第1章 平面向量及其应用章末复习课 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

一、向量的线性运算 1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题． 2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养． 例1　如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋) ＝(λ－μ)＋， 且＝＋，所以解得 所以λ＋μ＝. 反思感悟　向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 跟踪训练1　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b等于(　　) A．(4,0) B．(0,4) C．(4，－8) D．(－4,8) 答案　C 解析　因为a∥b， 所以1×4＝－2×m，解得m＝－2，所以b＝(－2,4)， 所以2a－b＝2(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)． (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2CD，E为线段AD的中点，且BF＝AB，则等于(　　) A.＋ B.－ C.＋ D.－ 答案　D 解析　由题意，根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝－(＋＋)＝－＝×2－＝－. 二、向量的数量积运算 1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等． 2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养． 例2　(1)已知平面上有三点A，B，C，已知AB＝3，D是线段BC上靠近B的一个四等分点．若AD⊥AB，则·的值是(　　) A．27 B．－27 C．9 D．－9 答案　B 解析　由D是线段BC上靠近B的一个四等分点， 可得＝4， 又由AD⊥AB，可得·＝0， 所以＝－＝4＋＝4(－)＋＝4－3， 则·＝·(4－3)＝4·－32＝－27. (2)在边长为2的正六边形ABCDEF中，M为边CD上的动点，则·的最小值为(　　) A. B．6 C．4 D. 答案　A 解析　如图，以正六边形的中心为原点，CF所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(1，)，F(－2,0)，C(2,0)，D(1，－)，设M(x，y)，则＝(1－x，－y)，＝(－2－x，－y)，·＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝x2＋x＋y2－y－2.因为M为边CD上的动点，所以设＝λ，0≤λ≤1，即(2－x，－y)＝λ(1，)，解得所以·＝x2＋x＋y2－y－2＝4λ2－2λ＋4，令f(λ)＝4λ2－2λ＋4(0≤λ≤1)，则结合二次函数的性质可知f(λ)min＝f ＝. 反思感悟　(1)向量数量积的两种计算方法 ①当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ； ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 ①平行、垂直问题． 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)； ②求向量的夹角和模的问题． 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. 两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量) cos θ＝＝ . 跟踪训练2　(1)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足＝＋，则·的值为(　　) A．－ B．－2 C. D．2 答案　B 解析　因为＝－，＝－， 所以·＝(－)·(－) ＝· ＝· ＝－2＋·－2 ＝－×9＋×3×3×cos 60°－×9＝－2. (2)已知平面向量a，b，c满足a＝(2，λ)，b＝(1，－2)，c＝(－1，μ)，若a∥b，b⊥c，则a＋b与b＋c所成角的余弦值为________． 答案　 解析　因为a＝(2，λ)，b＝(1，－2)，c＝(－1，μ)， a∥b，b⊥c， 所以2×(－2)＝1×λ，1×(－1)＋(－2)μ＝0， 解得λ＝－4，μ＝－， 所以a＝(2，－4)，c＝， 所以a＋b＝(3，－6)，b＋c＝， 所以cos〈a＋b，b＋c〉＝＝＝. 三、余弦定理、正弦定理 1．主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用． 2．借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养． 例3　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝. (1)求∠C的大小； (2)若△ABC外接圆的半径R＝1，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状． 解　(1)由＝化简整理得a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝， 又∵0<∠C<π，∴∠C＝. (2)若△ABC外接圆的半径R＝1，则c＝2Rsin C＝， 由余弦定理得3＝c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab， 当且仅当a＝b时，等号成立， ∴S△ABC＝absin C＝ab≤， 当且仅当a＝b时，等号成立， ∴△ABC面积的最大值为， 由∠C＝及a＝b可知此时△ABC的形状为等边三角形． 反思感悟　(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔∠A＝∠B；sin(A－B)＝0⇔∠A＝∠B；sin 2A＝sin 2B⇔∠A＝∠B或∠A＋∠B＝等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换将角的关系转化为边的关系． 跟踪训练3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1－sin2B－cos2C＝sin2A－sin Asin B. (1)求∠C； (2)若∠A＝，△ABC的面积为4，M为AB的中点，求CM的长． 解　(1)由1－sin2B－cos2C＝sin2A－sin Asin B及平方关系，得 sin2C＋cos2C－sin2B－cos2C＝sin2A－sin Asin B， 即sin2C－sin2B＝sin2A－sin Asin B. 由扩充的正弦定理，得 c2－b2＝a2－ab，即a2＋b2－c2＝ab. 由余弦定理，得 cos C＝＝＝， ∵0<∠C<π，∴∠C＝. (2)由(1)知∠C＝，∵∠A＝，∴∠A＝∠C，即a＝c，∠B＝π－∠A－∠C＝. ∵△ABC的面积为4，∴S△ABC＝acsin B ＝a2sin ＝4，解得a＝4. ∵M为AB的中点， ∴BM＝AB＝2， 在△BCM中，由余弦定理，得 CM2＝BM2＋BC2－2·BM·BC·cos B＝4＋16－2×2×4×＝28，即CM＝＝2. 四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用 1．余弦定理和正弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后要将结果还原为实际问题进行检验． 2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养． 例4　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤． 解　(1)需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1；B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)． (2)方法一　第一步：计算AM. 在△ABM中，由正弦定理，得AM＝； 第二步：计算AN. 在△ABN中，由正弦定理，得AN＝； 第三步：计算MN. 在△AMN中，由余弦定理，得 MN＝. 方法二　第一步：计算BM. 在△ABM中，由正弦定理，得BM＝； 第二步：计算BN. 在△ABN中，由正弦定理，得BN＝； 第三步：计算MN. 在△BMN中，由余弦定理，得 MN＝. 反思感悟　正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图． (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等． (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形． (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累． 跟踪训练4　某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高. 解　如图所示， 设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40 m到达C处， 即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°. 在△ABC中， ＝， 即＝，∴AC＝20. 过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大， 在△ABC中，由面积公式知 ×BC×AG＝×BC×AC×sin∠ACB. ∴AG＝ ＝AC×sin∠ACB＝20sin 15°， ∴AG＝20×＝10(－1)． 在Rt△AEG中， ∵AE＝AGtan∠AGE， ∴AE＝10(－1)×＝10－＝， ∴塔高为m. 学科网（北京）股份有限公司 $$