4.4.1.1 平面与平面平行的判定 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

4.4.1　平面与平面平行 第1课时　平面与平面平行的判定 [学习目标]　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面的位置关系、平面与平面平行的判定定理，并加以证明.2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行． 导语 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留，中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉． 一、空间中平面与平面的位置关系 问题1　将一本书看作一个平面，随意上下、左右移动和翻转，它和桌面所在平面的位置关系有几种？有什么特点？ 提示　有两种．平行、相交． 特点：两个平面平行时，两者没有公共点；两个平面相交时，两者有一条公共直线． 知识梳理 1．两个平面平行的定义 如果两个平面α，β没有公共点，就称这两个平面平行，记作α∥β，用集合语言描述，就是α∥β⇔α∩β＝∅. 2．空间中任意两个不重合的平面的位置关系 位置关系 图形 写法 公共点情况 两平面相交 α∩β＝a 有一条公共直线 两平面平行 α∥β 没有公共点 例1　(多选)以下四个命题中，正确的有(　　) A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行 C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行 D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交 答案　CD 解析　当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行于另一个平面，所以A，B错误；显然C，D正确． 反思感悟　利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外，先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法． 跟踪训练1　如果在两个不重合的平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是________． 答案　平行或相交 解析　根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示． 二、平面与平面平行的判定 问题2　如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 提示　三角尺和桌面一定平行，硬纸片和桌面不一定平行． 知识梳理　 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 ⇒α∥β 图形语言 例2　(1)α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是(　　) A．α，β都平行于直线l，m B．α内有三个不共线的点到β的距离相等 C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β D．l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β 答案　D 解析　对A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β； 对B，当α∩β＝a，且在平面α内，β的同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β； 对C，当l∥m时，不能推出α∥β； 对D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β. (2)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BC1D. 证明　∵ABCD－A1B1C1D1为正方体， ∴D1C1綊A1B1，AB綊A1B1， ∴D1C1綊AB. ∴四边形D1C1BA为平行四边形． ∴D1A∥C1B. 又D1A⊄平面BC1D，C1B⊂平面BC1D， ∴D1A∥平面BC1D. 同理D1B1∥平面BC1D. 又D1A∩D1B1＝D1，D1A，D1B1⊂平面AB1D1， ∴平面AB1D1∥平面BC1D. 反思感悟　(1)在判定两个平面平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行． (2)平面与平面平行的判定方法 ①定义法：两个平面没有公共点． ②判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． ③转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. ④利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 跟踪训练2　(1)如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是(　　) A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 答案　D 解析　若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；这两个角所在的两个平面平行或重合． (2)如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 证明　∵E，G分别是PC，BC的中点， ∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB. ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD， 又∵AB∥CD， ∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 三、平面与平面平行中的探索性问题 例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解　当Q为CC1的中点时， 平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下： 连接PQ(图略)，在△DBD1中，P是DD1的中点，O为DB的中点， ∴PO∥D1B， 又∵PO⊂平面PAO，D1B⊄平面PAO， ∴D1B∥平面PAO. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q为CC1的中点，P为DD1的中点， ∴PQ∥CD，PQ＝CD. 又CD∥AB，CD＝AB， ∴PQ∥AB，且PQ＝AB， ∴四边形ABQP为平行四边形， ∴BQ∥AP， 又∵BQ⊄平面PAO，PA⊂平面PAO， ∴BQ∥平面PAO， 又∵D1B∩BQ＝B，D1B，BQ⊂平面D1BQ， ∴平面D1BQ∥平面PAO，即当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 反思感悟　探索面面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目有中点时，一般先探索中点，再用中位线定理找平行关系． 跟踪训练3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点．能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面PAC？证明你的结论． 解　能作出满足条件的平面α，其作法如下： 如图，连接BD1，取AA1的中点M，连接D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α. 证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则O为BD的中点，又P为DD1的中点，则OP∥BD1. 因为BD1⊄平面PAC，OP⊂平面PAC，故BD1∥平面PAC. 又因为M为AA1的中点， 所以AM綊D1P， 则四边形AMD1P是平行四边形， 故D1M∥PA，又D1M⊄平面PAC，PA⊂平面PAC， 从而D1M∥平面PAC. 又因为D1M∩D1B＝D1， D1M⊂α，D1B⊂α， 所以平面α∥平面PAC. 1．知识清单： (1)空间中平面与平面的位置关系． (2)平面与平面平行的判定． (3)平面与平面平行的探索性问题． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：平面与平面平行的条件不充分． 1．已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 答案　D 解析　∵α∥β，∴α与β无公共点， 又m⊂α，n⊂β， ∴m与n无公共点，∴m与n平行或异面． 2．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 答案　D 解析　如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1， 平面BCC1B1∥平面FEE1F1， 平面AFF1A1∥平面CDD1C1， 平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1， ∴此六棱柱的面中互相平行的有4对． 3．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是______(填“平行”或“相交”)． 答案　平行 解析　若α∩β＝l，则在平面α内，存在与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任一直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，与题意矛盾．故α∥β. 4.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________． 答案　平行 解析　由题图知，A1E∥BE1， ∵A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1， ∴A1E∥平面BCF1E1. 同理，A1D1∥平面BCF1E1. 又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1， ∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1. 1．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加条件(　　) A．n是直线且n⊂α，n∥β B．n，m是异面直线，n∥β C．n，m是相交直线且n⊂α，n∥β D．n，m是平行直线且n⊂α，n∥β 答案　C 2．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下三个命题： ①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　设m∩n＝P，记m与n确定的平面为γ.由题意知γ∥α，γ∥β，则α∥β，故①正确；②③均错误． 3．下列四个说法中正确的是(　　) A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β B．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β C．平面α内的一个三角形的三条边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β D．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β 答案　C 解析　由平面与平面平行的判定定理知C正确． 4．a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使α∥β，这样的β(　　) A．只能作一个 B．至少可以作一个 C．不存在 D．至多可以作一个 答案　D 解析　当a∥α时，过a作平面β，使得β∥α，这样的平面β有且只有1个．当a与α相交时，设a与α的交点为P，根据题意知，P∈β，P∈α，则α∩β＝l且P∈l，这与α∥β矛盾，所以这样的β不存在．综上所述，过平面α外的一条直线a与α平行的平面至多有1个． 5.如图，在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　) A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G 答案　A 解析　如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1， ∴EG∥平面E1FG1. 又G1F∥H1E， 同理可证H1E∥平面E1FG1， 又H1E∩EG＝E，H1E，EG⊂平面EGH1， ∴平面E1FG1∥平面EGH1. 6．下列四个正方体图形中，A，B，C为其所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是(　　) 答案　B 解析　B中，易证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC＝B，且AB，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF. 7．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________________． 答案　相交或平行 解析　b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故α与β的关系为相交或平行． 8.如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①BM∥平面ADE；②CN∥平面ABF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF. 以上四个命题中正确的序号是________． 答案　①②③④ 解析　以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的． 9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：平面EFA1∥平面BCHG. 证明　∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 由题意知A1G綊EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG. 10．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点．证明：平面BDGH∥平面AEF. 证明　在△CEF中， 因为G，H分别是CE，CF的中点， 所以GH∥EF， 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， 所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD＝O，则点O为AC的中点， 连接OH， 如图所示，在△ACF中， 因为点H为CF的中点， 所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以OH∥平面AEF. 又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. 11.(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，在此几何体中，下列结论正确的是(　　) A．平面EFGH∥平面ABCD B．平面PAD∥BC C．平面PCD∥AB D．平面PAD∥平面PAB 答案　ABC 解析　如图所示，把平面展开图还原为四棱锥， 则EF∥AB，易证EF∥平面ABCD.同理可证EH∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，它们两两相交．因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以平面PCD∥AB.同理，平面PAD∥BC，故B，C正确；显然D错误． 12.如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是(　　) A．平面 　　 B．直线 C．线段，但只含1个端点 　　 D．圆 答案　C 解析　如图，过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连接BN. ∵在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D， ∴平面BDN∥平面A1ACC1. ∵点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1， ∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合， ∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点． 13．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作________个． 答案　0或1 解析　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使得β∥α；②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个． 14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1. 答案　M在线段FH上 解析　连接HN，FH，FN(图略)．由题易知HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1. ∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动， ∴M∈FH. 15．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是(　　) 答案　D 解析　由题意可知，经过P，Q，R三点的平面如图．截面为六边形PQEFRS(E，F，S为所在棱的中点)，可知N在经过P，Q，R三点的平面上，所以B，C错误；MC1与QE是相交直线，所以A错误；由图知D符合题意． 16.如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC＝CD＝2，AB＝AD＝2.若PB＝3BE，则在线段BC上是否存在一点F，使平面AEF∥平面PCD？若存在，求出线段BF的长；若不存在，请说明理由． 解　在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD.理由如下： 如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF，AC，因为PB＝3BE，所以E是PB上靠近点B的三等分点，F是BC上靠近点B的三等分点，可得BF＝. 因为AB＝AD＝2，BC＝CD＝2，AC＝AC， 所以△ABC≌△ADC， 因为BC⊥AB，所以∠ABC＝90°， tan∠ACB＝＝＝，所以∠ACB＝∠ACD＝30°，所以∠BCD＝60°， 因为tan∠AFB＝＝＝，所以∠AFB＝60°，所以AF∥CD. 因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， 所以AF∥平面PCD， 又EF∥PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD， 因为AF∩EF＝F，AF，EF⊂平面AEF， 所以平面AEF∥平面PCD， 所以在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD，此时BF＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$