在某一时刻甲船从A港顺流而下前往B港，同时乙船从B港逆流而上前往A港，甲船在5小时之后抵达了B港，停留了1小时后开始返回A港，又过了6小时追上了乙船。则乙船在静水中的时速为多少公里? 【解析】 甲船从A港顺流而下5小时到达B港，所以甲船的顺水速度为300÷5=60公里/小时。甲船停留1小时后返回A港，6小时后追上乙船。此时甲船逆水行驶，速度为60-2×水速(因为甲船顺水时速度增加了水速的两倍，逆水时速度减少了水速的两倍)。 乙船从B港逆流而上前往A港，所以乙船的逆水速度为乙速-水速。 　由于甲船在6小时内追上了乙船，所以甲船逆水行驶的路程等于乙船逆流行驶的路程加上两船之间的初始距离(即300公里)。 　【解答】 根据以上信息，可以列出等式： 6×(60-2×水速)=12×(乙速-水速) +300。 　解这个等式，可以得到乙船在静水中的时速为30公里/小时。 3.一条河上有A、B、C三个码头，C码头距A和B两码头距离相等，水流速度是2千米/小时，一只船从上游的A码头顺流而下，到达下游的B码头，然后又掉头逆流上上到达中游的C码头，共用时6小时，已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，求A、B两码头的距离。 【解析】 船的顺流速度=船在静水中的速度+水速， 船的逆流速度=船在静水中的速度-水速 由题意可知船的顺流速度=2×船的逆流速度，即船在静水中的速度+水速=2× （船在静水中的速度 - 水速） 船在静水中的速度=3×水速=6（千米/小时），船的顺流速度=8（千米/小时），船的逆流速度=4（千米/小时） 由于船的顺流速度 = 2×船的逆流速度，而C点位于A、B的中点，可知 船在顺流行驶的时间 = 船在逆流行驶的时间=6÷2=3（小时） A、B两码头的距离 = 船的顺流速度×船在顺流行驶的时间=8×3=24（千米） 【经典测试】参考答案 满分：100分 时间：60分钟 一、填空题。（24分） 1.一艘货轮顺水每小时航行20千米,逆水每小时航行14千米,货船船速是 千米/时，水速是 千米/时。 【解析】 水速=(20-14)÷2=3(千米/时) 船速=20-3=17(千米/时) 2.一架民航飞机,从甲城出发,用平均每小时320千米的速度飞行,经过1.5小时到乙城;回来时逆风,每小时慢20千米,往返共用 小时。 【解析】 320×1.5÷(320-20)+1.5=3.1(小时) 3.一架飞机所带燃料最多可以用6小时,飞机去时顺风,每小时可以飞1500千米，飞回时逆风,每小时可以飞1200千米。这架飞机最多飞出 千米,就需往回飞。 【解析】设飞出x小时。 1500x=1200×(6-x), x= 飞出千米数:1500×=4000(千米) 4.沿河有甲、乙两个码头,相距45千米。上午8点整,有一只船从乙地出发,逆流而上。同时,有人从甲地向河中抛下一个皮球,漂流而下。船在静水中每分钟行 250米,在 时这只船与皮球相遇。 【解析】45÷(250÷1000×60)+8=11(时)。 5.一船从甲地到乙地要航行3小时,从乙地到甲地要航行4小时。今有一条木筏从甲地漂流到乙地需要 小时。 【解析】 水流速度=(-)÷2= 所用时间=1÷=1×24=24(小时) 6.一只小船在静水中的航行速度为每小时25千米,在210千米的河流中顺水而行用了7小时,它再返回原处需用 小时。 【解析】 水流速度=210-7-25=5(千米/时) 所用时间=210÷(25-5)=10.5(小时) 二、选择题。（12分） 7.一只小船在静水中的速度为每小时31千米。A、B两地相距215千米,小船从A到B顺水而行用了5小时。从B到A逆水而行需用( )小时。 A.15 B.17 C.11 D.12 【解析】C 水流速度=215÷5-31=12(千米/时) 逆水用时=215÷(31-12)= 11(小时) 8.一船从甲地到乙地,去时每小时行 15 千米,回来时每小时行 10 千米。这般 船往返的平均速度是( )千米/时。 A.20 B.12 C.15 D. 18 【解析】B 设甲、乙两地相距1千米,则往返的总路程为1×2=2(千米)。 总共用时=1÷10+1÷15= (小时) 平均速度2÷=12(千米/时)。 9.一艘每小时行驶30千米的客轮,在河中顺水航行165千米,水速每小时千米。这艘客轮需要航行( )小时。 A.5 B.6 C.7 【解析】A 165÷(30+3)=5(小时)。 三、解答题。（每题8分，共64分） 10.甲、乙两港相距 360 千米,一轮船往返这两港需 35 小时,逆流航行比顺流航行多花5小时。现有一艘帆船,静水中的速度是每小时12千米,这艘帆船往返两港需要多少小时? 【解析】 逆水时间:(35+5)÷2=20(小时) 顺水时间:(35-5)÷2=15(小时) 逆水速度:360÷20=18(千米/时) 顺水速度:360÷15=24(千米/时) 水速:(24-18)÷2=3(千米/时) 帆船顺水速度:12+3=15(千米/时) 帆船逆水速度:12-3=9(千米/时) 往返时间:360÷15+360÷9=24+40=64(小时) 11.某河上游与下游的两地相距90千米,甲、乙两船(在静水中的航速相同)分别从两地相对开出,甲船从上游出发时,抛出一物,此物浮于水面顺流漂下,一分钟后与甲船相距0.5千米。问:乙船出发后几小时能与此物相遇? 【解析】水速:0.5÷1=0.5(千米/分) 相遇时间:90÷0.5=180(分)=3(小时) 12.一艘轮船,顺水航行时,每小时行 30 千米;逆水航行时,每小时行 20千米,这艘轮船从甲城到乙城用的时间比从乙城到甲城用的时间少8小时,甲乙两城相距多少千米? 【解析】 顺流时,1千米用小时=2分钟, 逆流时,1千米用小时=3 分钟。 顺水航行比逆水航行每千米节约1分钟,现在一共节约8小时,即480分钟，所以甲、乙两地相距480千米。 13.甲船逆水航行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水航行同样的一段水路需15小时,返回原地需要多少小时? 【解析】 甲船逆水速度:360÷18=20(千米/时) 甲船顺水速度:360÷10=36(千米/时) 水速:(36-20)÷2-8(千米/时) 乙船逆水速度:360÷15=24(千米/时) 乙船顺水速度:24+8×2=40(千米/时) 乙船返回时间:360-40=9(小时)。 14.一船逆水而上,船上某人有一件东西掉入水中,船前行5分钟后才掉头追东西。若船在静水中速度是每分钟行50米,再经过多长时间船才能追上所掉的东西? 【解析】解:设水速为每分钟x米。 [(50-x)×5+5x]÷50=5(分钟) 即再经过5分钟船才能追上所掉的东西。 15.一只小船第一天顺流航行48千米,逆流航行8千米,用了10 小时;第二天顺流航行24千米,逆流航行14千米,也用了10小时。求小船在静水中的速度和水流的速度。 【解析】第一天顺流航行路程是第二天的2倍,如果第二天顺流航行48千米,逆流航行28千米用20小时,多花的10小时,就是逆流28-8=20(千米)的时间。 逆流速度:20÷10=2(千米/时), 顺流速度:48÷(10-8÷2)=8(千米/时) 静水速度:(8+2)÷2=5(千米/时) 水流速度:(8-2)÷2=3(千米/时) 16.长江水流速度某月1日是每小时1千米,该月2日是每小时2米。有人在这两天里每天都从甲码头到乙码头乘同一条船往返一次,用的时间相等吗? 【解析】设甲、乙两码头距离为10千米,船速为每小时3千米。 则1日用的时间:10÷(1+3)+10÷(3-1)=7.5(小时) 2日用的时间:10÷(2十3)+10÷(3-2)=12(小时) 所以,水流速度不同,用的时间不相等。 17.一只帆船的速度是每分行60米,船在水流速度为每分20米的河中,从上游的一个港口到下游某地,再返回到原地,共用3小时30分。这条船从上游港口到下游某地共走了多少米? 【解析】3小时30分=210分,顺水速度是逆水速度的(60+20)÷(60-20)=2倍。 求得顺水行了210÷(2+1)=70(分) 从上游港口到下游某地共走(60+20)×70=5600(米) 2 学科网（北京）股份有限公司 $$