4.1.2 空间几何体的直观图 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

4.1.2　空间几何体的直观图 [学习目标]　能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 导语 北京冬奥会的场馆是不是很美？“冰立方”“雪如意”等一个个极富创意和科技含量的竞赛场馆让我们从不同的角度领悟了空间几何体的美．正如苏轼在《题西林壁》中写的“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．为了将这些空间几何体画在纸上，使我们能根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识． 一、水平放置的平面图形的直观图的画法 知识梳理 直观图的概念 把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图． 注意点： (1)直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体而获得的图形． (2)空间几何体的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形． 例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图． 反思感悟　画水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定． (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同． 跟踪训练1　用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图． 解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立直角坐标系． (2)画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在x′轴上以O′为中点截取B′C′＝BC＝4 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示． 二、空间几何体的直观图的画法 问题　我们可以把长方体看成底面ABCD沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 提示　先作出底面的直观图，然后找一个与底面垂直的方向，将底面平移，就形成了长方体． 知识梳理　 用斜二测画法画水平放置的空间图形直观图的步骤 (1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°. (2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面． (3)已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段． (4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度取原来的一半． 例2　用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 解　画法： (1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且长度等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且长度等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′. (2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′. (3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并加以整理(擦去x′轴、y′轴和z′轴，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)． 反思感悟　画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变． 跟踪训练2　某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，画出这个组合体的直观图．(尺寸自定) 解　如图(1)借助椭圆模板先画出圆柱的上、下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图如图(2)． 三、直观图的还原与计算 例3　如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______，其面积为________． 答案　菱形　24 cm2 解析　如图，在原图形OABC中， 应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)， 又CD＝C′D′＝2 (cm)， 所以OC＝＝＝6(cm)， 所以OA＝OC＝BC＝AB， 故四边形OABC是菱形． S四边形OABC＝OA×OD＝6×4＝24 (cm2)． 反思感悟　(1)直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． (2)直观图与原图形面积之间的关系：S直观＝S原． 跟踪训练3　已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　D 解析　方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系． 如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a， O′C′＝OC＝a. 过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a. 所以△A′B′C′的面积 S＝A′B′·C′D′＝a·a＝a2. 方法二　S△ABC＝a2， 又S△A′B′C′＝S△ABC， ∴S△A′B′C′＝×a2＝a2. 1.知识清单： (1)水平放置的平面图形的直观图的画法． (2)空间几何体直观图的画法． (3)直观图的还原与计算． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同． 1．(多选)关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是(　　) A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 答案　AB 解析　斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形． 2．若用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　) A．平行于z′轴且大小为10 cm B．平行于z′轴且大小为5 cm C．与z′轴成45°且大小为10 cm D．与z′轴成45°且大小为5 cm 答案　A 解析　平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致． 3.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为 ________. 答案　2.5 解析　由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所以所求中线长为2.5. 4.如图是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________． 答案　16 解析　由图可知O′B′＝4，则对应△AOB中，OB＝4. 又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应△AOB的高为8. 所以△AOB的面积为×4×8＝16. 1.将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形ABCD是(　　) A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 答案　B 解析　根据直观图可知，B′C′，A′D′与x′轴平行且不相等，边A′B′与y′轴平行，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴平面图形ABCD是一个直角梯形． 2．(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是(　　) A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 答案　ACD 3．利用斜二测画法画出边长为3的水平放置的正方形的直观图，正确的是(　　) 答案　C 解析　正方形的直观图就是一内角为45°的平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1. 4．(多选)已知由斜二测画法得到的一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一个边长为4，则此正方形的面积可以为(　　) A．16 B．64 C．32 D．无法确定 答案　AB 解析　等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 5．由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(　　) 答案　A 解析　根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知A正确． 6．下列说法中正确的是(　　) A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 答案　D 解析　如图，由斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形，可知ABC均错误，易知D正确． 7．在用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′＝________. 答案　45°或135° 解析　因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°. 8.水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________． 答案　 解析　由斜二测画法画出的正方形ABCD直观图如图所示，作B′E⊥x′轴，垂足为E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，所以B′E＝B′C′sin 45°＝2×＝. 9.如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高BD＝12 cm. (1)画出水平放置的△ABC的直观图； (2)求直观图的面积． 解　(1)①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的x′，y′轴，使∠x′D′y′＝45°， 在x′轴上取点A′，C′，使D′A′＝DA，D′C′＝DC， 在y′轴上取点B′，使D′B′＝DB， 连接A′B′，C′B′，则△A′B′C′即为△ABC的直观图，如图②. (2)在图②中，作B′E⊥A′C′，E为垂足， ∵D′B′＝DB＝6(cm)，∠B′D′E＝45°， ∴B′E＝6×＝3， ∴S△A′B′C′＝×A′C′×B′E＝×12×3＝18 (cm2)． 10.如图所示，在平面直角坐标系中，已知O(0,0)，A(1,3)，B(3,1)，C(4,6)，D(2,5)．试用斜二测画法画出四边形ABCD的直观图． 解　(1)如图①，在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1,0)． (2)画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②. (3)在x′轴上截取O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴， 且A′E′＝AE＝1.5. (4)同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′＝0.5， C′H′＝3，D′F′＝2.5. (5)连线成图(去掉辅助线)，如图③，则四边形A′B′C′D′即为四边形ABCD由斜二测画法得到的直观图． 11.(多选)如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是(　　) A．AB＝BC＝AC B．AD⊥BC C．AB⊥BC D．AC>AD>AB>BC 答案　CD 解析　由直观图知△ABC为直角三角形，如图所示， AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，D为BC的中点， 又A1B1＝B1C1， 故A，B错误，C，D正确． 12．如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则梯形O′A′B′C′的高为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高为1，面积S＝×(1＋3)×1＝2，所以等腰梯形OABC的直观图的面积S′＝2×＝. 设梯形O′A′B′C′的高为h，则×(1＋3)·h＝，解得h＝. 13.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图为如图所示的△A′B′C′，其中O′B′＝B′C′＝2，A′B′＝A′C′＝，则△ABC的面积为(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 答案　C 解析　由题意得，△A′B′C′为等腰直角三角形， 则S△A′B′C′＝××＝1， 又S△ABC＝S△A′B′C′， 所以S△ABC＝2. 14．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为_____ cm，宽为_____ cm，建筑物的高为_____ cm. 答案　4　0.5　3.6 解析　由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm,1 cm,2 cm，四棱锥的高为1.6 cm， 所以长方体的直观图的长、宽、高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm. 所以直观图中建筑物的高为2＋1.6＝3.6(cm)． 15．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案　D 解析　设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2S直观图，所以×OB×h＝2××2×O′B′. 又OB＝O′B′，所以h＝4. 16.泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图(尺寸自定)． 解　(1)先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A′B′C′D′－ABCD； (2)以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE－BCF.直观图如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $$