2025年“飞天志远”（初三体验营）适应性测试数学试卷

2025年“飞天志远”（初三体验营）适应性测试 数 学 试 卷 （满分180分，时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的，请把正确答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1． 将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4四个数字，随机抽出一张， 出现可能性最大的是 A．数字大于2的卡片 B．数字小于2的卡片 C．数字大于3的卡片 D．数字小于4的卡片 2． M、N、P、Q各代表圆、正方形、三角形、线段中的一种，如果图1表示M&N，图2 表示M&Q，那么图3表示 M&N M&Q 图1 图2 图3 第2题图 A．M&N&P B．M&N&Q C．M&P&Q D．N&P&Q 3． 一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），将三角板DBE绕 点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜∠CBE＜90°，则下列结论中正确的是 图1 图2 第3题图 ①∠DBC+∠ABE的角度恒为105°； ②在旋转过程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次； ④在图1的情况下，作∠DBF＝∠EBF，则AB平分∠DBF． A． ① B．② C．①②④ D．①②③④ 4． 老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度 分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍 的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为 A．4 B．5 C．6 D．7 5． 如图，已知矩形ABCD的顶点A、B分别落在双曲线上，顶点CD分别落 在y轴、x轴上，双曲线过AD的中点E，若OC=3，则k的值为 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 第5题图 第6题图 6． 如图，△ABC中，，，三条角平分线AD、BE、CF交于O， 于H．下列结论： ①； ②； ③OD平分； ④． 其中正确的结论个数有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第7题图 第8题图 7． 如图甲，直角三角形ABC的三边a，b，c，满足a2+b2＝c2的关系．利用这个关系，探 究下面的问题：如图乙，△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB＝90°，延长OA 至B1，使AB1＝OA，以OB1为底，在△OAB外侧作等腰直角三角形OA1B1，再延长OA1 至B2，使A1B2＝OA1，以OB2为底，在△OA1B1外侧作等腰直角三角形OA2B2，…，按 此规律作等腰直角三角形OAnBn（n≥1，n为正整数），则A2B2的长及△OA2021B2021的 面积分别是 A．2，22020 B．4，22021 C．2，22020 D．2，22019 8． 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线 AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若 OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多 项是符合题目要求的，请把正确答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 9． 对任意非负数x，若记，给出下列说法，下列结论其中正确的是 A． B．，则 C． D．对任意大于3的正整数n，有 10．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对 折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论其中正确的是 A．△ABG≌△AFG B．BG=CG C．S△AGE=18 D．∠GAE=45° 第10题图 第11题图 11．如图①，在矩形ABCD中，AB< AD，对角线AC、BD相交于点O，动点P从点A出发， 沿A→B→C→D向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函 数关系图象如图②所示，则下列结论正确的是 A．四边形ABCD的面积为12 B．AD边的长为4 C．当x=2.5时，△AOP是等边三角形 D．当S△AOP=3时，x=3或10 12．如图，矩形AOBC的边OA=3，OB=4，动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F 的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D 和G．则给出下列命题正确的是 A．若，则△OEF的面积为 B．若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上 C．满足题设的k的取值范围是 D．若，则 第12题图 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷相应的位置上． 13．表示不大于的最大整数，计算 ▲ ． 14．某超市出售一种礼品混合糖是由A、B两种糖果按一定比例配制而成，其中A糖果的进 价为15元/千克，B糖果的进价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得56%的利润 率．物价上涨，A糖果进价上涨20%，B糖果进价上涨10%，配制后的总进价增加了 12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总进价的25%做广告宣传，如果要保证每千克 利润不变，则此时这种礼品糖果的利润率是 ▲ ． 15．设a、b、c、d为正整数，且，，，则 ▲ ． 16．如图，设双曲线与直线y＝x交于A，B两点（点 在第三象限），将双曲线在第一象限内的一支沿射线BA方 向平移，使其经过A点，将双曲线在第三象限的一支沿射 线AB方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于 P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（阴影 部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”．当k＝6时， “眸径”PQ的长为 ▲ ． 第16题图 四、解答题：本大题共9小题，共100分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时 应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明． 17．（本题满分5分） 计算：． ▲▲▲ 18．（本题满分5分） 已知，，，求的值． ▲▲▲ 19．（本题满分10分） （1）如图所示，某条护城河在CC’处直角转弯，河宽均为5m，从A处到达B处，须 经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方 向的，如何选址造桥可使从A处到B处的路程最短？请确定两座桥的位置． （2）某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心， 使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置． （1） （2） 第19题图 20．（本题满分10分） “五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本， 下面的抽样调查方式合理的是 ▲ ；（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并 将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 0.45 0.30 0.09 合计 1 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的 ▲ ； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． ▲▲▲ 21．（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数()的图像交于点． （1）求和的值； （2）已知四边形OBDE是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像 上．当△OBP的面积与△OBE的面积相等时，直接写出点P的坐标 ▲ ． 第21题图 备用图 ▲▲▲ 22．（本题满分10分） 请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 （1）求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 （2）设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 （3）制定使每天总利润最大的加工方案． ▲▲▲ 23．（本题满分10分） 已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的P点处． （1）求证：； （2）若与的面积比为，求边的长； ▲▲▲ 第23题图 24．（本题满分20分） 如图，在平行四边形中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． （1）若点与点重合，求线段的长度． （2）随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长 度；若改变，请说明理由． 第24题图 备用图 ▲▲▲ 25．（本题满分20分） 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折 痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕 把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． （1）根据以上操作，得 ▲ ． 【探究证明】 （2）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （3）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求 证：． 【深入研究】 （4）若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑤ 第25题图 ▲▲▲ 数学试卷 第1页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$